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第十节 解析几何常见突破口
解析几何研究的问题是几何问题,研究的手法是代数法(坐标法).因此,求解解析几何
问题最大的思维难点是转化,即几何条件代数化.如何在解析几何问题中实现代数式的转化,
找到常见问题的求解途径,即解析几何问题中的条件转化是如何实现的,是突破解析几何问
题难点的关键所在.为此,从以下几个途径,结合数学思想在解析几何中的切入为视角,分
析解析几何的“双管齐下”,突破思维难点.
考点一 利用向量转化几何条件
[典例] 如图所示,已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存
在斜率为 1 的直线 l,使 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆
过原点?若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
[解题观摩] 假设存在斜率为 1 的直线 l,使 l 与圆 C 交于 A,B 两
点,且以 AB 为直径的圆过原点.
设直线 l 的方程为 y=x+b,
点 A(x1,y1),B(x2,y2).
y=x+b,
联立
x
2+y2-2x+4y-4=0,
消去 y 并整理得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
b2+4b-4
所以 x1+x2=-(b+1),x1x2= .① 2
因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA⊥OB,
即 x1x2+y1y2=0.
又 y1=x1+b,y2=x2+b,
则 x 21x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b =0.
由①知,b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,
即 b2+3b-4=0,解得 b=-4 或 b=1.
当 b=-4 或 b=1 时,
均有 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)=-4b2-24b+36>0,
即直线 l 与圆 C 有两个交点.
所以存在直线 l,其方程为 x-y+1=0 或 x-y-4=0.
[关键点拨]
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以 AB 为直径的圆过原点等价于 OA⊥OB,而 OA⊥OB 又可以“直译”为 x1x2+y1y2=0,
可以看出,解此类解析几何问题的总体思路为“直译”,然后对个别难以“直译”的条件先
进行“转化”,将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”
的条件后再进行“直译”,最后联立“直译”的结果解决问题.
考点二 角平分线条件的转化
[典例] 已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.
(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程;
(2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴
是∠PBQ 的角平分线,求证:直线 l 过定点.
[解题观摩] (1)设动圆圆心为点 P(x,y),则由勾股定理得 x2+42=(x-4)2+y2,化简即
得圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x.
(2)证明:法一:由题意可设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0).
y=kx+b,
联立 得 k2x2+2(kb-4)x+b2=0. y2=8x,
由 Δ=4(kb-4)2-4k2b2>0,得 kb<2.
设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),
2(kb-4) b2
则 x1+x2=- k2 ,x1x2= 2. k
因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以 kPB+kQB=0,
y1 y2 2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b 8(k+b)
即 kPB+kQB= + = = =0,
x1+1 x2+1 (x1+1)(x2+1) (x1+1)(x2+1)k2
所以 k+b=0,即 b=-k,所以 l 的方程为 y=k(x-1).
故直线 l 恒过定点(1,0).
法二:设直线 PB 的方程为 x=my-1,它与抛物线 C 的另一个交点为 Q′,设点 P(x1,
y1),Q′(x2,y2),由条件可得,Q 与 Q′关于 x 轴对称,故 Q(x2,-y2).
x=my-1,
联立 消去 x 得 y2-8my+8=0,
y
2=8x,
其中 Δ=64m2-32>0,y1+y2=8m,y1y2=8.
y1+y2 8
所以 kPQ= = ,
x1-x2 y1-y2
8
因而直线 PQ 的方程为 y-y1= (x-x1).
y1-y2
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又 y1y2=8,y21=8x1,
将 PQ 的方程化简得(y1-y2)y=8(x-1),
故直线 l 过定点(1,0).
法三:由抛物线的对称性可知,如果定点存在,
则它一定在 x 轴上,
所以设定点坐标为(a,0),直线 PQ 的方程为 x=my+a.
x=my+a,
联立 消去 x, y2 =8x
整理得 y2-8my-8a=0,Δ>0.
y1+y2=8m,
设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则
y1y2=-8a.
