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第七节 双曲线
一、基础知识
1．双曲线的定义
平面内到两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a (2a＜|F1F2|)的点 P 的轨迹
叫做双曲线 .这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点 P 的轨迹为靠近 F2 的双曲线的一支.
当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点 P 的轨迹为靠近 F1 的双曲线的一支.
若 2a＝2c，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线；若 2a＞2c，则轨迹不存在；若 2a
＝0，则轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的
x2 y2
标准方程为 －
a2 b2
＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的
y2 x2
标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)． a b
3．双曲线的几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 2－ 2＝1(a＞0，b＞0) 2－ ＝1(a＞0，b＞0) a b a b2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
线段 A1A2，B1B2 分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2a，
轴
虚轴长为 2b
焦距 |F1F2|＝2c
c b2
离心率 e＝ ＝ 1＋ 2∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的 a a
一个量，e 越大开口越大.
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b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
a，b，c 的关系 a2＝c2－b2
二、常用结论
2b2
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 ，也叫通径．
a
x2 y2 x2 y2
(2)与双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为 － ＝t(t≠0)． a b a2 b2
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min
＝c－a.
考点一 双曲线的标准方程
[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 y＝± 3x，则该双
曲线的标准方程是( )
7x2 y2 y2 x2
A. － ＝1 B. － ＝1
16 12 3 2
y2 3y2 x2
C．x2－ ＝1 D. － ＝1
3 23 23
x2 y2
(2)(2018·天津高考)已知双曲线
a2
－ 2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于b
x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和
d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. － ＝1 B. － ＝1
4 12 12 4
x2 y2 x2 y2
C. － ＝1 D. － ＝1
3 9 9 3
x2 y2
[解析] (1)法一：当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准方程是 2－ 2＝1(a＞0，a b
4 9
2－ 2＝1，a b a＝1， y2
b＞0)，由题意得 解得 所以该双曲线的标准方程为 x2－ ＝1；当b b＝ 3， 3 ＝ 3，a
y2 x2
双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的标准方程是 2－ ＝1(a＞0，b＞0)，由题意得a b2
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9 4
a2－ 2＝1，b y2
无解．故该双曲线的标准方程为 x2－ ＝1，选 C. a 3
＝ 3， b
法二：当其中的一条渐近线方程 y＝ 3x 中的 x＝2 时，y＝2 3＞3，又点(2,3)在第一象
x2 y2
限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程是 － ＝1(a＞0，b＞0)，由题意得
a2 b2
4 9
2－ 2＝1，a b a＝1，
2
解得 b b＝ 3，
y
所以该双曲线的标准方程为 x2－ ＝1，故选 C.
3
＝ 3，a
y
法三：因为双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，即 ＝±x，所以可设双曲线的方程是 x2
3
y2 y2
－ ＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得 λ＝1，所以该双曲线的标准方程为 x2－ ＝1，故选 C.
3 3
b2 b2
(2)法一：如图，不妨设 A 在 B 的上方，则 A c， a ，B
c，－
a .
又双曲线的一条渐近线为 bx－ay＝0，
bc－b2＋bc＋b2 2bc
则 d1＋d2＝ ＝ ＝2b
a2＋b2 c
＝6，所以 b＝3.
c
又由 e＝ ＝2，知 a2＋b2＝4a2，所以 a＝ 3.
a
x2 y2
所以双曲线的方程为 － ＝1.
3 9
法二：由 d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b＝3.因为双曲线
x2 y2 c a2＋b2 a2＋9
2－ 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，所以 ＝2，所以 2 ＝4，所以 2 ＝4，解得 a2＝3，a b a a a
x2 y2
所以双曲线的方程为 － ＝1，故选 C.
