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第六节 椭 圆
一、基础知识
1．椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数
2a(2a＞|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆，这两个
定点 F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆
x2 y2
的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆
y2 x2
的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
3．椭圆的几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 2＋ 2＝1(a＞b＞0) 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b a b
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 关于 x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
(a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－ (b,0)，(－b,0)， (0，a)，
顶点坐标
b) (0，－a)
焦点坐标 (c,0)，(－c,0) (0，c)，(0，－c)
半轴长 长半轴长为 a，短半轴长为 b，a＞b
c
离心率 e＝
a
a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2
长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．
离心率表示椭圆的扁平程度．当 e 越接近于 1 时，c 越接
近于 a，从而 b＝ a2－c2越小，因此椭圆越扁．
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二、常用结论
2b2
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为 ，过焦点最长弦为长轴．
a
(2)过原点最长弦为长轴长 2a，最短弦为短轴长 2b.
x2 y2 x2 y2
(3)与椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为 ＋ ＝1(λ＞－b2)． a b a2＋λ b2＋λ
(4)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2 构成的△PF1F2 叫做焦点三角形．若
x2 y2
r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为 S，则在椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)中： a b
①当 r1＝r2，即点 P 为短轴端点时，θ最大；
1
②S＝ |PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点 P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为2
bc；
③△PF1F2 的周长为 2(a＋c)．
第一课时 椭圆及其性质
考点一 椭圆的标准方程
[典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为
4 5，则椭圆的标准方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
6 4 16 36
x2 y2 x2 y2
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
36 16 49 9
5
(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点 A(－3,0)，且离心率 e＝ ，则椭圆的标准方程为
3
________．
[解析] (1)由长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，可得 a＋b＝10,2c＝4 5，∴c＝2 5.
x22 y
2
又 a ＝b2＋c2，∴a2＝36，b2＝16.∵焦点在 x 轴上，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1.故选 C.
36 16
5
(2)若焦点在 x 轴上，由题知 a＝3，因为椭圆的离心率 e＝ ，所以 c＝ 5，b＝2，所
3
x2 y2 c 5
以椭圆方程是 ＋ ＝1.若焦点在 y 轴上，则 b＝3，a2－c2＝9，又离心率 e＝ ＝ ，解得
9 4 a 3
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2 81 y
2 x2
a ＝ ，所以椭圆方程是 ＋ ＝1.
4 81 9
4
x2 y2 y2 x2
[答案] (1)C (2) ＋ ＝1 或 ＋ ＝1
9 4 81 9
4
[题组训练]
x2 y2
1．(2018·济南一模)已知椭圆 C： ＋ ＝1(a＞b＞0)，若长轴长为 6，且两焦点恰好将
a2 b2
长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
36 32 9 8
x2 y2 x2 y2
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
9 5 16 12
解析：选 B 椭圆长轴长为 6，即 2a＝6，得 a＝3，
∵两焦点恰好将长轴三等分，
1
∴2c＝ ·2a＝2，得 c＝1，
3
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，
x2 y2
∴此椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.故选 B.
9 8
1
2．椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若椭圆 C 的离心率等于 ，且它的一个顶点
2
恰好是抛物线 x2＝8 3y 的焦点，则椭圆 C 的标准方程为______________．
x2 y2
解析：由题意设椭圆的方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
由题设知抛物线的焦点为(0,2 3)，所以椭圆中 b＝2 3.
c 1
因为 e＝ ＝ ，所以 a＝2c，
a 2
a＝2c，

又 a2－b2＝c2，联立 b＝2 3， 解得 c＝2，a＝4，

a2－ 2＝ 2，
b c
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1.
16 12
x2 y2
答案： ＋ ＝1
16 12
3．已知椭圆中心在原点，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3，1)两点，则椭圆的标准方程
为________．
解析：设所求椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
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1
m＝ ，
3m＋4n＝1， 15
依题意有 解得
12m＋n＝1， 1
n＝ . 5
x2 y2
∴所求椭圆的方程为 ＋ ＝1.
15 5
x2 y2
答案： ＋ ＝1
15 5
考点二 椭圆的定义及其应用
x2 y2
[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点a b
2
分别为 F1，F2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，则3
椭圆 C 的标准方程为( )
x2 x2 y2
A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1
3 3 2
x2 y2 x2 y2
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
9 4 9 5
x2 y2
(2)已知点 P(x，y)在椭圆 ＋ ＝1 上，F1，F2 是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积36 100
为 18，则∠F1PF2的余弦值为________．
[解析] (1)由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长为
c 2
|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝ ＝ ，所以 c＝2，所a 3
2 2 2 x
2 y2
以 b ＝a －c ＝5，所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1，故选 D.
