资源简介

p
y＝kx＋ ，
由 2 得 x2－2kpx－p2＝0. x2＝2py
∴x 21＋x2＝2kp，x1x2＝－p .
x
2
1 x
2
2
其中 A x 1
， x ，
2p ，B 2 2p .
p
∴M kp，k2p＋ ，N
p
kp，－
2 2 .
x2 p x2 2 21 1 p x1＋p x
2
1－x1x2
＋ ＋
2p 2 2p 2 2p 2p x1
∴kAN＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
x1－kp x1＋x2 x1－x2 x1－x2 p
x1－ 2 2 2
x
又 x2＝2py，∴y′＝ .
p
x1
∴抛物线 x2＝2py 在点 A 处的切线斜率 k＝ .
p
∴直线 AN 与抛物线相切．
第九节 曲线与方程
一、基础知识
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数
解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条
曲线叫做方程的曲线 .
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系 ，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；
(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)} ；
(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0；
(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；
(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
(1)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0, 那么点 P0(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，
y0)＝0.
(2)“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0
的解”的充分不必要条件.
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坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲
线．
有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．
考点一 直接法求轨迹方程
1．已知点 F(0,1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足
―→ ―→ ―→ ―→
为 Q，且QP ·QF＝ FP ·FQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为( )
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
解析：选 A 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)．
―→ ―→ ―→ ―→
∵QP ·QF＝ FP ·FQ，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y，
∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，P 是动点，且直线
1
AP 与 BP 的斜率之积等于－ .则动点 P 的轨迹方程为________________．
3
解析：因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，
所以点 B 的坐标为(1，－1)．
y－1 y＋1 1
设点 P 的坐标为(x，y)，由题意得 · ＝－ ，
x＋1 x－1 3
化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
答案：x2＋3y2＝4(x≠±1)
3．已知△ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点 A 的轨迹方程
为____________________．
x y解析：设 A(x，y)，由题意可知 D ， 2 2 .
x y
∵|CD|＝3，∴ －5 2＋ 2 2 2 ＝9，
即(x－10)2＋y2＝36，
由于 A，B，C 三点不共线，
∴点 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0，
∴点 A 的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
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答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
考点二 定义法求轨迹方程
[典例精析]
已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，
圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程．
[解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2＝
3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.
因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的
x2 y2
椭圆(左顶点除外)，其方程为 ＋ ＝1(x≠－2)．
4 3
[解题技法]
定义法求曲线方程的 2 种策略
(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义
出发建立关系式，从而求出方程．
(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使
问题得解．
[题组训练]
如图，已知△ABC 的两顶点坐标 A(－1，0)，B(1,0)，圆 E 是△ABC 的内
切圆，在边 AC，BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到
圆的两条切线段长相等)，动点 C 的轨迹为曲线 M，求曲线 M 的方程．
解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，
所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)．
x2 y2
设曲线 M： 2＋ 2＝1(a＞b＞0，y≠0)， a b
|AB|则 a2＝4，b2＝a2－ 2 2 ＝3，
x2 y2
所以曲线 M 的方程为 ＋ ＝1(y≠0).
4 3
考点三 代入法(相关点)求轨迹方程
[典例精析]
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如图所示，抛物线 E：y2＝2px(p＞0)与圆 O：x2＋y2＝8 相交于 A，
B 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0，y0)作圆 O 的切线
交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，
l2，l1 与 l2 相交于点 M.
(1)求 p 的值；
(2)求动点 M 的轨迹方程．
[解] (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2,2)，代入 y2＝2px，解得 p＝1.
