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第六章 数列
第一节 数列的概念与简单表示
一、基础知识
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数
列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集
{1,2，…，n})为定义域的函数 an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一
列函数值．
数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数
列方法的特殊性.
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
2．数列的分类
有限数列：项数有限个；
(1)按照项数有限和无限分：
无限数列：项数无限个；
递增数列：an＋1>an，
递减数列：an＋1(2)按单调性来分：
常数列：an＋1＝an＝C(常数)，
摆动数列.
3．数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么
这个公式叫做这个数列的通项公式．
(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任
一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数
列的递推公式．
通项公式和递推公式的异同点
不同点 相同点
通项公式 可根据某项的序号 n 的值，直接代入求出 an 都可确定一个数列，也都可求
递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多 出数列的任意一项
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次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的
an
二、常用结论
S1，n＝1，
(1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝
Sn－Sn－1，n≥2，n∈N
*.
an≥an－1， an≤an－1，
(2)在数列{an}中，若 an 最大，则 若 an最小，则 an≥an＋1. an≤an＋1.
考点一 由 an与 Sn的关系求通项 an
[典例] (1)(2018·广州二模)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 log2(Sn＋1)＝n＋1，则数
列{an}的通项公式为____________．
(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn＝2an＋1，则 an＝________.
＋
[解析] (1)由 log (S ＋1)＝n＋1，得 S ＋1＝2n 12 n n ，
当 n＝1 时，a1＝S1＝3；当 n≥2 时，an＝Sn－S nn－1＝2 ，
3，n＝1，
所以数列{an}的通项公式为 an＝ n
2 ，n≥2.
(2)∵Sn＝2an＋1，当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即 an＝2an－1.
当 n＝1 时，a1＝S1＝2a1＋1，得 a1＝－1.
∴数列{an}是首项 a1 为－1，公比 q 为 2 的等比数列，
－ －
∴a ＝－1×2n 1＝－2n 1n .
3，n＝1， －
[答案] (1)a n 1n＝ (2)－2
2
n，n≥2
[解题技法]
1．已知 Sn求 an的 3 个步骤
(1)先利用 a1＝S1 求出 a1；
(2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2
时 an 的表达式；
(3)注意检验 n＝1 时的表达式是否可以与 n≥2 的表达式合并．
2．Sn 与 an 关系问题的求解思路
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根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式，再求解．
(2)利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解．
[题组训练]
1.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则 an＝( )
A．2n B．2n－1
C．2n D．2n－1
解析：选 C 当 n＝1 时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得 a1＝2，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，
∴数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴an＝2n.
2.设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则 an＝____________.
解析：因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，
2
所以 an＝ (n≥2)．
2n－1
又由题设可得 a1＝2，满足上式，
2
从而{an}的通项公式为 an＝ .
2n－1
2
答案：
2n－1
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
[典例] (1)设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为
________________．
n－1
(2) 在数列 {an} 中， a1 ＝ 1 ， an ＝ an － 1(n≥2) ，则数列 {an} 的通项公式为n
________________．
(3)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
[解析] (1)累加法
由题意得 a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n(n≥2)，
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以上各式相加，得 an＝a1＋2＋3＋…＋n.
n2＋n
又∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝ (n≥2)． 2
n2＋n
∵当 n＝1 时也满足上式，∴an＝ (n∈N*)． 2
(2)累乘法
n－1
∵an＝ an－1(n≥2)， n
n－2 n－3 1
∴an－1＝ an－2，an－2＝ an－3，…，a2＝ a－ － 2 1
.