9 5
x2 y2
(2)椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点为 F (0，－8)，F (0,8)，
36 100 1 2
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，
两边平方得|PF 2 21| ＋|PF2| ＋2|PF1||PF2|＝202，
由余弦定理得|PF |21 ＋|PF 2 22| －2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝16 ，
两式相减得 2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144.
1
又 S△PF1F2＝ |PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18， 2
所以 1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，
3
解得 cos∠F1PF2＝ . 5
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3
[答案] (1)D (2)
5
[变透练清]
x2 y2
1．已知椭圆 ＋ ＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1的距离为 3，则 P 到另一个焦点 F25 16 2
的距离为( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：选 D 因为 a2＝25，所以 2a＝10，由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10
－|PF1|＝7.
2.(变结论)若本例(2)条件不变，则△PF1F2 的内切圆的面积为________．
解析：由椭圆的定义可知△PF1F2 的周长的一半为 a＋c＝18，所以由三角形的面积公式
S＝pr(其中 p，r 分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得 r＝1，所以△PF1F2 的内切
圆的面积为 π.
答案：π
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若 PF1
⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为( )
3
A．1－ B．2－ 3
2
3－1
C. D. 3－1
2
x2 y2
(2)已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3xa b
4
－4y＝0 交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E
5
的离心率的取值范围是( )
3 3A. 0， B. 0，
2 4
3 3
C. ，1 D. ，1
2 4
[解析] (1)在 Rt△PF1F2 中，∠PF2F1＝60°，
不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝ 3，
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x2 y2
由椭圆的定义可知，在方程 2＋ 2＝1 中， a b
1＋ 3
2a＝1＋ 3，2c＝2，得 a＝ ，c＝1，
2
c 2
所以离心率 e＝ ＝ ＝ 3－1.
a 1＋ 3
(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为 4a
|3×0－4×b| 4 c b2
＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以 a＝2.又 d＝ ≥ ，所以 1≤b＜2，所以 e＝ ＝ 1－ 2
32＋(－4)2 5 a a
b2 3
＝ 1－ .因为 1≤b＜2，所以 0＜e≤ .
4 2
[答案] (1)D (2)A
[解题技法] 求椭圆离心率的方法
c
(1)定义法：根据条件求出 a，c，直接利用公式 e＝ 求解．
a
(2)方程法：根据条件得到关于 a，b，c 的齐次等式(不等式)，结合 b2＝a2－c2 转化为关
于 a，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以 a 或 a2 转化为关于 e
或 e2 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．
考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题
x2 y2
[典例] 已知点 F1，F2 分别是椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点，点 M 是该椭圆上的一个动25 16
―→ ―→
点，那么|MF1＋MF2|的最小值是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
[解析] 设 M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．
―→ ―→
则MF1＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0)，
―→ ―→
所以MF1＋MF2＝(－2x0，－2y0)，
―→ ―→ y20 9
|MF1＋MF2|＝ 4x20＋4y20＝ 4×25 1－ 2 2 16 ＋4y0＝ 100－ y0， 4
因为点 M 在椭圆上，所以 0≤y20≤16，
―→ ―→
所以当 y20＝16 时，|MF1＋MF2|取最小值为 8.
[答案] C
[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要
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联想到图形．
(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0
＜e＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不
等关系．
[题组训练]
x2 y2
1．(2018·贵阳摸底)P 是椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，
a2 b2
1
PF⊥x 轴，若 tan∠PAF＝ ，则椭圆的离心率 e 为( )
2
2 2
A. B.
3 2
3 1
C. D.
3 2
解析：选 D 不妨设点 P 在第一象限，因为 PF⊥x 轴，所以 xP＝c，将 xP＝c 代入椭圆
b2
b2 b2 |PF| a 1
方程得 yP＝ ，即|PF|＝ ，则 tan∠PAF＝ ＝ ＝ ，结合 b2＝a2－c2，整理得 2c2＋aca a |AF| a＋c 2
－a2＝0，两边同时除以 a2
1
得 2e2＋e－1＝0，解得 e＝ 或 e＝－1(舍去)．故选 D.
2
x2
2．已知 P 在椭圆 ＋y2＝1 上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
4
218 76
A. B.
3 3
C．5 D．2 5
x20
解析：选 C 设 P(x 20，y0)，则由题意得 ＋y ＝1， 4 0
故 x20＝4(1－y20)，
所以|PA|2＝x20＋(y0－4)2
＝4(1－y2)＋y20 0－8y0＋16
＝－3y20－8y0＋20
4 76＝－3 y0＋ 2 3 ＋ ， 3
又－1≤y0≤1，
所以当 y 20＝－1 时，|PA| 取得最大值 25，
即|PA|最大值为 5.故选 C.
x2 y2
3．已知 F1，F2 分别是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，a b
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使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )
A.