(2)由(1)知抛物线 E：y2＝2x，
y
2 2 2
1 y2 y1设 C ，y1 ，D ，y 2 ，y1≠0，y2≠0.切线 l1 的斜率为 k，则切线 l1：y－y1＝k x－ 2 2 2 ，
代入 y2＝2x，得 ky2－2y＋2y1－ky21＝0，
1 1 y1
由 Δ＝0，解得 k＝ ，∴l1 的方程为 y＝ x＋ ， y1 y1 2
1 y2
同理 l2 的方程为 y＝ x＋ . y2 2
1 y1 y1y2
y＝ x＋ ，y 2 x＝ ，1 2
联立 解得1 y 2 y1＋y2 y＝ x＋ ，y 2 y＝ . 2 2
易知 CD 的方程为 x0x＋y0y＝8，
其中 x 2 20，y0满足 x0＋y0＝8，x0∈[2,2 2 ]，
y2 ＝2x，
由 得 x0y2＋2y0y－16＝0， x0x＋y0y＝8，
2y0 y1y2
y1＋y2＝－ ， x＝ ，x0 2
则 代入 16 y1＋y2
y1·y2＝－ . x y＝ ， 0 2
8 8
x＝－ ，x x0＝－ ，0 x
可得 M(x，y)满足 可得y 0 8y
y＝－ ， x0 y0＝ ， x
2 2 x
2
代入 x0＋y0＝8，并化简，得 －y2＝1. 8
考虑到 x0∈[2,2 2]，知 x∈[－4，－2 2]，
x2
∴动点 M 的轨迹方程为 －y2＝1，x∈[－4，－2 2]．
8
[解题技法]
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
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(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
x1＝f(x，y)，
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
y1＝g(x，y)；
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
[题组训练]
3
已知曲线 ： 2＋ 2＝ ＞ ， ＞ ，经过点 E ax by 1(a 0 b 0) M ，0 的直线 l 与曲线 E 交于点 A，
3
―→ ―→
B，且MB＝－2 MA .若点 B 的坐标为(0,2)，求曲线 E 的方程．
3
解：设 A(x0，y0)，∵B(0,2)，M ，0 ， 3
―→ 3 ―→ 3故MB＝ － ，2 ，

MA＝ x － ，y .
3 0 3 0
―→ ―→ 3 3
由于MB＝－2 MA，∴ － ，2 ＝－

2 x0－ ，y . 3 3 0
3
∴ ＝ ，
3
x0 y2 0
＝－1，即 A ，－1 .
2
∵A，B 都在曲线 E 上，
a·02 ＋b·2
2＝1，

a＝1，
∴ 3 解得 1
a·
2＋b·(－1)2＝1， b＝ .
2 4
y2
∴曲线 E 的方程为 x2＋ ＝1.
4
[课时跟踪检测]
A 级
―→ ―→ ―→
1．平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(－1，3)，若点 C 满足OC＝λ1 OA ＋λ2 OB (O
为原点)，其中 λ1，λ2∈R，且 λ1＋λ2＝1，则点 C 的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
―→ ―→ ―→
解析：选 A 设 C(x，y)，因为OC＝λ1 OA ＋λ2 OB ，
所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，
y＋3x
λ ＝ ，
x＝3λ
1
1－λ2， 10
即 解得
y＝λ1＋3λ2， 3y－x
λ2＝ ， 10
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y＋3x 3y－x
又 λ1＋λ2＝1，所以 ＋ ＝1，即 x＋2y＝5，所以点 C 的轨迹是直线，故选 A. 10 10
2.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映
射 f 将 xOy 平面上的点 P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系 uO′v上的
点 P′(2xy，x2－y2)，则当点 P 沿着折线 A-B-C 运动时，在映射 f 的作用
下，动点 P′的轨迹是( )
x′＝2y，
解析：选 D 当 P 沿 AB 运动时，x＝1，设 P′(x′，y′)，则 (0≤y≤1)，
y′＝1－y2
x′2 x′＝2x，
故 y′＝1－ (0≤x′≤2,0≤y′≤1)．当 P 沿 BC 运动时，y＝1，则 (0≤x≤1)，
4 y′＝x2－1
x′2
所以 y′＝ －1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知 P′的轨迹如 D 所示，故选 D.