3 9
[答案] (1)C (2)C
[题组训练]
x2 y2
1．已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右a b
支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为 2 5，则该双曲线的标准方程为( )
x2 x2 y2
A. －y2＝1 B. － ＝1
4 3 2
y2 x2 y2
C．x2－ ＝1 D. － ＝1
4 2 3
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|PF1|－|PF2|＝2a＝4b，

2 2 2
解析：选 A 由题意可得 c ＝a ＋b ，

2c＝2 5，
a
2＝4， x2
解得 则该双曲线的标准方程为 －y2＝1. 2 b ＝1， 4
x2 y2
2．已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为 4，离心率为 5，则双曲线的标准方
a2 b2
程为( )
x2 y2 y2
A. － ＝1 B．x2－ ＝1
4 16 4
x2 y2 y2
C. － ＝1 D．x2－ ＝1
2 3 6
x2 y2
解析：选 A 因为双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为 4，所以 a＝2，由离心率为a b
c x2 y2
5，可得 ＝ 5，c＝2 5，所以 b＝ c2－a2＝ 20－4＝4，则双曲线的标准方程为 － ＝
a 4 16
1.
3．经过点 P(3,2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为所求双曲线经过点 P(3,2 7)，Q(－6 2，7)，
1
m＝－ ，
9m＋28n＝1， 75
所以 解得
72m＋49n＝1， 1
n＝ . 25
y2 x2
故所求双曲线方程为 － ＝1.
25 75
y2 x2
答案： － ＝1
25 75
考点二 双曲线定义的应用
考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程
[典例] 已知动圆 M 与圆 C ：(x＋4)2＋y2 2 21 ＝2 外切，与圆 C2：(x－4) ＋y ＝2 内切，则
动圆圆心 M 的轨迹方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. － ＝1(x≥ 2) B. － ＝1(x≤－ 2)
2 14 2 14
x2 y2 x2 y2
C. ＋ ＝1(x≥ 2) D. ＋ ＝1(x≤－ 2)
2 14 2 14
[解析] 设动圆的半径为 r，由题意可得|MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2，所以|MC1|－|MC2|
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＝2 2＝2a，故由双曲线的定义可知动点 M 在以 C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为 2a＝
x2
2 2的双曲线的右支上，即 a＝ 2，c＝4 b2＝16－2＝14，故动圆圆心 M 的轨迹方程为 －
2
y2
＝1(x≥ 2)．
14
[答案] A
[解题技法]
利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出
双曲线方程．
考法(二) 焦点三角形问题
[典例] 已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠F1PF2＝60°，
则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2 中，由余弦定理得
|F F 21 2| ＝|PF 2 21| ＋|PF2| －2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF |22 －|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF |)22 ＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
[答案] B
[解题技法]
在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是
涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角 θ已
1
知，则用 S△PF F ＝ |PF1||PF2|sin θ，||PF1|－|PF2||＝2a 及余弦定理等知识；若顶角 θ未知，1 2 2
1
则用 S△PF F ＝ ·2c·|y0|来解决． 1 2 2
[题组训练]
1．已知点 F1(－3,0)和 F2(3,0)，动点 P 到 F1，F2 的距离之差为 4，则点 P 的轨迹方程为
( )
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x2 y2 x2 y2
A. － ＝1(y>0) B. － ＝1(x>0)
4 5 4 5
y2 x2 y2 x2
C. － ＝1(y>0) D. － ＝1(x>0)
4 5 4 5
x2
解析：选 B 由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，设其方程为
a2
y2 x2
－ 2＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知 c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点 P 的轨迹方程为 －b 4
y2
＝1(x>0)．
5
y2 4
2．已知双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF |＝ |PF |，24 1 3 2
则△F1PF2 的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选 B 由双曲线的定义可得
1
|PF1|－|PF2|＝ |PF3 2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形 PF1F2为直角三角形，
1
因此 S△F PF ＝ |PF1|·|PF1 2 2 2|＝24.
考点三 双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)
x2 y2
[典例] (2018·长春二测)已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 Fa b 1，F2，
点 P 在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.