2 1 2
，1
3 B. ， 3 2
C.
1 1
，1 D. 0， 3 3
解析：选 C 如图所示，
∵线段 PF1的中垂线经过 F2，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点 P，
使得|PF2|＝2c.
∴a－c≤2c＜a＋c.
c 1
∴e＝ ∈ ，1 3 . a
[课时跟踪检测]
A 级
1．椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的标准
方程为( )
x2
A. ＋y2＝1
4
y2 x2
B. ＋ ＝1
16 4
x2 y2 x2
C. ＋y2＝1 或 ＋ ＝1
4 16 4
x2 2
D. ＋y2
y
＝1 或 ＋x2＝1
4 4
解析：选 C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，即 a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，
x2
所以若焦点在 x 轴上，则 a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为 ＋y2＝1；若焦点在 y 轴上，则 a
4
y2 x2
＝4，b＝2，椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，故选 C.
16 4
x2 y2
2．已知方程 ＋ ＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围为( )
|m|－1 2－m
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3A. －∞， 2 B．(1,2)
3
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，－1)∪ 1， 2
|m|－1＞0，

解析：选 D 依题意得不等式组 2－m＞0，
－ ＞ － ， 2 m |m| 1
3
解得 m＜－1 或 1＜m＜ ，故选 D.
2
3．已知椭圆的方程为 2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为( )
1 3
A. B.
3 3
2 1
C. D.
2 2
x2 y2
解析：选 B 由题意得椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，
m m
2 3
m m
所以 a2＝ ，b2＝ ，
2 3
2 2 2 m c
2 1 3
所以 c ＝a －b ＝ ，e2＝ ＝ ，e＝ .
6 a2 3 3
x2 y2
4．已知椭圆 C： ＋ ＝1 的左、右焦点分别为 F
4 3 1
，F2，椭圆 C 上的点 A 满足 AF2⊥
―→ ―→
F1F2，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则F1P·F2A的最大值为( )
3 3 3
A. B.
2 2
9 15
C. D.
4 4
解析：选 B 由椭圆方程知 c＝1，
所以 F1(－1,0)，F2(1,0)．
因为椭圆 C 上的点 A 满足 AF2⊥F1F2，则可设 A(1，y0)，
9 3
代入椭圆方程可得 y20＝ ，所以 y0＝± . 4 2
―→ ―→
设 P(x1，y1)，则F1P＝(x1＋1，y1)，F2A＝(0，y0)，
―→ ―→
所以F1P·F2A＝y1y0.
因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以－ 3≤y1≤ 3，
―→ ―→ 3 3
故F1P·F2A的最大值为 . 2
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最
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小值为( )
A．1 B. 2
C．2 D．2 2
解析：选 D 设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三
1
角形的高为 b 时面积最大，所以 ×2cb＝1，bc＝1，而 2a＝2 b2＋c2≥2 2bc＝2 2(当且仅
2
当 b＝c＝1 时取等号)，故选 D.
x2 y2
6．(2019·惠州调研)设 F1，F2 为椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF9 5 1
|PF2|
的中点在 y 轴上，则 的值为( )
|PF1|
5 5
A. B.
14 9
4 5
C. D.
9 13
解析：选 D 如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2的中
b2 5
点，所以 OM∥PF2，可得 PF2⊥x 轴，|PF2|＝ ＝ ，|PF1|＝2a－|PF |a 3 2
13 |PF2| 5
＝ ，故 ＝ ，故选 D.
3 |PF1| 13
x2 y2
7．已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8＝0 的圆心，且短轴长为 8，a b
则椭圆的左顶点为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又 b＝4，∴a＝ b2＋c2＝5.
∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
x2 y2
8．过点 A(3，－2)且与椭圆 ＋ ＝1 有相同焦点的椭圆方程为________．
9 4
x2 y2 9 4
解析：法一：设所求椭圆方程为 2＋ ＝1(a＞b＞0)，则 a2－b2＝c2＝5，且 ＋ ＝1，a b2 a2 b2
a2－b2 ＝5， 2
2 2 x y
2
解方程组 9 4 得 a ＝15，b ＝10，故所求椭圆方程为 ＋ ＝1. 15 10
2
＋ ＝1，
a b2
x2 y2 x2 y2
法二：椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标为(± 5，0)，设所求椭圆方程为 ＋ ＝1(λ＞0)，代
9 4 λ＋5 λ
9 4 x2 y2
入点 A(3，－2)得 ＋ ＝1(λ＞0)，解得 λ＝10 或 λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为 ＋
λ＋5 λ 15 10
＝1.