4
3．设点 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则 P 点的轨迹方
程为( )
A．y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选 D 如图，设 P(x，y)，
圆心为 M(1,0)．连接 MA，PM，
则 MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，
所以|PM|＝ |MA|2＋|PA|2＝ 2，
即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
4．设过点 P(x，y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，点 Q 与
―→ ―→ ―→ ―→
点P关于 y轴对称，O为坐标原点．若 BP ＝2 PA ，且OQ·AB ＝1，则点P的轨迹方程是( )
3
A. x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
2
3
B. x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
2
2 3C．3x － y2＝1(x＞0，y＞0)
2
3
D．3x2＋ y2＝1(x＞0，y＞0)
2
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―→ ―→
解析：选 A 设 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由 BP ＝2 PA ，得(x，y－b)＝2(a－x，
3 ―→ ―→
－y)，即 a＝ x＞0，b＝3y＞0.点 Q(－x，y)，故由OQ·AB ＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，
2
3 3
即 ax＋by＝1.将 a＝ x，b＝3y 代入 ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为 x2＋3y2＝1(x＞0，y＞
2 2
0)．
x2 y2
5.如图所示，已知 F1，F2是椭圆 Γ： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左，右焦a b
点，P 是椭圆 Γ上任意一点，过 F2 作∠F1PF2 的外角的角平分线的垂线，
垂足为 Q，则点 Q 的轨迹为( )
A．直线 B.圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选 B 延长 F2Q，与 F1P 的延长线交于点 M，连接 OQ.因为
PQ 是∠F1PF2 的外角的角平分线，且 PQ⊥F2M，所以在△PF2M 中，|PF2|
＝|PM|，且 Q 为线段 F2M 的中点．又 O 为线段 F1F2 的中点，由三角形
1 1
的中位线定理，得|OQ|＝ |F1M|＝ (|PF |＋|PF |)．根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF |＝2a，所2 2 1 2 1 2
以|OQ|＝a，所以点 Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为 a 的圆，故选 B.
―→ ―→ ―→
6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点 C 满足OC＝ OA ＋t( OB
―→
－ OA )，其中 t∈R，则点 C 的轨迹方程是____________________．
―→ ―→ ―→ ―→ x＝t＋1，
解析：设 C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA ＋t( OB － OA )＝(1＋t,2t)，所以 消
y＝2t
去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
x2 y2
7．设 F1，F2为椭圆 ＋ ＝1 的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点 F1 向∠F1AF4 3 2
的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的轨迹方程是________________．
解析：由题意，延长 F1D，F2A 并交于点 B，易证 Rt△ABD≌Rt△AF1D，
则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又 O 为 F1F2 的中点，连接 OD，则 OD∥F2B，
1 1
从而可知|DO|＝ |F2B|＝ (|AF1|＋|AF2|)＝2，设点 D 的坐标为(x，y)，则 x22 2
＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
8．(2019·福州质检)已知 A(－2,0)，B(2,0)，斜率为 k 的直线 l 上存在不同的两点 M，N
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满足|MA|－|MB|＝2 3，|NA|－|NB|＝2 3，且线段 MN 的中点为(6,1)，则 k 的值为________．
解析：因为|MA|－|MB|＝2 3，|NA|－|NB|＝2 3，
由双曲线的定义知，点 M，N 在以 A，B 为焦点的双曲线的右支上，且 c＝2，a＝ 3，
x2
所以 b＝1，所以该双曲线的方程为 －y2＝1.
3
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝12，y1＋y2＝2.设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，代入
双曲线的方程，消去 y，得(1－3k2)x2－6mkx－3m2－3＝0，
6mk
所以 x1＋x2＝ 2＝12，① 1－3k
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝12k＋2m＝2，②
由①②解得 k＝2.
