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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、基础知识
1．直线与圆的位置关系(半径为 r，圆心到直线的距离为 d)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
量化
几何观点 d＞r d＝r d＜r
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1，r2，d＝|O1O2|)
相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的 |r1－r2|＜d＜
d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
关系 r1＋r2
二、常用结论
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y 20y＝r .
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y
－b)＝r2.
③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y
＝r2.
(2)直线被圆截得的弦长
1 1
弦心距 d、弦长 l 的一半 l 及圆的半径 r 构成一直角三角形，且有 r2＝d2＋ l 2
2 2 .
考点一 直线与圆的位置关系
考法(一) 直线与圆的位置关系的判断
[典例] 直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是( )
A．相交 B．相切
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C．相离 D．不确定
mx－y＋1－m＝0，
[解析] 法一：由
2 x ＋(y－1)2＝5，
消去 y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为 Δ＝16m2＋20>0，
所以直线 l 与圆相交．
|m|
法二：由题意知，圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝ <1< 5，故直线 l 与圆相交．
m2＋1
法三：直线 l：mx－y＋1－m＝0 过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆 x2＋(y－1)2＝5 的内部，
所以直线 l 与圆相交．
[答案] A
[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用 d 与 r 的关系．
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用 Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
[提醒] 上述方法中最常用的是几何法．
考法(二) 直线与圆相切的问题
[典例] (1)过点 P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的切线，则切线方程为( )
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2 或 4x－3y＋4＝0
D．y＝4 或 3x＋4y－4＝0
(2)(2019·成都摸底)已知圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 上存在两点关于直线 l：x＋my＋1
＝0 对称，经过点 M(m，m)作圆 C 的切线，切点为 P，则|MP|＝________.
[解析] (1)当斜率不存在时，x＝2 与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为 y－4＝k(x
|k－1＋4－2k| 4
－2)，即 kx－y＋4－2k＝0，则 ＝1，解得 k＝ ，则切线方程为 4x－3y＋4＝0，
k2＋1 3
故切线方程为 x＝2 或 4x－3y＋4＝0.
(2)圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 的圆心为 C(1,2)，半径为 2.因为圆上存在两点关于直线
l：x＋my＋1＝0 对称，所以直线 l：x＋my＋1＝0 过点(1,2)，所以 1＋2m＋1＝0，解得 m＝
－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝ 13－4＝3.
[答案] (1)C (2)3
考法(三) 弦长问题
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[典例] (1)若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0 被圆 x2＋y2＝1 所截得的弦长为
( )
1
A. B．1
2
2
C. D. 2
2
(2)(2019·海口一中模拟)设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，
若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为( )
A．4π B．2π
C．9π D．22π
|c| |c| 2
[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ ＝ ＝ ，因此根
a2＋b2 2|c| 2
2 2
据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1－ 2＝ ，所以弦长为 2.
2 2
(2)易知圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 的圆心为(0，a)，半径为 a2＋2.圆心(0，a)到直线 y＝
|a|
x＋2a 的距离 d＝ ，由直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 相交于 A，B 两点，|AB|
2
a2
＝2 3，可得 ＋3＝a2＋2，解得 a2＝2，故圆 C 的半径为 2，所以圆 C 的面积为 4π，故选
2
A.
[答案] (1)D (2)A
[题组训练]
2 2
1．已知圆的方程是 2＋ 2＝ x y 1，则经过圆上一点 M ， 的切线方程是________．
2 2
2 2
解析：因为 M ， 是圆 x2＋y2＝1 上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线
2 2
2 2
方程为 x＋y＋a＝0，所以 ＋ ＋a＝0，得 a＝－ 2，故切线方程为 x＋y－ 2＝0.
2 2
答案：x＋y－ 2＝0
2．若直线 kx－y＋2＝0 与圆 x2＋y2－2x－3＝0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是
________．
解析：由题知，圆 x2＋y2－2x－3＝0 可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1,0)到直线 kx－y＋2
|k＋2| 4
＝0 的距离 d＞2，即 ＞2，解得 0＜k＜ .
k2＋1 3
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答案：
4
0，
3
3．设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋2x－my＝0 相交于 A，B 两点，若点 A，B 关于直线 l：
x＋y＝0 对称，则|AB|＝________.
解析：因为点 A，B 关于直线 l：x＋y＝0 对称，所以直线 y＝kx＋1 的斜率 k＝1，即 y
m
＝x＋1.又圆心 －1， 2 在直线 l：x＋y＝0 上，所以 m＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径 r
2
＝ 2，所以圆心到直线 y＝x＋1 的距离 d＝ ，所以|AB|＝2 r2－d2＝ 6.