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x2 y2
答案： ＋ ＝1
15 10
x2 y2 5sin C
9．已知△ABC 的顶点 A(－3,0)和顶点 B(3,0)，顶点 C 在椭圆 ＋ ＝1 上，则
25 16 sin A＋sin B
＝________.
x2 y2
解析：由椭圆 ＋ ＝1 知长轴长为 10，短轴长为 8，焦距为 6，则顶点 A，B 为椭圆
25 16
的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分
别为 a，b，c，则 c＝|AB|＝6，a＋b＝|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理
5sin C 5c 5×6
可得 ＝ ＝ ＝3.
sin A＋sin B a＋b 10
答案：3
10．点 P 是椭圆上任意一点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2 的最大值是
60°，则椭圆的离心率 e＝________.
解析：如图所示，当点 P 与点 B 重合时，∠F1PF2 取得最大值 60°，
此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c.由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，
c 1
所以椭圆的离心率 e＝ ＝ .
a 2
1
答案：
2
11．已知椭圆的长轴长为 10，两焦点 F1，F2 的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 P 为短轴的一个端点，求△F1PF2 的面积．
x2 y2
解：(1)设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b
2a＝10，
依题意得 因此 a＝5，b＝4，
c＝3，
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
25 16
(2)易知|yP|＝4，又 c＝3，
1 1
所以 S△F1PF2＝ |yP|×2c＝ ×4×6＝12. 2 2
x2 y2 1
12．已知焦点在 x 轴上的椭圆 ＋ 2＝1 的离心率 e＝ ，F，A 分别是椭圆的左焦点和右4 b 2
―→ ―→
顶点，P 是椭圆上任意一点，求 PF ·PA 的最大值和最小值．
解：设 P 点坐标为(x0，y0)．
由题意知 a＝2，
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c 1
∵e＝ ＝ ，∴c＝1，
a 2
∴b2＝a2－c2＝3，
x2 y2
∴椭圆方程为 ＋ ＝1.
4 3
∴－2≤x0≤2.
―→ ―→
又 F(－1,0)，A(2,0)， PF ＝(－1－x0，－y0)， PA ＝(2－x0，－y0)，
―→ ―→
∴ PF ·PA ＝x20－x0－2＋y20
1 1
＝ x2－x ＋1＝ (x －2)2.
4 0 0 4 0
―→ ―→
当 x0＝2 时， PF ·PA 取得最小值 0，
―→ ―→
当 x0＝－2 时， PF ·PA 取得最大值 4.
B 级
b
1．若椭圆 b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆 x2＋y2＝ ＋c 2 2 有四个交点，其中 c 为椭圆的
半焦距，则椭圆的离心率 e 的取值范围为( )
5 3 2
A. ， B. 0，
5 5 5
2 3 3 5
C. ， D. ，
5 5 5 5
解析：选 A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
b
a＞ ＋c，2 1(a－c)2＞ (a2－c2)， 5 3
则 整理得 4 解得 ＜e＜ . b 5 5 b ＜ ＋c， a2－c22 ＜2c，
x2 y2
2．(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆 ＋ ＝1 上一点，F1，F25 9 2 分别是椭圆的左、右焦点，
过 P 点作 PH⊥F1F2 于点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
25 8
A. B.
4 3
9
C．8 D.
4
x2 y2
解析：选 D 由椭圆 ＋ ＝1 得 a2＝25，b2＝9，
25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，
∴|F1F2|＝2c＝8.
第 686页/共1004页
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∵PF 21⊥PF2，∴|PF1| ＋|PF |22 ＝64.
∴2|PF |·|PF |＝(|PF 2 2 21 2 1|＋|PF2|) －(|PF1| ＋|PF2| )＝100－64＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18.
1 1
又 S△PF1F2＝ |PF1|·|PF2|＝ |F1F2|·|PH|， 2 2
|PF1|·|PF2| 9
∴|PH|＝ ＝ .故选 D.
|F1F2| 4
3
3．已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(－2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 .
2
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM
的垂线交 BN 于点 E.求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为 4∶5.
x2 y2
解：(1)设椭圆 C 的方程为
a2
＋ 2＝1(a＞b＞0)． b
a＝2，
由题意得 c 3
＝ ， a 2 解得 c＝ 3.所以 b2＝a2－c2＝1.
x2
所以椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1.