n 1 n 2
以上(n－1)个式子相乘得
1 2 n－1 a1 1
an＝a1···…· ＝ ＝ . 2 3 n n n
当 n＝1 时，a1＝1，上式也成立．
1
∴a *n＝ (n∈N )． n
(3)构造法
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
an＋1＋1
∴ ＝3，
an＋1
∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3，又 a1＋1＝2，
－
∴a ＋1＝2·3n 1n ，
－
∴an＝2·3n 1－1(n∈N*)．
n2＋n 1
[答案] (1)an＝ (n∈N*) (2)an＝ (n∈N*
－
) (3)an＝2·3n 1－1(n∈N*) 2 n
[解题技法]
1．正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为 an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通
项公式．
an＋1
(2)对于递推关系式可转化为 ＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前 n 项的积时，采
an
用累乘法求数列{an}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如 an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2．避免 2 种失误
a2
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到 ，漏掉 a
a 1
而导
1
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致错误；二是根据连乘求出 an 之后，不注意检验 a1 是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形
式．
[题组训练]
1
1.(累加法)设数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝an＋ ，则通项公式 an＝________.
n(n＋1)
1 1
解析：原递推公式可化为 an＋1＝an＋ － ， n n＋1
1 1 1 1 1 1 1 1
则 a2＝a1＋ － ，a3＝a2＋ － ，a4＝a3＋ － ，…，a1 2 2 3 3 4 n－1＝an－2＋ － ，an＝a－ － nn 2 n 1
1 1 1 1
－1＋ － ，以上(n－1)个式子的等号两端分别相加得，an＝a1＋1－ ，故 an＝4－ .
n－1 n n n
1
答案：4－
n
2.(累乘法)设数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式 an＝________.
n an －解析：由 a ＝2 a ，得 ＝2n 1n＋1 n (n≥2)，
an－1
a a a n(n－1n n－1 )2 n－1 n－2 1＋ ＋ ＋…＋所以 a ＝ · ·…· ·a 2 3 (n
－1)
n a 1
＝2 ·2 ·…·2·1＝2 ＝2 2 . an－1 an－2 1
n(n－1)
又 a1＝1 适合上式，故 an＝2 2 .
n(n－1)
答案：2 2
3.(构造法)在数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(a ，a *n n＋1)(n∈N )在直线 4x－y＋1＝0 上，则数
列{an}的通项公式为________．
解析：因为点 P *n(an，an＋1)(n∈N )在直线 4x－y＋1＝0 上，所以 4an－an＋1＋1＝0，即
1 1 1 1 10
an＋1＝4an＋1，得 an＋1＋ ＝4 a 3 n
＋
3 ，所以
an＋ 是首项为 a1＋ ＝ ，公比为 4 的等比数
3 3 3
1 10 n－1 10 n－1 1列，所以 an＋ ＝ ·4 ，故 a ＝ ·4 － . 3 3 n 3 3
10 － 1
答案：a ＝ ·4n 1n － 3 3
考点三 数列的性质及应用
考法(一) 数列的周期性
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1
2an，0≤an≤ ，2 3
[典例] 数列{an}满足 an＋1＝ a1＝ ，则数列的第 2 019 项为1 5 2an－1， ________．
3 1 2 4 3
[解析] 因为 a1＝ ，故 a2＝2a1－1＝ ，a3＝2a2＝ ，a ＝2a5 5 5 4 3＝ ，a5 5＝2a4－1＝ ，a5 6
1 2
＝2a5－1＝ ，a7＝2a6＝ ，…， 5 5
2
故数列{an}是周期数列且周期为 4，故 a2 019＝a504×4＋3＝a3＝ . 5
2
[答案]
5
考法(二) 数列的单调性(最值)
[典例] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{an}满足 2Sn＝4an－1，当 n∈N*时，{(log2an)2
＋λlog2an}是递增数列，则实数 λ的取值范围是________．
7
(2)已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋2)· n 8 ，则当 an 取得最大值时，n＝________.
