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第三节 圆的方程
一、基础知识
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
标准方程 圆心：(a，b)，半径： r

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， D E
圆心： － ，－ 2 2 ，
一般方程 (D2＋E2－4F＞0)
1
半径： D
2＋E2－4F
2
标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为 r.
D E
(1)当 D2＋E2－4F＝0 时，方程表示一个点 － ，－ 2 2 ；
(2)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x 2 2 20－a) ＋(y0－b) ＞r .
(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
二、常用结论
A＝C≠0，

(1)二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 B＝0，
D2＋E2－4AF＞ 0.
(2)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一 求圆的方程
[典例] (1)圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 A(1,2)的圆的方程是( )
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A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
(2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
[解析] (1)根据题意可设圆的方程为 x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点 A(1,2)，所以 12＋(2
－b)2＝1，解得 b＝2，所以所求圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.
(2)法一：几何法
设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上，所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|，
即 (2a＋3－2)2＋(a＋3)2
＝ (2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得 a＝－2，
所以圆心 C 的坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
(2－a)
2＋(－3－b)2＝r2，

由题意得 (－2－a)2＋(－5－b)2＝r2，
－ － ＝ ， a 2b 3 0
解得 a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：待定系数法
设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D E
则圆心坐标为 － ，－ 2 2 ，
D E
－ －2×
－
2 －3＝0，2
由题意得 4＋ ＋ 9 2D－3E＋F＝0，
4＋25－2D－5E＋F＝0，
解得 D＝2，E＝4，F＝－5.
故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
[答案] (1)A (2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
[题组训练]
1．已知圆 E 经过三点 A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E
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的标准方程为( )
3 3A. x－ 2 2
25
＋y ＝ B. x＋ 2＋y2
25
2 4 4 ＝ 16
3 3
C. x－ 2＋y2
25
＝ D. x－ 2 2
25
4 16 4 ＋y ＝ 4
解析：选 C 法一：根据题意，设圆 E 的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为 r，则圆 E 的
标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)．
a
2＋12＝r2， 3
a＝ ，4
由题意得 (2－a)2＝r2， 解得

2 25
a2＋ (－1)2＝r2， r ＝ ， 16
3 25
所以圆 E 的标准方程为 x－ 2 2 4 ＋y ＝ . 16
法二：设圆 E 的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
3
1＋E＋F＝0， D＝－ ， 2
则由题意得 4＋2D＋F＝0， 解得 E＝0，
1－E＋F＝ 0， F＝－1，
2 3所以圆 E 的一般方程为 x ＋y2－ x－1＝0，即
3 2 2 25x－
2 4 ＋y ＝ . 16
法三：因为圆 E 经过点 A(0,1)，B(2,0)，
1
所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y－ ＝2(x－1)上．
2
又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上，
3
所以圆 E 的圆心坐标为 ，0 4 .
3 5
则圆 E 的半径为|EB|＝ 2－ 2 2 4 ＋(0－0) ＝ ， 4
3 25
所以圆 E 的标准方程为 x－ 2 2 4 ＋y ＝ . 16
2．已知圆心在直线 y＝－4x 上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)，则该
圆的方程是________________．
解析：过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线方程为 x－y－5＝0，与 y＝－4x 联立可求得
圆心为(1，－4)．
所以半径 r＝ (3－1)2＋(－2＋4)2＝2 2，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝8
3．已知圆 C 经过 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的
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方程为________________．
解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
将 P，Q 两点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20， ①

