资源简介

第八节 抛物线
一、基础知识
1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(点 F 不在直线 l 上)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物
线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
方程
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x 轴 y 轴
p
焦点 F ，0
p
F － ，0 F
p
0， F
p
0，－
2 2 2 2
离心率 e＝1
p p p p
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中 p p p p
|PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y2 2 2 0＋ P(x0，y0))
2
二、常用结论
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
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设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦 AB 的倾
斜角．则
p2
(1)x x ＝ ，y y ＝－p21 2 4 1 2 .
p p
(2)|AF|＝ ，|BF|＝ .
1－cos α 1＋cos α
2p
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ . sin2α
1 1 2
(4) ＋ ＝ .
|AF| |BF| p
(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切．
考点一 抛物线的定义及应用
[典例] (1)若抛物线 y2＝4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则△OFP
的面积为( )
1
A. B．1
2
3
C. D．2
2
(2)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[解析] (1)设 P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
又点 P 到焦点 F 的距离为 2，
∴由定义知点 P 到准线的距离为 2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入抛物线方程得|yP|＝2，
1 1
∴△OFP 的面积为 S＝ ·|OF|·|yP|＝ ×1×2＝1. 2 2
(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|
＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为
4.
[答案] (1)B (2)4
[变透练清]
1．若抛物线 y2＝2px(p＞0)上的点 A(x0， 2)到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，
则 p 等于( )
1
A. B．1
2
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3
C. D．2
2
解析：选 D 由抛物线 y2
p
＝2px 知其准线方程为 x＝－ .又点 A 到准线的距离等于点 A
2
p p p p2
到焦点的距离，∴3x 0＝x0＋ ，∴x0＝ ，∴A ， 2 4 .∵点 A 在抛物线 y
2＝2px 上，∴ ＝2.
2 4 2
∵p＞0，∴p＝2.故选 D.
2.(变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 22＋42＝ 4＋16＝2 5，
即|PB|＋|PF|的最小值为 2 5.
答案：2 5
3．已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点 P 到
y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为________．
解析：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)．
点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1，
所以 d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，
|1＋5|
故 d2＋|PF|的最小值为 ＝3 2，
12＋(－1)2
所以 d1＋d2的最小值为 3 2－1.
答案：3 2－1
[解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的
相互转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最
短”，使问题得解；
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连
线中，垂线段最短”解决．
考点二 抛物线的标准方程及性质
[典例] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(－4，－2)的抛物线的标准方程是
( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
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C．y2＝－8x 或 x2＝－y D．y2＝－x 或 x2＝－8y
(2)(2018·北京高考)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y2＝4ax 截得的线
段长为 4，则抛物线的焦点坐标为________．
[解析] (1)(待定系数法)设抛物线为 y2＝mx，代入点 P(－4，－2)，解得 m＝－1，则抛
物线方程为 y2＝－x；设抛物线为 x2＝ny，代入点 P(－4，－2)，解得 n＝－8，则抛物线方
程为 x2＝－8y.
(2)由题知直线 l 的方程为 x＝1，
则直线与抛物线的交点为(1，±2 a)(a>0)．
又直线被抛物线截得的线段长为 4，
所以 4 a＝4，即 a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
[答案] (1)D (2)(1,0)
[解题技法]
1．求抛物线标准方程的方法及注意点
(1)方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程
(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的
抛物线的标准方程可统一设为 y2＝ax(a≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在 y 轴上的抛物线
的标准方程可设为 x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
(2)注意点
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
③要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[题组训练]
1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线 y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝－12y D．x2＝12y
解析：选 D 由抛物线的定义知，过点 F(0,3)且和直线 y＋3＝0 相切的动圆圆心的轨迹
是以点 F(0,3)为焦点，直线 y＝－3 为准线的抛物线，故其方程为 x2＝12y.