[解析] (1)∵2Sn＝4an－1,2Sn－1＝4an－1－1(n≥2)，
两式相减可得 2an＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＝2an－1(n≥2)．
1
又 2a1＝4a1－1，∴a1＝ ， 2
－
∴数列{a n 2n}是公比为 2 的等比数列，∴an＝2 ，
设 bn＝(log a )2＋λlog a ＝(n－2)22 n 2 n ＋λ(n－2)，
∵{(log2an)2＋λlog2an}是递增数列，
∴bn＋1－bn＝2n－3＋λ>0 恒成立，∴λ>3－2n 恒成立，
∵(3－2n)max＝1，∴λ>1，
故实数 λ的取值范围是(1，＋∞)．
an≥an－1，
(2)当 an 取得最大值时，有
an≥an＋1，
7 7
－(n＋2) n 8 ≥(n＋1)
n 1
8 ， n≤6，
∴ 解得 7 7
(n＋2) n≥(n＋3) n
＋1 n≥5，
8 8 ，
∴当 an 取得最大值时，n＝5 或 6.
[答案] (1)(1，＋∞) (2)5 或 6
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[解题技法]
1．解决数列的单调性问题的 3 种方法
2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
[题组训练]
na
1．设数列{an}，an＝ ，其中 a，b，c 均为正数，则此数列( )
nb＋c
A．递增 B．递减
C．先增后减 D．先减后增
na a a
解析：选 A 因为 an＝ ＝ ，而函数 f(x)＝ (a>0，b>0，c>0)在(0，＋∞)上
bn＋c c c
b＋ b＋
n x
是增函数，故数列{an}是递增数列．
1 1
2．已知数列{an}满足 an＋1＝ ，若 a1＝ ，则 a2 019＝( )
1－an 2
1
A．－1 B.
2
C．1 D．2
1 1 1
解析：选 A 由 a1＝ ，a2 n＋1＝ ，得 a ＝ ＝2， 1－ 2an 1－a1
1 1 1 1
a3＝ ＝－1，a4＝ ＝ ，a5＝ ＝2，…，
1－a2 1－a3 2 1－a4
于是可知数列{an}是以 3 为周期的周期数列，因此 a2 019＝a3×673＝a3＝－1.
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·郑州模拟)已知数列 1， 3， 5， 7，…， 2n－1，若 3 5是这个数列的第 n
项，则 n＝( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选 D 由 2n－1＝3 5＝ 45，得 2n－1＝45，即 2n＝46，解得 n＝23，故选 D.
1 1 1 1
2．(2019·福建四校联考)若数列的前 4 项分别是 ，－ ， ，－ ，则此数列的一个通项
2 3 4 5
公式为( )
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＋
(－1)n 1 (－1)n
A. B.
n＋1 n＋1
－
(－1)n (－1)n 1
C. D.
n n
1 1 1 1
解析：选 A 由于数列的前 4 项分别是 ，－ ， ，－ ，可得奇数项为正数，偶数项为
2 3 4 5
＋
1 (－1)n 1
负数，第 n 项的绝对值等于 ，故此数列的一个通项公式为 .故选 A.
n＋1 n＋1
3．(2019·莆田诊断)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则 a5 的值
为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选 A 由题意可得，an＋2＝an＋1－an，则 a3＝a2－a1＝2－1＝1，a4＝a3－a2＝1－2
＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2.故选 A.
4．数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若 p－q＝5，则 ap－aq＝( )
A．10 B．15
C．－5 D．20
解析：选 D 当 n≥2 时，a ＝S －S ＝2n2－3n－[2(n－1)2n n n－1 －3(n－1)]＝4n－5，当 n＝
1 时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以 an＝4n－5，所以 ap－aq＝4(p－q)＝20.
5．设数列{an}的通项公式为 a ＝n2n －bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数 b 的取值
范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
9
C．(－∞，3) D. －∞， 2
解析：选 C 因为数列{an}是单调递增数列，
所以 an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，
所以 b<2n＋1(n∈N*)，
所以 b<(2n＋1)min＝3，即 b<3.
1 an＋1
6．若数列{an}满足 ≤ ≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”．若{an}(n＝1,2,3,4)是2 an
3
“紧密数列”，且 a1＝1，a2＝ ，a3＝x，a4＝4，则 x 的取值范围为( ) 2
A．[1,3) B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,3)
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1 x
≤ ≤2， 2 3
解析：选 C 依题意可得 2 解得 2≤x≤3，故 x 的取值范围为[2,3]． 1 4 ≤ ≤2，2 x
7．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 an＝________.