由条件可知 kPB+kQB=0,
y1 y2
即 kPB+kQB= +
x1+1 x2+1
(my1+a)y2+(my2+a)y1+y1+y2
=
(x1+1)(x2+1)
2my1y2+(a+1)(y1+y2)
= =0,
(x1+1)(x2+1)
所以-8ma+8m=0.
由 m 的任意性可知 a=1,所以直线 l 恒过定点(1,0).
y2 21
法四:设 P ,y
y2
,y
8 1 ,Q 8 2 ,
因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,
y1 y2
所以 kPB+kQB= 2 + 2 =0, y1 y2
+1 +1
8 8
y1y2
整理得(y1+y 2) +1 8 =0.
因为直线 l 不垂直于 x 轴,
所以 y1+y2≠0,可得 y1y2=-8.
y1-y2 8
因为 kPQ=y2 2= , 1 y2 y
- 1
+y2
8 8
8 y21
所以直线 PQ 的方程为 y-y = 1 x- ,
y1+y2 8
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8
即 y= (x-1).
y1+y2
故直线 l 恒过定点(1,0).
[关键点拨]
本题前面的三种解法属于比较常规的解法,主要是设点,设直线方程,联立方程,并借
助判别式、根与系数的关系等知识解题,计算量较大.解法四巧妙地运用了抛物线的参数方
程进行设点,避免了联立方程组,计算相对简单,但是解法二和解法四中含有两个参数 y1,
y2,因此判定直线过定点时,要注意将直线的方程变为特殊的形式.
考点三 弦长条件的转化
x2
[典例] 如图所示,已知椭圆 G: +y2=1,与 x 轴不重合的直
2
线 l 经过左焦点 F1,且与椭圆 G 相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为
M,直线 OM 与椭圆 G 相交于 C,D 两点.
(1)若直线 l 的斜率为 1,求直线 OM 的斜率.
(2)是否存在直线 l,使得|AM|2=|CM||DM|成立?若存在,求出直
线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
[解题观摩] (1)由题意可知点 F1(-1,0),
又直线 l 的斜率为 1,
故直线 l 的方程为 y=x+1.
设点 A(x1,y1),B(x2,y2),
y=x+1,
由 x2 消去 y 并整理得 3x2+4x=0,
+y
2=1,
2
4 2
则 x1+x2=- ,y1+y3 2= , 3
2 1因此中点 M 的坐标为 - , 3 3 .
1
3 1
故直线 OM 的斜率为 =- .
2 2
-
3
(2)假设存在直线 l,使得|AM|2=|CM||DM|成立.
由题意,直线 l 不与 x 轴重合,
设直线 l 的方程为 x=my-1.
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x=my-1,
由 x2 消去 x 并整理得(m2+2)y2-2my-1=0. +y2=1, 2
2m
y1+y2= 2 ,m +2
设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 1
y1y2=- 2 , m +2
可得|AB|= 1+m2|y1-y2|
2m 4 2 2(m2+1)
= + 2 1 m 2m2+2 + = , m2+2 m2+2
2m2 -4
x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 -2= 2 , m +2 m +2
-2 m
所以弦 AB 的中点 M 的坐标为 2 ,+ 2+
,
m 2 m 2
m
故直线 CD 的方程为 y=- x.
2
m
y=- x,2
联立 2 2 22 消去 y 并整理得 2x +m x -4=0, x 2 +y =1,2
4
解得 x2= 2 . m +2
4
由对称性,设 C(x0,y0),D(-x0,-y 20),则 x0= ,
m2+2
m2 4 m2+4
可得|CD|= 1+ ·|2x 2
4 0
|= (m +4)· 2 =2 . m +2 m2+2
因为|AM|2=|CM||DM|=(|OC|-|OM|)(|OD|+|OM|),且|OC|=|OD|,
所以|AM|2=|OC|2-|OM|2,
|AB|2 |CD|2
故 = -|OM|2,
4 4
即|AB|2=|CD|2-4|OM|2,
8(m2+1)2 4(m2+4) 4 m2
则 = - +
(m2
4
+2)2 m2+2 (m2+2)2 (m2+2)2
,
解得 m2=2,故 m=± 2.
所以直线 l 的方程为 x- 2y+1=0 或 x+ 2y+1=0.