4
(2)证明：设 M(m，n)，则 D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知 m≠±2，且 n≠0.
n
直线 AM 的斜率 kAM＝ ，
m＋2
m＋2
故直线 DE 的斜率 kDE＝－ . n
m＋2
所以直线 DE 的方程为 y＝－ (x－m)．
n
n
直线 BN 的方程为 y＝ (x－2)．
2－m
m＋2
y＝－ (x－m)，n
联立 n
y＝ (x－2)， 2－m
n(4－m2)
解得点 E 的纵坐标 yE＝－ 2 2. 4－m ＋n
由点 M 在椭圆 C 上，得 4－m2＝4n2，
4
所以 yE＝－ n. 5
第 687页/共1004页
1 2
又 S△BDE＝ |BD|·|yE|＝ |BD|·|n|， 2 5
1
S△BDN＝ |BD|·|n|. 2
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为 4∶5.
第 688页/共1004页
第二课时 直线与椭圆的综合问题
考点一 弦中点问题
x2 y2
[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是a b
x－y＋5＝0，弦的中点坐标是 M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
1 2
A. B.
2 2
3 5
C. D.
2 5
x2 y2
[解析] 设直线 x－y＋5＝0 与椭圆 2＋ 2＝1 相交于 A(x1，y1)，B(xa b 2，y2)两点，因为 AB
y2－y1
的中点 M(－4,1)，所以 x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线 AB 的斜率 k＝ ＝1.由
x2－x1
x2 y21 1
a2＋ 2＝1，b (x1＋x2)(x1－x2) (y1＋y2)(y1－y2) y1－y2 2 2 两式相减得， a2 ＋ 2 ＝0，所以 ＝ －x2 y2 b x1－x2 ＋ ＝1，a2 b2
b2 x ＋x 2 21 2 b 1 c b 3
2· ，所以 2＝ ，于是椭圆的离心率 e＝ ＝ 1－a ＋ a 4 a a2
＝ ，故选 C.
y1 y2 2
[答案] C
[解题技法]
1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤
2．解有关弦中点问题的注意点
对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，
要注意前提条件 Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
[题组训练]
x2 1 1
1．已知椭圆： ＋y2＝1，过点 P ，
9 2 2 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点
P 平分，则直线 AB 的方程为( )
A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0
C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0
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x21
＋y21＝1，9 (x2－x1)(x2＋x1)
解析：选 C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 两式作差得 ＋x22 9
＋y
2
2＝1， 9
y2－y1 1
(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为 x2＋x1＝1，y2＋y1＝1， ＝kAB，代入后求得 kAB＝－ ，所以
x2－x1 9
1 1 1
弦所在的直线方程为 y－ ＝－ x－ 2 ，即 x＋9y－5＝0. 2 9
2
2．焦点为 F(0,5 2)，并截直线 y＝2x－1 所得弦的中点的横坐标是 的椭圆的标准方程
7
为________________．
y2 x2
解析：设所求的椭圆方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(xa b 1，y1)，
B(x2，y2)．
x1＋x2 y1＋y2 x1＋x2 2 y1＋y2 3
由题意，可得弦 AB 的中点坐标为 ， ，且 ＝ ， ＝－ .
2 2 2 7 2 7
y2 21 x1
2＋ 2＝1，a b
将 A，B 两点坐标代入椭圆方程中，得 y2 2 2 x2
2＋a b2＝1.
6
－
a2 y1－y2 y1＋y2 7
两式相减并化简，得 2＝－ · ＝－2× ＝3， b x1－x2 x1＋x2 4
7
所以 a2＝3b2，又 c2＝a2－b2＝50，所以 a2＝75，b2＝25，
y2 x2
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
75 25
y2 x2
答案： ＋ ＝1
75 25
考点二 弦长问题
x2 y2 6
[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆 M： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 ，焦距为a b 3
2 2.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.
(1)求椭圆 M 的方程；
(2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
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a2＝b2＋c2，
c 6
[解] (1)由题意得 ＝ ， 解得 a＝ 3，b＝1. a 3 2c＝2 2，
x2
所以椭圆 M 的方程为 ＋y2＝1.
3
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m，

由 2 得 4x2x ＋6mx＋3m2－3＝0， ＋y2 ＝1， 3
3m 3m2－3
所以 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 2 4
12－3m2
所以|AB|＝ (x －x )2＋(y －y )2＝ 2(x －x )22 1 2 1 2 1 ＝ 2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝ . 2
当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.
[解题技法] 弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
则|AB|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝ 1＋ 2 k2 [(y1＋y2) －4y1y2](k 为直线斜率)．
[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略
判别式．
[题组训练]
x2 4 2
1．已知椭圆 ＋y2＝1 与直线 y＝x＋m 交于 A，B 两点，且|AB|＝ ，则实数 m 的值
2 3
为
( )
1
A．±1 B．±
2
C. 2 D．± 2
x2
＋y2＝1，
解析：选 A 由 2 消去 y 并整理，
y＝x＋m
得 3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4m 2m2－2
则 x1＋x2＝－ ，x x ＝ . 3 1 2 3
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2 4 4 2由题意，得|AB|＝ 2(x 21＋x2) －8x1x2＝ 3－m ＝ ， 3 3
解得 m＝±1.
x2 y2 1
2．椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e＝ ，过 F 的直a b 2 1
线交椭圆于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 8.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若直线 AB 的斜率为 3，求△ABF2的面积．
解：(1)由题意知，4a＝8，所以 a＝2，
1 c 1
又 e＝ ，所以 ＝ ，c＝1，
2 a 2
所以 b2＝22－1＝3，
x2 y2
所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.