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
当 n＝1 时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，
4，n＝1，
因此 an＝
2n＋1，n≥2.
4，n＝1，
答案：
2n＋1，n≥2
3 5 7 9 m＋n
8．已知数列 ， ， ， ， ，…，根据前 3 项给出的规律，实数对(m，
2 4 6 m－n 10
n)为________．
19
m－n＝8， m＝ ， 2
解析：由数列的前 3 项的规律可知 解得 故实数对(m，n)为 m＋n＝11， 3
n＝ ， 2
19 3，
2 2 .
19 3
答案： ， 2 2
9．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且 S2＝3，则 a1＋a3
的值为________．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令 n＝2，
得 S2＋S1＝3，由 S2＝3 得 a1＝S1＝0，
令 n＝3，得 S3＋S2＝5，所以 S3＝2，
则 a3＝S3－S2＝－1，
所以 a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
答案：－1
10．已知数列{an}满足 an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数 λ 的取值范围
为________．
解析：因为 an＝(n－λ)2n(n∈N*)且数列{a nn}是递增数列，所以 an＋1－an＝2 (n＋2－λ)>0，
所以 n＋2－λ>0，则 λ答案：(－∞，3)
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11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前 4 项，并归纳出数列{an}的通项公式；
an＋1＋1
(2)证明： ＝4.
an＋1
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.
因为 a ＝41 2 3 41 －1，a2＝4 －1，a3＝4 －1，a4＝4 －1，…，
所以归纳得 an＝4n－1.
an＋1＋1 4an＋3＋1 4(an＋1)
(2)证明：因为 an＋1＝4an＋3，所以 ＝ ＝ ＝4.
an＋1 an＋1 an＋1
12．已知数列{an}的通项公式是 a ＝n2n ＋kn＋4.
(1)若 k＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值；
(2)对于 n∈N*，都有 an＋1>an，求实数 k 的取值范围．
解：(1)由 n2－5n＋4<0，解得 1因为 n∈N*，所以 n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为 a2，a3.
因为 a ＝n2－5n＋4＝
5
n－ 2
9
n 2 － ， 4
由二次函数性质，得当 n＝2 或 n＝3 时，an 有最小值，其最小值为 a2＝a3＝－2.
(2)由 an＋1>a 2n，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an＝n ＋kn＋4，可以看作是
k 3
关于 n 的二次函数，考虑到 n∈N*，所以－ < ，解得 k>－3.
2 2
所以实数 k 的取值范围为(－3，＋∞)．
B 级
1.已知数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该
数阵中的第 10 行第 3 个数为________．
a1
a2 a3
a4 a5 a6
……
解析：由题意可得该数阵中的第 10 行第 3 个数为数列{an}的第 1＋2＋3＋…＋9＋3＝
9×10
＋3＝48 项，而 a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第 10 行第 3 个数为 97. 2
答案：97
2．在一个数列中，如果 n∈N*，都有 anan＋1an＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等
积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，
则 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
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解析：依题意得数列{an}是周期为 3 的数列，且 a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此 a1＋a2＋a3
＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案：28
10
3．在数列{a }中，a ＝(n＋1) nn n 11 (n∈N
*)．
(1)讨论数列{an}的增减性；
(2)求数列{an}的最大项．
解：(1)由题意，知 an>0，
10
(n＋1) n
an 11
令 >1(n≥2)，即 >1(n≥2)，
an－1 10 －
n n 1 11
解得 2≤n<10，即 a9>a8>…>a1.
10
(n＋1) n
an 11
令 >1，即 >1，
an＋1 10 ＋
(n＋2) n 1 11
n＋1 10
整理得 > ，解得 n>9，即 a10>a11>….
n＋2 11
a9
又 ＝1，所以数列{an}从第 1 项到第 9 项单调递增，从第 10 项起单调递减． a10
1010
(2)由(1)知 a9＝a10＝ 9 为数列{an}的最大项． 11
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