[关键点拨]
本题(2)的核心在于转化|AM|2=|CM|·|DM|中弦长的关系.由|CM|=|OC|-|OM|,|DM|=
1 1
|OD|+|OM|,又|OC|=|OD|,得|AM|2=|OC|2-|OM|2.又|AM|= |AB|,|OC|= |CD|,因此|AB|2
2 2
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=|CD|2-4|OM|2,转化为弦长|AB|,|CD|和|OM|三者之间的数量关系,易计算.
考点四 面积条件的转化
[典例] 设椭圆的中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)
与椭圆交于 E,F 两点,求四边形 AEBF 的面积的最大值.
x2
[解题观摩] 法一:如图所示,依题意得椭圆的方程为 +y2
4
=1,
直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx(k>0).
设点 E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x1<x2,
且 x1,x2 满足方程(1+4k2)x2=4,
2
故 x2=-x1= .①
1+4k2
根据点到直线的距离公式和①,得点 E,F 到直线 AB 的距离分别为
|x1+2kx1-2| 2(1+2k+ 1+4k2)
h1= = ,
5 5(1+4k2)
|x2+2kx2-2| 2(1+2k- 1+4k2)
h2= = .
5 5(1+4k2)
又|AB|= 22+12= 5,
所以四边形 AEBF 的面积为
1 1 4(1+2k) 2(1+2k) 1+4k2+4k 4k
S= |AB|·(h1+h2)= · 5· = =2 =2 1+2 2 2 2 1+4k2 1+4k2
=
5(1+4k ) 1+4k
4 1 1
2 1+ ≤2 2,当且仅当 =4k,即 k= 时取等号.
1 k 2
+4k
k
因此四边形 AEBF 的面积的最大值为 2 2.
x2
法二:依题意得椭圆的方程为 +y2=1.
4
直线 EF 的方程为 y=kx(k>0).
设点 E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x1<x2.
y=kx,
联立 x2 消去 y,得(1+4k2)x2=4. 2 +y =1 4
-2 2
故 x1= ,x2= ,
1+4k2 1+4k2
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4 1+k2
|EF|= 1+k2·|x1-x2|= .
1+4k2
|2k| 2k
根据点到直线的距离公式,得点 A,B 到直线 EF 的距离分别为 d1= = ,
1+k2 1+k2
1
d2= .
1+k2
因此四边形 AEBF 的面积为
1 1 4 1+k2 1+2k 2(1+2k) 4k2+4k+1 4k
S= |EF|·(d1+d )= · · = =2 =2 1+ =2 2 2 1+4k2 1+k2 1+4k2 1+4k
2 1+4k2
4 1 1
2 1+ ≤2 2,当且仅当 =4k,即 k= 时取等号.
1 k 2
+4k
k
因此四边形 AEBF 的面积的最大值为 2 2.
[关键点拨]
1
如果利用常规方法理解为 S 四边形 AEBF=S△AEF+S△BEF= |EF|·(d1+d2)(其中 d1,d2 分别表示2
点 A,B 到直线 EF 的距离),则需要通过联立直线与椭圆的方程,先由根与系数的关系求出
EF 的弦长,再表示出两个点线距,其过程很复杂.而通过分析,若把四边形 AEBF 的面积
拆成两个小三角形——△ABE 和△ABF 的面积之和,则更为简单.因为直线 AB 的方程及其
长度易求出,故只需表示出点 E 与点 F 到直线 AB 的距离即可.