4 3
(2)设直线 AB 的方程为 y＝ 3(x＋1)，
y＝ 3(x＋1)，
由 x2 y2 得 5x
2＋8x＝0，
＋ ＝1， 4 3
8
解得 x1＝0，x2＝－ ， 5
3 3
所以 y1＝ 3，y2＝－ . 5
3 3 8 3所以 S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1× 3＋ ＝ . 5 5
考点三 椭圆与向量的综合问题
[典例] (2019·长春质检)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点
3
E 3， .
2
(1)求椭圆 C 的方程；
―→ ―→
(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若AF1＝2F1B，求直线
l 的斜率 k 的值．
x2 y2
[解] (1)设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b
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2a＝|EF1|＋|EF2|＝4， a＝2，

由 a2＝b2＋c2，
＝ ， 解得 c＝1，c 1 ＝ ， b 3
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.
4 3
(2)由题意得直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k＞0)，
y＝k(x＋1)， 3 6联立 x2 y2 整理得 2＋4 y2－ y－9＝0， ＋ ＝1， k k 4 3
144
则 Δ＝ 2 ＋144＞0， k
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
6k －9k2
则 y1＋y2＝
3＋4k2
，y1y2＝ ，
3＋4k2
―→ ―→
又AF1＝2F1B，所以 y1＝－2y2，
所以 y1y2＝－2(y1＋y )22 ，
2 5则 3＋4k ＝8，解得 k＝± ，
2
5
又 k＞0，所以 k＝ .
2
[解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
[题组训练]
x2 y2 ―→ ―→
1．已知F1，F2为椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1·BFa b 2
1―→
≥ F F 2，则椭圆的离心率的取值范围为( )
4 1 2
1 2
A. 0， 2

B. 0，
2
3 1
C. 0， D. ，1
3 2
―→ ―→ 1―→ ―→
解析：选 C 根据题意不妨设 B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为BF1·BF2≥ F F 2，BF4 1 2 1
―→
＝(－c，－b)，BF2＝(c，－b)，|F F |2＝4c2，所以 b2≥2c2，又因为 b2＝a21 2 －c2，所以 a2≥3c2，
c 3
所以 0＜ ≤ .
a 3
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x2 y2
2．已知椭圆 D： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，A 为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，a b
△AOF 的面积为 1(其中 O 为坐标原点)．
(1)求椭圆 D 的标准方程；
(2)过椭圆 D 长轴左端点 C 作直线 l 与直线 x＝a 交于点 M，直线 l 与椭圆 D 的另一交点
―→ ―→
为 P，求OM·OP 的值．
解：(1)因为|OA|＝|OF|，所以 b＝c，
1
又△AOF 的面积为 1，所以 bc＝1，解得 b＝c＝ 2，
2
所以 a2＝b2＋c2＝4，
x2 y2
所以椭圆 D 的标准方程为 ＋ ＝1.
4 2
(2)由题意可知直线 MC 的斜率存在，设其方程为 y＝k(x＋2)，
x2 y2
代入 ＋ ＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
4 2
4k
2－2 4k
所以 P － 2 ， 2 .又 M(2,4k)， 2k ＋1 2k ＋1
―→ ―→ 4k
2－2 4k
－ ， 所以OM·OP ＝(2,4k)· ＝4.
2k2＋1 2k2＋1
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·长春二检)椭圆 4x2＋9y2＝144 内有一点 P(3,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的
斜率为( )
2 3
A．－ B．－
3 2
4 9
C．－ D．－
9 4
解析：选 A 设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为
k，则 4x21＋9y21＝144,4x22＋9y22＝144，两式相减得 4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又
y1－y2 2
x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， ＝k，代入解得 k＝－ .
x1－x2 3
x2 y2
2．已知直线 y＝－x＋1 与椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率a b
2
为 ，焦距为 2，则线段 AB 的长是( )
2
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2 2 4 2
A. B.
3 3
C. 2 D．2
c 2 x2
解析：选 B 由条件知 c＝1，e＝ ＝ ，所以 a＝ 2，b＝1，椭圆方程为 ＋y2＝1，
a 2 2
4 1 4 2
联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)， ，－ 3 3 ，所以|AB|＝ . 3
x2
3．斜率为 1 的直线 l 与椭圆 ＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( )
4
4 5
A．2 B.