答案：2
x2
9.如图，动圆 C1：x2＋y2＝t2(1＜t＜3)与椭圆 C2： ＋y2＝1 相交于9
A，B，C，D 四点．点 A1，A2 分别为 C2 的左、右顶点，求直线 AA1与
直线 A2B 交点 M 的轨迹方程．
x2
解：由椭圆 C2： ＋y2＝1，知 A1(－3,0)，A2(3,0)． 9
设点 A 的坐标为(x0，y0)，
由曲线的对称性，得 B(x0，－y0)，
设点 M 的坐标为(x，y)，
y0
直线 AA1 的方程为 y＝ (x＋3)．①
x0＋3
－y0
直线 A2B 的方程为 y＝ (x－3)．②
x0－3
－y20
由①②相乘得 y2＝ (x22 －9)．③ x0－9
2 x
2
0
又点 A(x0，y0)在椭圆 C2 上，故 y0＝1－ .④ 9
x2
将④代入③得 －y2＝1(x＜－3，y＜0)．
9
x2
因此点 M 的轨迹方程为 －y2＝1(x＜－3，y＜0)．
9
10．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系 xOy 中取两个定点 A1(－ 6，0)，A2( 6，0)，再
取两个动点 N1(0，m)，N2(0，n)，且 mn＝2.
(1)求直线 A1N1 与 A2N2 的交点 M 的轨迹 C 的方程；
(2)过 R(3,0)的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，过点 P 作 PN⊥x 轴且与轨迹 C 交于另一
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―→ ―→ ―→ ―→
点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若 RP ＝λRQ (λ＞1)，求证： NF ＝λFQ .
m
解：(1)依题意知，直线 A1N1 的方程为 y＝ (x＋ 6)，①
6
n
直线 A2N2 的方程为 y＝－ (x－ 6)，②
6
设 M(x，y)是直线 A1N1 与 A2N2 的交点，
①×②得 y2
mn
＝－ (x2－6)，
6
x2 y2 x2 y2
又 mn＝2，整理得 ＋ ＝1.故点 M 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝1.
6 2 6 2
(2)证明：设过点 R 的直线 l：x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 N(x1，－y1)，
x＝ty＋3，
由 2 2x2 y2 消去 x，得(t ＋3)y ＋6ty＋3＝0，(*)
＋ ＝1， 6 2
6t 3
所以 y1＋y2＝－
t2
，y1y2＝ 2 . ＋3 t ＋3
―→ ―→
由 RP ＝λRQ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故 x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，
―→ ―→
由(1)得 F(2,0)，要证 NF ＝λFQ，
即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，
x1－3 x1－2
只需证 2－x1＝λ(x2－2)，只需 ＝－ ，
x2－3 x2－2
即证 2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，
又 x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6，
所以 2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即 2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，
3 6t ―→ ―→
而 2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·
t2
－t·2 ＝0 成立，即 NF ＝λFQ成立． ＋3 t ＋3
B 级
1．方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是( )
A．两条直线 B.两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
2x＋3y－1＝0，
解析：选 D 原方程可化为 或 x－3－1＝0，即 2x＋3y－1＝0(x≥3)
x－3≥0，
或 x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．
x2 y2
2．动点 P 为椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)上异于椭圆顶点 A(a,0)，B(－a,0)的一点，F1，Fa b 2
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为椭圆的两个焦点，动圆 M 与线段 F1P，F1F2 的延长线及线段 PF2相切，则圆心 M 的轨迹
为除去坐标轴上的点的( )
A．抛物线 B.椭圆
C．双曲线的右支 D．一条直线
解析：选 D 如图，设切点分别为 E，D，G，由切线长相等可得|F1E|
＝|F1G|，|F2D|＝|F2G|，|PD|＝|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|＋|PF2|＝|F1P|
＋|PD|＋|DF2|＝|F1E|＋|DF2|＝2a，即|F1E|＋|GF2|＝2a，也即|F1G|＋|GF2|
＝2a，故点 G 与点 A 重合，所以点 M 的横坐标是 x＝a，即点 M 的轨迹
是一条直线(除去 A 点)，故选 D.