2．若双曲线 C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点，且|AB|＝
4 3，则 m 的值是________．
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解析：y2＝16x 的准线 l：x＝－4，
因为 C 与抛物线 y2＝16x 的准线 l：x＝－4 交于 A，B 两点，|AB|＝4 3，
设 A 在 x 轴上方，
所以 A(－4,2 3)，B(－4，－2 3)，
将 A 点坐标代入双曲线方程得 2×(－4)2－(2 3)2＝m，
所以 m＝20.
答案：20
3．已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的
动点，若△FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．
解析：由△FPM 为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的
m2 p p
准线，设 P m， m，－ 0， 2p ，则点 M 2 ，因为焦点 F 2 ，△FPM 是等边三角形，所以
m2 p
＋ ＝4，2p 2 m2 ＝12， 解得 因此抛物线方程为 x2＝4y. p p 2 2 p＝2， ＋ 2 2 ＋m ＝4，
答案：x2＝4y
考点三 直线与抛物线的综合问题
考法(一) 直线与抛物线的交点问题
[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)和定点 M(0,1)，设过点
M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线的交点为 N.若 N 在以 AB
为直径的圆上，则 p 的值为________．
[解析] 设直线 AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x2－2pkx－2p＝0，
则 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.
由 x2
x
＝2py 得 y′＝ ，
p
x1x2 2
则 A，B 处的切线斜率的乘积为
p2
＝－ ，
p
∵点 N 在以 AB 为直径的圆上，∴AN⊥BN，
2
∴－ ＝－1，∴p＝2.
p
[答案] 2
[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路
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(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
考法(二) 抛物线的焦点弦问题
[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k>0)的直线
l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|＝8.
(1)求 l 的方程；
(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k>0)．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y＝k(x－1)，
由 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
y2 ＝4x
2k2＋4
Δ＝16k2＋16>0，故 x1＋x2＝ . k2
4k2＋4
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝ 2 . k
4k2＋4
由题设知 2 ＝8，解得 k＝1 或 k＝－1(舍去)． k
因此 l 的方程为 y＝x－1.
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，
所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，
即 y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
y0＝－x0＋5，
则 (y0－x0＋1)2
(x ＋1)2 0 ＝ ＋16. 2
x0＝3， x0＝11，
解得 或
y0＝2 y0＝－6.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[解题技法]
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦
点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设
而不求”、“整体代入”等解法．
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[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
[题组训练]
2
1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为 的直线与 C
3
―→ ―→
交于 M，N 两点，则FM ·FN ＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
2
解析：选 D 由题意知直线 MN 的方程为 y＝ (x＋2)，
3
2 y＝ (x＋2)， x＝1， x＝4，
联立 3 解得 或
y2
y＝2 y＝4.
＝ 4x，
不妨设 M(1,2)，N(4,4)．
又∵抛物线焦点为 F(1,0)，
―→ ―→
∴FM＝(0,2)， FN ＝(3,4)．
―→ ―→
∴FM ·FN ＝0×3＋2×4＝8.
2．已知抛物线 y2＝16x 的焦点为 F，过 F 作一条直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|＝6，
则|BF|＝________.
p
解析：不妨设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(A 在 B 上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋ ＝x1＋4＝2
4 2
6，所以 x1＝2，y1＝4 2，所以直线 AB 的斜率为 k＝ ＝－2 2，所以直线方程为 y＝－
2－4
2 2(x－4)，与抛物线方程联立得 x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以 x2＝8，故|BF|
＝8＋4＝12.
答案：12
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2018·永州三模)已知抛物线 y＝px2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，则抛物线的焦点到准
线的距离等于( )
9 3
A. B.
2 2
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1 1
C. D.
18 6
解析：选 D 由抛物线 y＝px2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，可得 p＝3，则抛物线的标准
1 1
方程为 x2＝ y，则抛物线的焦点到准线的距离等于 .故选 D.
3 6
2．过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2
9 4
＝－ x 或 x2＝ y
2 3
9 4
B．y2＝ x 或 x2＝ y
2 3
2 9 2 4C．y ＝ x 或 x ＝－ y
2 3
D．y2
9 4
＝－ x 或 x2＝－ y
2 3
解析：选 A 设抛物线的标准方程为 y2
9
＝kx 或 x2＝my，代入点 P(－2,3)，解得 k＝－ ，
2
4 9 4
m＝ ，所以 y2＝－ x 或 x2＝ y.