5
4 10 8 10
C. D.
5 5
解析：选 C 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t，
x2＋4y2 ＝4，
由 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
y＝x＋t
8 4(t2－1)
则 x1＋x2＝－ t，x1x2＝ . 5 5
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2· (x1＋x )22 －4x1x2
8 4(t
2－1)
＝ 2· － t 2 5 －4× 5
4 2
＝ · 5－t2，
5
4 10
当 t＝0 时，|AB|max＝ . 5
π x2 y2
4．(2019·石家庄质检)倾斜角为 的直线经过椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的右焦点 F，与椭4 a b
―→ ―→
圆交于 A，B 两点，且 AF ＝2 FB ，则该椭圆的离心率为( )
3 2
A. B.
2 3
2 3
C. D.
2 3
x2 y2 2＋ 2＝1，
解析：选 B 由题可知，直线的方程为 y＝x－c，与椭圆方程联立 a b
y＝x－c， 得(b2
＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 Δ＞0.设 A(x1，y1)，
第 695页/共1004页
－2b2c
y1＋y2＝ 2 2，a ＋b ―→ ―→
B(x2，y2)，则 又 AF ＝2 FB ，∴(c－x1，－y1)＝2(x4 2－c，y2)， ∴－b y1y2＝ ，a2＋b2
－2b2c
－y2＝a2＋b2， 1 4c2 2
－y1＝2y2，可得 ∴ ＝ 2 2，∴e＝ ，故选 B.
－b4 2 a ＋b 3
－2y2 2＝a2 . ＋b2
x2 y2
5．已知点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的动点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标16 8
―→ ―→ ―→
原点，若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点，且F1M·MP＝0，则|OM |的取值范围是( )
A．[0,3) B．(0,2 2)
C．[2 2，3) D．(0,4]
解析：选 B 如图，延长 F1M 交 PF2 的延长线于点 G.
―→ ―→ ―→ ―→
∵F1M·MP＝0，∴F1M⊥MP .
又 MP 为∠F1PF2 的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且 M 为 F1G 的中点．
1
∵O 为 F1F2中点，∴OM 綊 F2G. 2
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
―→ 1
∴|OM |＝ |2a－2|PF2||＝|4－|PF2||. 2
∵4－2 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4＋2 2，
―→
∴|OM |∈(0,2 2)．
6．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C
于 A，B 两点，且|AB|＝3，则椭圆 C 的标准方程为________．
x2 y2
解析：由题意知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且 c＝1，可设椭圆 C 的方程为 2＋ 2 ＝1(aa a －1
＞1)，由|AB|＝3，知点
3
1，
2 在椭圆上，代入椭圆方程得 4a
4－17a2＋4＝0，所以 a2＝4 或
2 1 x
2 y2
a ＝ (舍去)．故椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1.
4 4 3
x2 y2
答案： ＋ ＝1
4 3
x2
7．已知焦点在 x 轴上的椭圆 C： 22＋y ＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭a
圆于 A，B 两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
第 696页/共1004页
x2
解析：因为椭圆 2＋y2＝1(a＞0)的焦点在 x 轴上，所以 c＝ a2－1，又过右焦点且垂直a
c2 c2
于 x 轴的直线为 x＝c，将其代入椭圆方程中，得 22＋y ＝1，则 y＝± 1－a a2，又|AB|＝1，
c2 c2 3 c 3
所以 2 1－ 2＝1，得 2＝ ，所以该椭圆的离心率 e＝ ＝ . a a 4 a 2
3
答案：
2
x2 y2
8．已知 P(1,1)为椭圆 ＋ ＝1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此
4 2
弦所在的直线方程为________．
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，
弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
x21 y
2 x2 21 2 y2
则 ＋ ＝1 ①， ＋ ＝1 ②，
4 2 4 2
(x1＋x2)(x1－x2) (y1＋y2)(y1－y2)
①－②得 ＋ ＝0，
4 2
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
x1－x2
∴ ＋y －y ＝0，
2 1 2
y1－y2 1
∴k＝ ＝－ .