5
，2
5
1，
3 B. 3
5
C．(1,2] D. ，＋∞ 3
2a
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝ ，由双曲3
2a c 5 5
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得 ≥c－a，解得 ≤ ， 即 e≤ ，又双曲线的离心
3 a 3 3
5
率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 1， 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
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1．求双曲线的离心率或其范围的方法
c2 a2＋b2 b2
(1)求 a，b，c 的值，由 2＝ 2 ＝1＋ 2直接求 e. a a a
(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关
于 e 的方程(或不等式)求解．
2．求离心率的口诀归纳
离心率，不用愁，寻找等式消 b 求；
几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
考法(二) 求双曲线的渐近线方程
x2 y2
[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线 C： 2－ 2＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭m n
x2 y2
圆 ＋ ＝1 的离心率互为倒数，则双曲线 C 的渐近线方程为( )
25 16
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0 或 3x±4y＝0
D．4x±5y＝0 或 5x±4y＝0
b2 3
[解析] 由题意知，椭圆中 a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率 e＝ 1－ 2＝ ，∴双曲线a 5
n2 5 n 4 n 4
的离心率为 1＋ 2＝ ，∴ ＝ ，∴双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± x，即 4x±3y＝0.m 3 m 3 m 3
故选 A.
[答案] A
[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法
x2 y2 y2 x2
求双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)或 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边a b a b
x2 y2 b y2 x2 a
的常数等于 0，即令 2－ 2＝0，得 y＝± x；或令 2－ 2＝0，得 y＝± x.反之，已知渐近线方a b a a b b
b x2 y2
程为 y＝± x，可设双曲线方程为 2－ 2＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)． a a b
[题组训练]
x2 y2
1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线 －
a2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为 3，
且离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为( )
A．1 B. 3
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C．2 D．2 3
bc
解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为 ＝b＝ 3，
a2＋b2
c
即 c2－a2＝3，又 e＝ ＝2，所以 a＝1，该双曲线的实轴的长为 2a＝2.
a
x2 y2
2．已知直线 l 是双曲线 C： － ＝1 的一条渐近线，P 是直线 l 上一点，F ，F 是双
2 4 1 2
―→ ―→
曲线 C 的左、右焦点，若PF1·PF2＝0，则点 P 到 x 轴的距离为( )
2 3
A. B. 2
3
2 6
C．2 D.
3
解析：选 C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为 F1(－ 6，0)，F2( 6，0)，不妨设
―→ ―→
直线 l 的方程为 y＝ 2x，设 P(x0， 2x0)．由PF1·PF2＝(－ 6－x0，－ 2x0)·( 6－x0，－ 2
x )＝3x20 0－6＝0，得 x0＝± 2，故点 P 到 x 轴的距离为| 2x0|＝2，故选 C.
x2 y2
3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线 E： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)，a b
长方形 ABCD 的顶点 A，B 分别为双曲线 E 的左、右焦点，且点 C，D
5
在双曲线 E 上，若|AB|＝6，|BC|＝ ，则双曲线 E 的离心率为( )
2
3
A. 2 B.
2
5
C. D. 5
2
5 b2 5 5 5
解析：选 B 根据|AB|＝6 可知 c＝3，又|BC|＝ ，所以 ＝ ，b2＝ a，所以 c2＝a2＋ a
2 a 2 2 2
c 3
＝9，解得 a＝2(舍负)，所以 e＝ ＝ .
a 2
y2 x2
4．(2018·郴州二模)已知双曲线 － ＝1(m＞0)的一个焦点在直线 x＋y＝5 上，则双曲
m 9
线的渐近线方程为( )
3 4
A．y＝± x B．y＝± x
4 3
2 2 3 2
C．y＝± x D．y＝± x
3 4
y2 x2
解析：选 B 由双曲线 － ＝1(m＞0)的焦点在 y 轴上，且在直线 x＋y＝5 上，直线 x
m 9
＋y＝5 与 y 轴的交点为(0,5)，
有 c＝5，则 m＋9＝25，得 m＝16，
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y2 x2
所以双曲线的方程为 － ＝1，
16 9
4
故双曲线的渐近线方程为 y＝± x.故选 B.