[总结规律·快速转化]
做数学,就是要学会翻译,把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换,我
们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理,在理解题意的同时,牢
记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”,核心思想是“数形结合”,牢固树
立“转化”意识,那么就能顺利破解解析几何的有关问题.附几种几何条件的转化,以供参
考
1.平行四边形条件的转化
几何性质 代数实现
(1)对边平行 斜率相等,或向量平行
(2)对边相等 长度相等,横(纵)坐标差相等
(3)对角线互相平分 中点重合
2.直角三角形条件的转化
几何性质 代数实现
(1)两边垂直 斜率乘积为-1,或向量数量积为 0
(2)勾股定理 两点的距离公式
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(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半) 两点的距离公式
3.等腰三角形条件的转化
几何性质 代数实现
(1)两边相等 两点的距离公式
(2)两角相等 底边水平或竖直时,两腰斜率相反
垂直:斜率或向量
(3)三线合一(垂直且平分)
平分:中点坐标公式
4.菱形条件的转化
几何性质 代数实现
(1)对边平行 斜率相等,或向量平行
(2)对边相等 长度相等,横(纵)坐标差相等
垂直:斜率或向量
(3)对角线互相垂直平分
平分:中点坐标公式、中点重合
5.圆条件的转化
几何性质 代数实现
(1)点在圆上 点与直径端点向量数量积为零
(2)点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数
(3)点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数
6.角条件的转化
几何性质 代数实现
(1)锐角,直角,钝角 角的余弦(向量数量积)的符号
(2)倍角,半角,平分角 角平分线性质,定理(夹角、到角公式)
(3)等角(相等或相似) 比例线段或斜率
[课时跟踪检测]
3 x2
1.已知椭圆 C 经过点 1, 2 ,且与椭圆 E: +y
2=1 有相同的焦点.
2
(1)求椭圆 C 的标准方程;
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(2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,
问:以线段 PQ 为直径的圆是否经过一定点 M?若存在,求出定点 M 的坐标;若不存在,
请说明理由.
解:(1)椭圆 E 的焦点为(±1,0),
x2 y2
设椭圆 C 的标准方程为 2+ =1(a>b>0), a b2
9
1 4 a2 =4,
则 + =1,a2 b2 解得 b2=3, a2-b2=1,
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.
4 3
y=kx+m,
(2)联立 x2 y2 消去 y,
+ =1
4 3
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
所以 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,
即 m2=3+4k2.
设 P(xP,yP),
-4km 4k 4k2 3
则 xP= 2=- ,yP=kxP+m=- +m= , 3+4k m m m
即 P
4k 3
- ,
m m .假设存在定点 M(s,t)满足题意,
因为 Q(4,4k+m),
4k 3则 MP= - -s, -t m m ,MQ=(4-s,4k+m-t),
4k 3 4k 3
所以 MP·MQ= - -s -t m (4-s)+ m (4k+m-t)=- (1-s)-
+m+4k
m t+(s
2-
m
4s+3+t2)=0 恒成立,
1-s=0,
s=1,
故 t=0, 解得 t=0. s2-4s+3+t2=0,
所以存在点 M(1,0)符合题意.
x2 y2 6
2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴长为 2 2,离心率为 ,点 A(3,0),P 是 Ca b 3
上的动点,F 为 C 的左焦点.
(1)求椭圆 C 的方程;
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(2)若点 P 在 y 轴的右侧,以 AP 为底边的等腰△ABP 的顶点 B 在 y 轴上,求四边形 FPAB
面积的最小值.
2b=2 2,
c 6 a= 6,
解:(1)依题意得 = ,a 3 解得 b= 2 a2=b2+c2
x2 y2
∴椭圆 C 的方程是 + =1.
6 2
(2)设 P(x0,y0)(- 2<y0< 2,y0≠0,x0>0),
线段 AP 的中点为 M,
x0+3 y0 y0
则 AP 的中点 , M ,直线 AP 的斜率为 ,
2 2 x0-3
由△ABP 是以 AP 为底边的等腰三角形,可得 BM⊥AP,
∴直线 AP 的垂直平分线方程为
y0 x0-3 x0+3
y- =- x- ,
2 y0 2
2 2
令 = 得
y0+x0-9
x 0 B 0, ,
2y0
x2 y20 0 -2y
2
0-3
∵ + =1,∴ B 0, ,
6 2 2y0
∵F(-2,0),
5 -2y20-3
∴四边形 FPAB 的面积 S= |y |+
2 0 2y0
5 3= 2|y0|+ 2 2|y0|
≥5 3,
3 3
当且仅当 2|y0|= ,即 y0=± 时等号成立, 2|y0| 2
四边形 FPAB 面积的最小值为 5 3.
x2 y2 3
3.椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F ,F ,离心率为 ,过点 F 且
a2 b2 1 2 2 1
垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM
交 C 的长轴于点 M(m,0),求 m 的取值范围.
x2 y2 b2
解:(1)将 x=-c 代入椭圆的方程 2+ 2=1,得 y=± . a b a
2b2 c 3 b 1
由题意知 =1,故 a=2b2.又 e= = ,则 = ,即 a=2b,所以 a=2,b=1,
a a 2 a 2
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x2
故椭圆 C 的方程为 +y2=1.