x1－x2 2
1
∴此弦所在的直线方程为 y－1＝－ (x－1)，
2
即 x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
x2
9．(2019·湖北武汉部分学校调研)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2＋y2＝1(a＞1，a
a∈R)上，过 O 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点．
(1)若△FAB 的面积的最大值为 1，求 a 的值；
1
(2)若直线 MA，MB 的斜率乘积等于－ ，求椭圆 C 的离心率．
3
1
解：(1)因为 S△FAB＝ |OF|·|yA－yB|≤|OF|＝ a2－1＝1，所以 a＝ 2. 2
(2)由题意可设 A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，
x2 x20
则 2＋y2＝1， ＋y22 0＝1， a a
x2 x
2
0 1
2 2 1－ 2－ 1－

2 － 2(x2－x2)y－y 00 y＋y0 y －y0 a a a 1 1
kMA·kMB＝ · ＝ ＝
x－x x＋x x2－x2 x2 2
＝ 2 2 ＝－ 2＝－ ，
0 0 0 －x0 x －x0 a 3
第 697页/共1004页
所以 a2＝3，所以 a＝ 3，所以 c＝ a2－b2＝ 2，
c 2 6
所以椭圆 C 的离心率 e＝ ＝ ＝ .
a 3 3
x2 y2
10．(2019·成都一诊)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F( 3，0)，长半轴与a b
短半轴的比值为 2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N.若点 B(0,1)在以线段 MN
为直径的圆上，求直线 l 的方程．
a
解：(1)由题可知 c＝ 3， ＝2，a2＝b2＋c2，
b
∴a＝2，b＝1.
x2
∴椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1.
4
(2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意．
当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
x＝my＋1，
联立 消去 x，可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0. 2 x ＋4y2＝4
－2m －3
Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝
4＋m2
，y1y2＝ .
4＋m2
∵点 B 在以 MN 为直径的圆上，
―→ ―→
∴BM ·BN ＝0.
―→ ―→
∵BM ·BN ＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，
－3 －2m
∴(m2＋1)· 2＋(m－1)· 2＋2＝0， 4＋m 4＋m
2 5整理，得 3m －2m－5＝0，解得 m＝－1 或 m＝ .
3
∴直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 3x－5y－3＝0.
B 级
x2 y2 1
1．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F ，F ，离心率为 ，点 A 在a b 1 2 2
椭圆 C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两
点，N 为线段 PQ 的中点．
(1)求椭圆 C 的方程；
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1
(2)已知点 M 0， 8 ，且 MN⊥PQ，求线段 MN 所在的直线方程．
1
解：(1)由 e＝ ，得 a＝2c，
2
易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2，
由余弦定理，得|AF 21| ＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A＝|F1F |22 ，
1
即 4＋(2a－2)2－2×2×(2a－2)× ＝a2，
2
解得 a＝2，则 c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
x2 y2
∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.
4 3
(2)设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝k(x－1)，
联立 x2 y2 整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， ＋ ＝1， 4 3
8k2 －6k
则 x1＋x2＝ ，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝ ，
3＋4k2 3＋4k2
1 3k
＋
4k
2 －3k 1 8 3＋4k
2
24k＋3＋4k2
∴N ，
3＋4k2 3＋4k2
.又 M 0， 8 ，则 kMN＝ 2 ＝－ 2 . 4k 32k
0－
3＋4k2
1 1 3
∵MN⊥PQ，∴kMN＝－ ，得 k＝ 或 ， k 2 2
2
则 kMN＝－2 或 kMN＝－ ，故直线 MN 的方程为 16x＋8y－1＝0 或 16x＋24y－3＝0. 3
2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系 xOy 中，长为 2＋1 的线段的两端点 C，D 分别
―→ ―→
在 x 轴，y 轴上滑动， CP ＝ 2 PD .记点 P 的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E 的方程；
―→ ―→ ―→
(2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A，B 两点，OM＝ OA ＋ OB ，当点 M 在曲线
E 上时，求直线 l 的方程．
解：(1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
―→ ―→
由 CP ＝ 2 PD ，得(x－m，y)＝ 2(－x，n－y)，
m＝( 2＋1)x，
x－m＝－ 2x，
所以 得 2＋1
y＝ 2(n－y)，

n＝ y，
2
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―→
由| CD |＝ 2＋1，得 m2＋n2＝( 2＋1)2，
( 2＋1)2
所以( 2＋1)2x2＋ y2＝( 2＋1)2，
2
y2
整理，得曲线 E 的方程为 x2＋ ＝1.
2
―→ ―→ ―→
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OM＝ OA ＋ OB ，知点 M 的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，代入曲线 E 的方程，得(k2＋2)x2
＋2kx－1＝0，
2k
则 x1＋x2＝－ 2 ， k ＋2
4
所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝
k2
.
＋2
(y 2
2 1
＋y2)
由点 M 在曲线 E 上，知(x1＋x2) ＋ ＝1， 2
4k2 8
即 2 ＋ ＝1，解得 k
2＝2，即 k＝± 2，
(k ＋2)2 (k2＋2)2
此时直线 l 的方程为 y＝± 2x＋1.
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