3 2 3
3．(2019·龙岩质检)若直线 AB 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，且 AB⊥x 轴，|AB|＝4 2，
则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选 A 由|AB|＝4 2及 AB⊥x 轴，不妨设点 A 的纵坐标为 2 2，代入 y2＝4x 得点
A 的横坐标为 2，从而直线 AB 的方程为 x＝2.又 y2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到
直线 AB 的距离为 2－1＝1，故选 A.
x2
4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线 C：y＝ 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，8
且|AF|＝2y0，则 x0＝( )
A．2 B．±2
C．4 D．±4
x2
解析：选 D 由 y＝ ，得抛物线的准线为 y＝－2，由抛物线的几何意义可知，|AF|＝
8
2y0＝2＋y0，得 y0＝2，所以 x0＝±4，故选 D.
5．(2019·湖北五校联考)直线 l 过抛物线 y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于 A，
B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－12x B．y2＝－8x
C．y2＝－6x D．y2＝－4x
解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.
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x1＋x2
又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，∴－ ＝2，∴x
2 1
＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的
方程为 y2＝－8x.故选 B.
6．已知点 A(0,2)，抛物线 C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点
M，与其准线相交于点 N.若|FM|∶|MN|＝1∶ 5，则 a 的值为( )
1 1
A. B.
4 2
C．1 D．4
a
解析：选 D 依题意，点 F 的坐标为 ，0 4 ，设点 M 在准线上的
射影为 K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶ 5，则
0－2 8 |KN| 8
|KN|∶|KM|＝2∶1.∵kFN＝ ＝－ ，kFN＝－ ＝－2，∴ ＝2，解a a |KM| a
－0
4
得 a＝4.
7．抛物线 x2＝－10y 的焦点在直线 2mx＋my＋1＝0 上，则 m＝________.
5 2
解析：抛物线的焦点为 0，－ 2 ，代入直线方程 2mx＋my＋1＝0，可得 m＝ . 5
2
答案：
5
8．(2019·沈阳质检)已知正三角形 AOB(O 为坐标原点)的顶点 A，B 在抛物线 y2＝3x 上，
则△AOB 的边长是________．
3 1
解析：如图，设△ AOB 的边长为 a，则 A a， a ，∵点 A 在抛
2 2
2 1物线 y ＝3x 上，∴ a2
3
＝3× a，∴a＝6 3.
4 2
答案：6 3
x2
9．(2018·广州一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线 －y2＝1的右焦点重合，
3
若 A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线 AF 的斜率为________．
x2
解析：∵双曲线 －y2＝1 的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为 y2＝8x，∵|AF|＝3，∴x
3 A
＋2＝3，得 xA＝1，代入抛物线方程可得 yA＝±2 2.∵点 A 在第一象限，∴A(1,2 2)，
2 2
∴直线 AF 的斜率为 ＝－2 2.
1－2
答案：－2 2
10．已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y
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轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值
时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4 时为最小值，所
以|AC|＋|BD|的最小值为 2.
答案：2
11．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方
的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标．
p
解：(1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－ ，
2
p
于是 4＋ ＝5，∴p＝2.
2
∴抛物线方程为 y2＝4x.
(2)∵点 A 的坐标是(4,4)，
由题意得 B(0,4)，M(0,2)．
4
又∵F(1,0)，∴kFA＝ ， 3
3
∵MN⊥FA，∴kMN＝－ . 4
4
∴FA 的方程为 y＝ (x－1)，①
3
3
MN 的方程为 y－2＝－ x，②
4
8 4
联立①②，解得 x＝ ，y＝ ，
5 5
∴点 N 的坐标为
8 4
，
5 5 .
12．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：y＝－x 的一个交点
的横坐标为 8.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点
为 P，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．
解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，
∴抛物线 C 的方程为 y2＝8x.