3
[课时跟踪检测]
A 级
x2 y2
1．(2019·襄阳联考)直线 l：4x－5y＝20 经过双曲线 C：
a2
－ 2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦b
点和虚轴的一个端点，则双曲线 C 的离心率为( )
5 3
A. B.
3 5
5 4
C. D.
4 5
解析：选 A 由题意知直线 l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而 c＝5，b＝4，
c 5
∴a＝3，双曲线 C 的离心率 e＝ ＝ .
a 3
y2
2．设 F1，F2分别是双曲线 x2－ ＝1 的左、右焦点，若点 P 在双曲线上，且|PF9 1|＝6，
则|PF2|＝( )
A．6 B．4
C．8 D．4 或 8
解析：选 D 由双曲线的标准方程可得 a＝1，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，
解得|PF2|＝4 或 8.
x2 y2
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，则点(4,0)到 Ca b
的渐近线的距离为( )
A. 2 B．2
3 2
C. D．2 2
2
c b2 b
解析：选 D ∵e＝ ＝ 1＋ 2＝ 2，∴ ＝1. a a a
∴双曲线的渐近线方程为 x±y＝0.
4
∴点(4,0)到 C 的渐近线的距离 d＝ ＝2 2.
2
x2 y2 x2 y2
4．若实数 k 满足 0＜k＜9，则曲线 － ＝1 与曲线 － ＝1 的( )
25 9－k 25－k 9
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
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C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选 D 由 025－k＋9，得两双曲线的焦距相等．
5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x2－y2＝1，
过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及 x 轴所围成的三
角形的面积为( )
2 2
A. B.
4 2
2 2
C. D.
8 16
2
解析：选 C 设双曲线 C1的左顶点为 A，则 A － ，0 ，双曲线的渐近线方程为 y＝± 2 2
2
x，不妨设题中过点 A 的直线与渐近线 y＝ 2x 平行，则该直线的方程为 y＝ 2 x＋ ，即
2
2
y＝－ 2x， x＝－ ，4
y＝ 2x＋1.联立 解得 所以该直线与另一条渐近线及 x 轴所围 y＝ 2x＋1， 1 y＝ .2
1 1 1 2 1 2
成的三角形的面积 S＝ ·|OA|·＝ × × ＝ ，故选 C.
2 2 2 2 2 8
x2 y2
6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C： 2－ 2＝1(aa b
＞0，b＞0)的离心率为 5，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A，若△AFO
的面积为 1，则双曲线 C 的方程为( )
x2 y2 x2
A. － ＝1 B. －y2＝1
2 8 4
x2 y2 2
C. － ＝1 D．x2
y
－ ＝1
4 16 4
解析：选 D 因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以 ab＝2，
b2
又双曲线 C 的离心率为 5，所以 1＋ ＝ 5，即 b2＝4a2，解得 a2＝1，b2＝4，所以双
a2
2
曲线 C 的方程为 x2
y
－ ＝1，故选 D.
4
x2 y2 5
7．(2018·北京高考)若双曲线 2－ ＝1(a>0)的离心率为 ，则 a＝________. a 4 2
c a2＋b2 a2＋4 5
解析：由 e＝ ＝ 2 ，得a a a2 ＝ ， 4
∴a2＝16.
∵a>0，∴a＝4.
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答案：4
y2
8．过双曲线 x2－ ＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，
3
B 两点，则|AB|＝________.
2
解析：双曲线的右焦点为 F(2,0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x＝2，渐近线方程为 x2
y
－
3
y2
＝0，将 x＝2 代入 x2－ ＝0，得 y2＝12，y＝±2 3，故|AB|＝4 3.
3
答案：4 3
x2 y2
9．(2018·海淀期末)双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，a b
OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a＝________.
x2 y2 b
解析：双曲线 － ＝1 的渐近线方程为 y＝± x，由已知可得两条渐近线互相垂直，由
a2 b2 a
b
双曲线的对称性可得 ＝1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c＝2 2，所以 a2＋b2＝c2＝
a
(2 2)2，解得 a＝2.
答案：2
x2 y2
10．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线 C： 2－a b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，过点 F
2 c
2
作圆(x－a) ＋y2＝ 的切线，若该切线恰好与 C 的一条渐近线垂直，则双曲线 C 的离心率
16
为________．
b a
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为 y＝ x，由题意可知该切线方程为 y＝－ (x－
a b
c2 c
c)，即 ax＋by－ac＝0.圆(x－a)2＋y2＝ 的圆心为(a,0)，半径为 ，则圆心到切线的距离 d＝
16 4
|a2－ac| ac－a2 c c
＝ ＝ ，又 e＝ ，则 e2－4e＋4＝0，解得 e＝2，所以双曲线 C 的离心率 e＝2.
a2＋b2 c 4 a
答案：2
11．已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4，
－ 10)，点 M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
―→ ―→
(2)求证：MF1·MF2＝0；
(3)求△F1MF2 的面积．
解：(1)∵e＝ 2，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．
则可设双曲线方程为 x2－y2＝λ.