2
答案： 6
考点二 圆与圆的位置关系
[典例] (2016·山东高考)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的
长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
2 2 x ＋y －2ay＝0，
[解析] 法一：由
x＋y＝0，
得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆 M 截直线所得线段长度为 2 2，
∴ a2＋(－a)2＝2 2.
又 a>0，∴a＝2.∴圆 M 的方程为 x2＋y2－4y＝0，
即 x2＋(y－2)2＝4，圆心 M(0,2)，半径 r1＝2.
又圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心 N(1,1)，半径 r2＝1，
∴|MN|＝ (0－1)2＋(2－1)2＝ 2.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，
∴两圆相交．
法二：由题知圆 M：x2＋(y－a)2＝a2
a
(a＞0)，圆心(0，a)到直线 x＋y＝0 的距离 d＝ ，
2
a2
所以 2 a2－ ＝2 2，解得 a＝2.圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，两
2
圆半径之和为 3，故两圆相交．
[答案] B
[变透练清]
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1．(2019·太原模拟)若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝
( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选 C 圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径 r1＝1，因为圆 C2 的方程可化为(x－3)2＋(y
－4)2＝25－m，所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝ 32＋42
＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9，故选 C.
2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．
x2＋y2 －4y＝0，
解析：联立两圆方程 两式相减得，2x－2y－1＝0，因为 N(1,1)，
(x－1)2＋(y－1)2＝1，
|－1| 2
＝
2 14
r 1，则点 N 到直线 2x－2y－1＝0 的距离 d＝ ＝ ，故公共弦长为 2 1－ 2＝ .
2 2 4 4 2
14
答案：
2
[解题技法]
几何法判断圆与圆的位置关系的 3 步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
[课时跟踪检测]
A 级
1．若直线 2x＋y＋a＝0 与圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 相切，则 a 的值为( )
A．± 5 B．±5
C．3 D．±3
|a|
解析：选 B 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有 ＝ 5，
5
即 a＝±5.故选 B.
2．与圆 C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0 都相切的直线有
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( )
A．1 条 B．2 条
C．3 条 D．4 条
解析：选 A 两圆分别化为标准形式为 C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2
＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝ (7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所
以它们只有一条公切线．故选 A.
3．(2019·南宁、梧州联考)直线 y＝kx＋3 被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4 截得的弦长为 2 3，
则直线的倾斜角为( )
π 5π π π
A. 或 B．－ 或
6 6 3 3
π π π
C．－ 或 D.
6 6 6
解析：选 A 由题知，圆心(2,3)，半径为 2，所以圆心到直线的距离为 d＝ 22－( 3)2＝
|2k| 3 π 5π
1.即 d＝ ＝1，所以 k＝± ，由 k＝tan α，得 α＝ 或 .故选 A.
1＋k2 3 6 6
4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选 B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得 r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋
y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即 2x＋y－7＝0.故选 B.
5．(2019·重庆一中模拟)若圆 x2＋y2＋2x－6y＋6＝0 上有且仅有三个点到直线 x＋ay＋1
＝0 的距离为 1，则实数 a 的值为( )
2
A．±1 B．±
4
3
C．± 2 D．±
2
解析：选 B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为 2，由于圆上有且仅有三个点到直
|－1＋3a＋1|
线的距离为 1，故圆心(－1,3)到直线 x＋ay＋1＝0 的距离为 1，即 ＝1，解得 a
1＋a2
2
＝± .
4
6．(2018·嘉定二模)过点 P(1，－2)作圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，
B，则 AB 所在直线的方程为( )
3 1
A．y＝－ B．y＝－
4 2
3 1
C．y＝－ D．y＝－
2 4
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解析：选 B 圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1，以|PC|＝ (1－1)2＋(－2－0)2
＝2 为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为
1
2y＋1＝0，即 y＝－ .故选 B.
2
7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长
为________．
|2＋2×(－1)－3| 3 5
解析：易知圆心(2，－1)，半径 r＝2，故圆心到直线的距离 d＝ ＝ ，
12＋22 5
2 55
弦长为 2 r2－d2＝ .
5
2 55
答案：
5
8．若 P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为________．
－1
解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25 的圆心为(1,0)，所以直线 AB 的斜率等于 ＝－1，由
1－0
2－1
点斜式得直线 AB 的方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
9．过点 P(－3,1)，Q(a,0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2＋y2＝1 相切，则 a 的值为________．
解析：因为 P(－3,1)关于 x 轴的对称点的坐标为 P′(－3，－1)，
－1
所以直线 P′Q 的方程为 y＝ (x－a)，即 x－(3＋a)y－a＝0，
－3－a
|－a|
圆心(0,0)到直线的距离 d＝ ＝1，
1＋(3＋a)2
5
所以 a＝－ .