3D－E＋F＝－10. ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③
设 x1，x2 是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得 D2－4F＝36，④
联立①②④，解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0.
答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
考点二 与圆有关的轨迹问题
[典例] (1)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
(2)已知圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点 A(2,3)作圆 C 的任意弦，则这些弦的中点 P 的
轨迹方程为________．
x1＋4 x＝ ，2 x1＝2x－4，
[解析] (1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则 即 y1－2 y1＝2y＋2， y＝ ，2
代入 x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)设 P(x，y)，圆心 C(1,1)．
―→ ―→
因为 P 点是过点 A 的弦的中点，所以 PA ⊥ PC .
―→ ―→
又因为 PA ＝(2－x,3－y)， PC ＝(1－x,1－y)．
所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
3 5
所以点 P 的轨迹方程为 x－ 2＋(y－2)2 2 ＝ . 4
3 5
[答案] (1)A (2) x－ 2 2 2 ＋(y－2) ＝ 4
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[变透练清]
1.(变条件)若将本例(2)中点 A(2,3)换成圆上的点 B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中
点 P 的轨迹方程为________．
解析：设 P(x，y)，圆心 C(1,1)．当点 P 与点 B 不重合时，因为 P 点是过点 B 的弦的中
―→ ―→
点，所以 PB ⊥ PC .
―→ ―→
又因为 PB ＝(1－x,4－y)， PC ＝(1－x,1－y)．
所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0.
所以点 P 的轨迹方程为(x－1)2＋
5 9
y－ 2
2 ＝ ； 4
当点 P 与点 B 重合时，点 P 满足上述方程．
5 9
综上所述，点 P 的轨迹方程为(x－1)2＋ y－ 2 2 ＝ . 4
5 9
答案：(x－1)2＋ y－ 2 2 ＝ 4
2．已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
解：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2,2y)．
因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)．
在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|，
设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以 x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.
[课时跟踪检测]
A 级
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1．以线段 AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：选 B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为 2，故圆的方
程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．若圆 x2＋y2＋2ax－b2＝0 的半径为 2，则点(a，b)到原点的距离为( )
A．1 B．2
C. 2 D．4
1
解析：选 B 由半径 r＝ D2＋E2
1
－4F＝ 4a2＋4b2＝2，得 a2＋b2＝2.
2 2
∴点(a，b)到原点的距离 d＝ a2＋b2＝2，故选 B.
3．以(a,1)为圆心，且与两条直线 2x－y＋4＝0 与 2x－y－6＝0 同时相切的圆的标准方
程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
解析：选 A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线 2x－y＋4＝0 的
|2a－1＋4| |2a－1－6|
距离 d＝ ＝ ，解得 a＝1，d＝ 5，∵直线与圆相切，∴r＝d＝ 5， ∴
5 5
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.
4．(2019·银川模拟)方程|y|－1＝ 1－(x－1)2表示的曲线是( )
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析：选 D 由题意知|y|－1≥0，则 y≥1 或 y≤－1，当 y≥1 时，原方程可化为(x－1)2
＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1 为半径、直线 y＝1 上方的半圆；当 y≤－1
时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1 为半径、直线
y＝－1 下方的半圆．所以方程|y|－1＝ 1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆，选 D.
5．已知 a∈R，若方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则此圆的圆心坐标为
( )
1
A．(－2，－4) B. － ，－1 2
1
C．(－2，－4)或 － ，－1 2 D．不确定
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解析：选 A ∵方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得 a
＝－1 或 a＝2.当 a＝－1 时，方程化为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
5
所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为 5.当 a＝2 时，方程化为 x2＋y2＋x＋2y＋ ＝0，此
2
时方程不表示圆．故选 A.
6．已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，
则圆 C 的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
解析：选 A 直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆 C 的圆心坐标为(－1,0)．
因为圆与直线 x＋y＋3＝0 相切，所以半径为圆心到切线的距离，
|－1＋0＋3|
即 r＝d＝ ＝ 2，
12＋12
则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
7．圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)，B(1,4)，则圆 C 的标准方程为________．
解析：设圆心 C 的坐标为(a，b)，
－1＋1 2＋4
则 a＝ ＝0，b＝ ＝3，故圆心 C(0,3)．
2 2
1 1
半径 r＝ |AB|＝ [1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.
2 2
∴圆 C 的标准方程为 x2＋(y－3)2＝2.
答案：x2＋(y－3)2＝2
8．已知圆 C 的圆心在 x 轴上，并且经过点 A(－1,1)，B(1,3)，若 M(m， 6)在圆 C 内，
则 m 的取值范围为________．