4
(2)由 PM 是∠F1PF2 的角平分线,
|PF1| |PF2| |PF1| |F1M|
可得 = ,即 = .
|F1M| |F2M| |PF2| |F2M|
设点 P(x0,y0)(-2<x0<2),
又点 F1(- 3,0),F2( 3,0),M(m,0),
3
则|PF1|= (- 3-x0)2+y20=2+ x0, 2
3
|PF2|= ( 3-x0)2+y20=2- x0. 2
又|F1M|=|m+ 3|,|F2M|=|m- 3|,且- 3<m< 3,
所以|F1M|=m+ 3,|F2M|= 3-m.
3
2+ x
2 0 3+m 3
所以 = ,化简得 m= x
4 0
,
3 3-m
2- x
2 0
3 3
而-2<x0<2,因此- <m< . 2 2
3 3
故实数 m 的取值范围为 - , 2 2 .
x2 y2
4.(2018·沈阳模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|a b
=6,直线 y=kx 与椭圆交于 A,B 两点.
(1)若△AF1F2的周长为 16,求椭圆的标准方程;
2
(2)若 k= ,且 A,B,F1,F2 四点共圆,求椭圆离心率 e 的值; 4
(3)在(2)的条件下,设 P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线 PA 的斜率 k1∈(-2,-1),试求
直线 PB 的斜率 k2 的取值范围.
解:(1)由题意得 c=3,根据 2a+2c=16,得 a=5.结合 a2=b2+c2,解得 a2=25,b2=
x2 y2
16.所以椭圆的标准方程为 + =1.
25 16
x2 y2
2+ 2=1,a b 1
(2)由 得 b2+ a2 8 x2-a2b2=0. 2 y= x,4
设 A(x1,y1),B(x2,y2).
-a2b2
所以 x1+x2=0,x1x2= , 1
b2+ a2
8
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由 AB,F1F2互相平分且共圆,易知,AF2⊥BF2,
―→ ―→
因为F2A=(x1-3,y1),F2B=(x2-3,y2),
―→ ―→
所以F2A·F2B=(x1-3)(x2-3)+y1y2
1= 1+ 8 x1x2+9=0.
-a2b2
即 x1x2=-8,所以有 =-8,
b2
1
+ a2
8
结合 b2+9=a2,解得 a2=12,
3
所以离心率 e= .
2
x2 y2
(3)由(2)的结论知,椭圆方程为 + =1,
12 3
y0-y1 y0+y1
由题可知 A(x1,y1),B(-x1,-y1),k1= ,k2= ,
x0-x1 x0+x1
y20-y21
所以 k1k2= 2 2, x0-x1
2 2
x0 x1
y2 2
3 1- 1-
0-y1 12
-3 12 1
又 2 2= 2 2 =- , x0-x1 x0-x1 4
1
即 k2=- , 4k1
1 1
由-2<k1<-1 可知, <k2< . 8 4
1 1
即直线 PB 的斜率 k2∈ , 8 4 .
第十一节 解析几何计算处理技巧
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中,用方程的观点来研究曲线,体现了用代
数的方法解决几何问题的优越性,但有时运算量过大,或需繁杂的讨论,这些都会影响解题
的速度,甚至会中止解题的过程,达到“望题兴叹”的地步.特别是高考过程中,在规定的
时间内,保质保量完成解题的任务,计算能力是一个重要的方面.为此,从以下几个方面探
索减轻运算量的方法和技巧,合理简化解题过程,优化思维过程.
考点一 回归定义,以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念,并用相应的概念解决问题,是一种朴素而又重要的策
略和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点,又是新知识、新思维的生
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