3
5
答案：－
3
10．点 P 在圆 C ：x21 ＋y2－8x－4y＋11＝0 上，点 Q 在圆 C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0 上，
则|PQ|的最小值是________．
解析：把圆 C1、圆 C2 的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2
＝4.
圆 C1 的圆心坐标是(4,2)，半径长是 3；
圆 C2 的圆心坐标是(－2，－1)，半径是 2.
圆心距 d＝ (4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5＞5.故圆 C1与圆 C2 相离，
所以|PQ|的最小值是 3 5－5.
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答案：3 5－5
11．已知圆 C ：x21 ＋y2－2x－6y－1＝0 和圆 C ：x22 ＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆 C1 和圆 C2 相交；
(2)求圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
解：(1)证明：圆 C1 的圆心 C1(1,3)，半径 r1＝ 11，
圆 C2 的圆心 C2(5,6)，半径 r2＝4，
两圆圆心距 d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝ 11＋4，
|r1－r2|＝4－ 11，
∴|r1－r2|(2)圆 C1 和圆 C2 的方程相减，得 4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为 4x＋3y－23＝0.
|20＋18－23|
圆心 C2(5,6)到直线 4x＋3y－23＝0 的距离 d＝ ＝3，
16＋9
故公共弦长为 2 16－9＝2 7.
12．已知圆 C 经过点 A(2，－1)，和直线 x＋y＝1 相切，且圆心在直线 y＝－2x 上．
(1)求圆 C 的方程；
(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
解：(1)设圆心的坐标为 C(a，－2a)，
|a－2a－1|
则 (a－2)2＋(－2a＋1)2＝ .
2
化简，得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1.
∴C(1，－2)，半径 r＝|AC|＝ (1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.
∴圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为
2，满足条件．
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx，
|k＋2| 3
由题意得 ＝1，解得 k＝－ ，
1＋k2 4
3
∴直线 l 的方程为 y＝－ x，即 3x＋4y＝0.
4
综上所述，直线 l 的方程为 x＝0 或 3x＋4y＝0.
B 级
1．过圆 x2＋y2＝1 上一点作圆的切线，与 x 轴、y 轴的正半轴相交于 A，B 两点，则|AB|
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的最小值为( )
A. 2 B. 3
C．2 D．3
解析：选 C 设圆上的点为(x0，y 20)，其中 x0＞0，y0＞0，则有 x0＋
1
y20＝1，且切线方程为 x0x＋y0y＝1.分别令 y＝0，x＝0 得 A ，0 x0
，
B
1 1 1 1 1
0， 2 2
y ，则|AB|＝ x ＋ y ＝ ≥ 2 2＝2，当且仅当 x0＝y0 0 0 x0y 00 x0＋y0
2
时，等号成立．
2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y＝2x 上在第一象限内的点，
―→ ―→
B(5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 AB ·CD＝0，则点 A 的横坐标为
________．
―→ ―→ π
解析：因为 AB ·CD＝0，所以 AB⊥CD，又点 C 为 AB 的中点，所以∠BAD＝ ，设直
4
π
线 l 的倾斜角为 θ，直线 AB 的斜率为 k，则 tan θ＝2，k＝tan θ＋ 4 ＝－3.又 B(5,0)，所以
直线 AB 的方程为 y＝－3(x－5)，又 A 为直线 l：y＝2x 上在第一象限内的点，联立直线
y＝－3(x－5)， x＝3，
AB 与直线 l 的方程，得 解得 所以点 A 的横坐标为 3. y＝2x， y＝6，
答案：3
3．(2018·安顺摸底)已知圆 C：x2＋(y－a)2＝4，点 A(1,0)．
(1)当过点 A 的圆 C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；
4 5
(2)设 AM，AN 为圆 C 的两条切线，M，N 为切点，当|MN|＝ 时，求 MN 所在直线的
5
方程．
解：(1)过点 A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上，
∴1＋a2≥4，∴a≥ 3或 a≤－ 3.
(2)设 MN 与 AC 交于点 D，O 为坐标原点．
4 5 2 5
∵|MN|＝ ，∴|DM|＝ .
5 5
20 4
又|MC|＝2，∴|CD|＝ 4－ ＝ ，
25 5
4
5 2 |MC| 2
∴cos∠MCA＝ ＝ ，|AC|＝ ＝ ＝ 5，
2 5 cos∠MCA 2
5
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∴|OC|＝2，|AM|＝1，
∴MN 是以点 A 为圆心，1 为半径的圆 A 与圆 C 的公共弦，圆 A 的方程为(x－1)2＋y2
＝1，
圆 C 的方程为 x2＋(y－2)2＝4 或 x2＋(y＋2)2＝4，
∴MN 所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即 x－2y＝0 或(x－1)2＋y2
－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即 x＋2y＝0，
因此 MN 所在直线的方程为 x－2y＝0 或 x＋2y＝0.
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