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∵双曲线过点(4，－ 10)，
∴16－10＝λ，即 λ＝6.
x2 y2
∴双曲线方程为 － ＝1.
6 6
(2)证明：不妨设 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
―→ ―→
则MF1＝(－2 3－3，－m)，MF2＝(2 3－3，－m)．
―→ ―→
∴MF 2 21·MF2＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m ＝－3＋m ，
∵M 点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即 m2－3＝0，
―→ ―→
∴MF1·MF2＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4 3.
由(2)知 m＝± 3.
∴△F1MF2的高 h＝|m|＝ 3，
1
∴S△F1MF2＝ ×4 3× 3＝6. 2
12．中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|＝2 13，
椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为 3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos∠F1PF2 的值．
x2 y2 x2 y2
解：(1)由题知 c＝ 13，设椭圆方程为 2＋ ＝1(a>b>0)，双曲线方程为 － ＝1(m>0，a b2 m2 n2
n>0)，
a－m＝4，
则 13 13
7· ＝3· ， a m
解得 a＝7，m＝3.则 b＝6，n＝2.
x2 y2 x2 y2
故椭圆方程为 ＋ ＝1，双曲线方程为 － ＝1.
49 36 9 4
(2)不妨设 F1，F2 分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2 13，
|PF 21| ＋|PF 22| －|F F |2 21 2 10 ＋42－(2 13)2 4
所以 cos∠F1PF2＝ ＝ ＝ . 2|PF1||PF2| 2×10×4 5
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B 级
3 x2 y2
1．已知圆(x－1)2＋y2＝ 的一条切线 y＝kx 与双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)有两个4 a b
交点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )
A．(1， 3) B．(1,2)
C．( 3，＋∞) D．(2，＋∞)
|k| 3
解析：选 D 由题意，知圆心(1,0)到直线 kx－y＝0 的距离 d＝ ＝ ，∴k＝± 3，
k2＋1 2
b b2 a2＋b2 c2
由题意知 ＞ 3，∴1＋ 2＞4，即 2 ＝ 2＞4，∴e＞2. a a a a
x2 y2
2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分a b
别为 F1，F2，直线 l 过点 F1 且与双曲线 C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于 M，
N 两点，若|NF1|＝2|MF1|，则双曲线 C 的渐近线方程为( )
3
A．y＝± x B．y＝± 3x
3
2
C．y＝± x D．y＝± 2x
2
解析：选 B ∵|NF1|＝2|MF1|，∴M 为 NF1 的中点，
又 OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，
又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，
∴双曲线 C 的渐近线的斜率 k＝±tan 60°＝± 3，
即双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3x.故选 B.
x2 y2
3．设 A，B 分别为双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，a b
焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程；
3
(2)已知直线 y＝ x－2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点
3
―→ ―→ ―→
D，使OM＋ON ＝t OD，求 t 的值及点 D 的坐标．
解：(1)由题意知 a＝2 3，
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b
∵一条渐近线为 y ＝ x，∴bx－ay＝0.
a
|bc|
由焦点到渐近线的距离为 3，得 ＝ 3.
b2＋a2
x2 y2
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为 － ＝1.
12 3
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则 x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
3 x2 y2
将直线方程 y＝ x－2 代入双曲线方程 － ＝1 得
3 12 3
x2－16 3x＋84＝0，
3
则 x1＋x2＝16 3，y1＋y2＝ (x1＋x2)－4＝12. 3
x0 4 3＝ ，y0 3 x0＝4 3，
∴ 解得
x2 20 y0 y0＝3. － ＝1.12 3
∴t＝4，点 D 的坐标为(4 3，3)．
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