(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2与 x 轴
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的交点为 M.
2
y ＝8x，
由
x＝y＋m， 得 y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
y21y
2
2
∴x1x2＝ ＝m2. 64
由题意可知 OA⊥OB，即 x1x2＋y 21y2＝m －8m＝0，
∴m＝8 或 m＝0(舍去)，∴直线 l2：x＝y＋8，M(8,0)．
1
故 S 2△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝ ·|FM|·|y1－y2 2|＝3 (y1＋y2) －4y1y2＝24 5.
B 级
1．设抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线为 l，M∈C，以 M 为圆心的圆 M 与准
线 l 相切于点 Q，Q 点的纵坐标为 3p，E(5,0)是圆 M 与 x 轴不同于 F 的另一个交点，则 p
＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
p
解析：选 B 如图，抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F ，0 2 ，由
3p
Q 点的纵坐标为 3p 知 M 点的纵坐标为 3p，则 M 点的横坐标 x＝ ，
2
3p 3p
即 M ， 3p 2 .由题意知点 M 是线段 EF 的垂直平分线上的点， ＝2
p
5－
2 p
＋ ，解得 p＝2.故选 B.
2 2
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点 M(－1,1)和抛物线 C：y2＝4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直
线与 C 交于 A，B 两点．若∠AMB＝90°，则 k＝________.
解析：法一：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y
2
1＝4x1，
则 ∴y2－y2＝4(x －x )，
y2
1 2 1 2
2＝4x2，
y1－y2 4
∴k＝ ＝ .
x1－x2 y1＋y2
设 AB 中点 M′(x0，y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A，B 作准线 x＝－1 的垂线，垂
足为 A′，B′，
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1 1
则|MM′|＝ |AB|＝ (|AF|＋|BF|)
2 2
1
＝ (|AA′|＋|BB′|)．
2
∵M′(x0，y0)为 AB 的中点，
∴M 为 A′B′的中点，∴MM′平行于 x 轴，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，
设直线方程为 y＝k(x－1)，
直线方程与 y2＝4x 联立，消去 y，
得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2k2＋4
则 x1x2＝1，x1＋x2＝ 2 . k
―→
由 M(－1,1)，得AM＝(－1－x1,1－y1)，
―→
BM＝(－1－x2,1－y2)．
―→ ―→
由∠AMB＝90°，得AM ·BM＝0，
∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.
又 y 21y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k [x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
2k2＋4 2k2＋4 2k2＋4
∴1＋ 2 ＋ ＋ 2
－ ＋ － 1 k 1 2 1 k －

2 ＋1＝0，
k k k2
4 4
整理得 2－ ＋1＝0，解得 k＝2. k k
答案：2
3．(2019·洛阳模拟)已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，
D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点．
(1)若 AB∥l，且△ABD 的面积为 1，求抛物线的方程；
(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切．
解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.
∴S 2△ABD＝p ，∴p＝1，
故抛物线 C 的方程为 x2＝2y.
p
(2)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋ ，
2
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p
y＝kx＋ ，
由 2 得 x2－2kpx－p2＝0. x2＝2py
∴x 21＋x2＝2kp，x1x2＝－p .
x
2
1 x
2
2
其中 A x 1
， x ，
2p ，B 2 2p .
p
∴M kp，k2p＋ ，N
p
kp，－
2 2 .
x2 p x2 2 21 1 p x1＋p x
2
1－x1x2
＋ ＋
2p 2 2p 2 2p 2p x1
∴kAN＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
x1－kp x1＋x2 x1－x2 x1－x2 p
x1－ 2 2 2
x
又 x2＝2py，∴y′＝ .
p
x1
∴抛物线 x2＝2py 在点 A 处的切线斜率 k＝ .
p
∴直线 AN 与抛物线相切．
第九节 曲线与方程
一、基础知识
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数
解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条
曲线叫做方程的曲线 .
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系 ，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；
(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)} ；
(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0；
(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
(1)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0, 那么点 P0(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，
y0)＝0.
(2)“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0
的解”的充分不必要条件.
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