解析：设圆心为 C(a,0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得 a＝2.
半径 r＝|CA|＝ (2＋1)2＋12＝ 10.
故圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋( 6)2＜10，
解得 0＜m＜4.
答案：(0,4)
9．若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，且该圆与直线 y＝x＋3 相切，则该圆的标
准方程是________________．
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解析：抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是 x2＋(y－1)2
|－1＋3|
＝r2(r>0)，因为该圆与直线 y＝x＋3 相切，所以 r＝d＝ ＝ 2，故该圆的标准方程是
2
x2＋(y－1)2＝2.
答案：x2＋(y－1)2＝2
10．(2019·德州模拟)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆
4 5
心到直线 2x－y＝0 的距离为 ，则圆 C 的标准方程为________________．
5
解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a＞0，所以圆心到直线 2x－y
2a 4 5
＝0 的距离 d＝ ＝ ，解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3，所以圆 C 的标
5 5
准方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
11．已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(－1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于
点 C 和 D，且|CD|＝4 10.
(1)求直线 CD 的方程；
(2)求圆 P 的方程．
解：(1)直线 AB 的斜率 k＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．
所以直线 CD 的方程为 y－2＝－(x－1)，
即 x＋y－3＝0.
(2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 a＋b－3＝0.①
又直径|CD|＝4 10，
所以|PA|＝2 10.
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
a＝－3， a＝5，
由①②解得 或
b＝6 b＝－2，
所以圆心 P(－3,6)或 P(5，－2)，
所以圆 P 的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
12．已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点 C 的轨迹方程；
(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程．
解：(1)法一：设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，
所以 y≠0.
因为 AC⊥BC，所以 kAC·kBC＝－1，
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y y
又 kAC＝ ，kBC＝ ，
x＋1 x－3
y y
所以 · ＝－1，
x＋1 x－3
化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
1
法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝ |AB|
2
＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不
共线，所以应除去与 x 轴的交点)．
所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
x0＋3
(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x＝ ，2
y0＋0
y＝ ，所以 x0＝2x－3，y0＝2y. 2
由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将 x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2
＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
B 级
1．(2019·伊春三校联考)已知圆 C 2 21：(x＋1) ＋(y－1) ＝1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y
－1＝0 对称，则圆 C2 的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：选 B 圆 C ：(x＋1)2＋(y－1)21 ＝1，圆心 C1 为(－1,1)，半径为 1.易知点 C1(－1,1)
b－1
＝－1，a＋1
关于直线 x－y－1＝0 对称的点为 C2，设 C2(a，b)，则
a－1 b＋1
－ －1＝0， 解得2 2
a＝2，
所以 C2(2，－2)，所以圆 C2 的圆心为 C2(2，－2)，半径为 1，所以圆 C2的方程 b＝－2，
为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选 B.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
解析：因为直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，
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半径最大，此时半径 r＝ 2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
3．已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2＋y2－6x＋5＝0 相交于不同的两点 A，B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标；
(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程．
解：(1)把圆 C 的方程化为标准方程得(x－3)21 ＋y2＝4，
∴圆 C1 的圆心坐标为 C1(3,0)．
(2)设 M(x，y)，∵A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1的交点，且 M 为 AB 的中点，
―→ ―→
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴MC1·MO＝0.
―→ ―→
又∵MC1＝(3－x，－y)，MO＝(－x，－y)，
∴x2－3x＋y2＝0.
易知直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为 y＝mx，
当直线 l 与圆 C1 相切时，
|3m－0|
圆心到直线 l 的距离 d＝ ＝2，
m2＋1
2 5
解得 m＝± .
5
把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程化简得
9x2
5
－30x＋25＝0，解得 x＝ .
3
当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为(3,0)．
又∵直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，
5
∴ 3
5
∴点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－3x＋y2＝0，其中 3
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