3．已知圆的方程为 x2＋y2＝4，若抛物线过点 A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，
则抛物线的焦点轨迹方程是________________．
解析：设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|
＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故 F 点的轨迹是
x2 y2
以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为 ＋
4 3
＝1(y≠0)．
x2 y2
答案： ＋ ＝1(y≠0)
4 3
4.如图，P 是圆 x2＋y2＝4 上的动点，P 点在 x 轴上的射影是 D，点 M 满
―→ 1―→
足DM＝ DP .
2
(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点 N(3,0)的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A，B，求以 OA，OB 为邻边
的平行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程．
解：(1)设 M(x，y)，则 D(x,0)，
―→ 1―→
由DM＝ DP ，知 P(x,2y)，
2
∵点 P 在圆 x2＋y2＝4 上，
x2
∴x2＋4y2＝4，故动点 M 的轨迹 C 的方程为 ＋y2＝1，且轨迹 C 是以(－ 3，0)，( 3，
4
0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆．
(2)设 E(x，y)，由题意知 l 的斜率存在，
x2
设 l：y＝k(x－3)，代入 ＋y2＝1，
4
得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，
Δ＝(－24k2)2
1
－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0，得 k2＜ ，
5
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24k2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝
1＋4k2
，
24k3 －6k
∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k＝ 2－6k＝ . 1＋4k 1＋4k2
∵四边形 OAEB 为平行四边形，
―→ ―→ ―→ 24k
2 －6k
∴ OE ＝ OA ＋ OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)＝ 2， 1＋4k 1＋4k2
，

―→
又 OE ＝(x，y)，
24k2
x＝ ，1＋4k2
∴ －6k
y＝ ， 1＋4k2
消去 k 得，x2＋4y2－6x＝0，
1 8
∵k2＜ ，∴0＜x＜ .
5 3
8
∴顶点 E 的轨迹方程为 x2＋4y2－6x＝0 0＜x＜ 3 .
5.如图，斜线段 AB 与平面 α所成的角为 60°，B 为斜足，平面 α上的动点 P 满足∠PAB
＝30°，则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B.抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
解析：选 C 母线与中轴线夹角为 30°，然后用平面 α 去截，使直线 AB
与平面 α的夹角为 60°，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P
的轨迹为椭圆．故选 C.
6．若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为 8，
则称曲线 C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B.x2＋y2＝9
x2 y2
C. ＋ ＝1 D．x2＝16y
25 9
解析：选 B ∵M 到平面内两点 A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为 8，
x2 y2
∴M 的轨迹是以 A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为 － ＝1.
16 9
A 项，直线 x＋y＝5 过点(5,0)，故直线与 M 的轨迹有交点，满足题意；
B 项，x2＋y2＝9 的圆心为(0,0)，半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意；
x2 y2 x2 y2
C 项， ＋ ＝1 的右顶点为(5,0)，故椭圆 ＋ ＝1 与 M 的轨迹有交点，满足题意；
25 9 25 9
x2 y2 y2
D 项，把 x2＝16y 代入 － ＝1，可得 y－ ＝1，
16 9 9
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即 y2－9y＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．
7．已知△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且顶点 A，B 的坐标分别为(－4,0)，
5
(4,0)，C 为动点，且满足 sin B＋sin A＝ sin C，则 C 点的轨迹方程为________________．
4
5 5
解析：由 sin B＋sin A＝ sin C 可知 b＋a＝ c＝10，
4 4
则|AC|＋|BC|＝10＞8＝|AB|，∴满足椭圆定义．
x2 y2
令椭圆方程为 2＋ 2＝1，则 a′＝5，c′＝4，b′＝3， a′ b′
x2 y2
则轨迹方程为 ＋ ＝1(x≠±5)．
25 9
x2 y2
答案： ＋ ＝1(x≠±5)
25 9
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