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第二节 等差数列及其前 n 项和
一、基础知识
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为 an＋1－an＝d(n∈
N*，d 为常数)．
a＋b
(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝ ，其中 A 叫做 a，b 的等
2
差中项．
在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项 有穷等差数列的末项除外 都是它的前一项
与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
n(n－1) n(a1＋an)
(2)前 n 项和公式：Sn＝na1＋ d＝ . 2 2
3．等差数列的通项公式及前 n 项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d 可化为 an＝dn＋a1－d 的形式．当 d≠0 时，an是关于 n 的一次函数；
当 d>0 时，数列为递增数列；当 d<0 时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为 0 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．
二、常用结论
已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{a }中，当 m＋n＝p＋q 时，a ＋a ＝a ＋a (m，n，p，q∈N*n m n p q )．特别地，
若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，a *k＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N )．
(4)Sn，S2n－Sn，S 23n－S2n，…也成等差数列，公差为 n d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
Sn
(6)若{an}是等差数列，则 n 也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差
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1
的 .
2
S奇 an
(7)若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S 奇＝nd； ＝ .
S偶 an＋1
S奇 n
(8)若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S 奇－S 偶＝an； ＝ .
S偶 n－1
am≥0，
(9)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足 的项数 m 使得 Sn 取得最大值 Sm； am＋1≤0
am≤0，
若 a1<0，d>0，则满足 的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.
am＋1≥0
考点一 等差数列的基本运算
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，
则 a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝4，S4＝22，an＝28，则 n＝( )
A．3 B．7
C．9 D．10
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，得 3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋
6d，即 3a1＋2d＝0.将 a1＝2 代入上式，解得 d＝－3，故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝
－10.
(22－4a2)
(2)因为 S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝ ＝3，a ＝a －d＝4－3＝1，a2 1 2 n
＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由 3n－2＝28，解得 n＝10.
[答案] (1)B (2)D
[解题技法] 等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就
能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1和 d 是等差数
列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
[提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运
算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
[题组训练]
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1．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋a5＝10，S4＝
16，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
a1＋a1＋4d＝10，
解析：选 B 设等差数列{an}的公差为 d，则由题意，得 4×3 解得

4a1＋ ×d＝16，2
a1＝1，
故选 B. d＝2，
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3·a5＝12，a2＝0.若 a1>0，则 S20＝( )
A．420 B．340
C．－420 D．－340
解析：选 D 设数列{an}的公差为 d，则 a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由 a3·a5＝12
20×19
得 d＝±2，由 a1>0，a2＝0，可知 d<0，所以 d＝－2，所以 a1＝2，故 S20＝20×2＋ × 2
(－2)＝－340，选 D.
3．在等差数列{an}中，已知 a5＋a10＝12，则 3a7＋a9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
解析：选 C 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
因为 a5＋a10＝12，
所以 2a1＋13d＝12，
所以 3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.
考点二 等差数列的判定与证明
1
[典例] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝ . 2
1
(1)求证： S 是等差数列． n
(2)求 an 的表达式．
[解] (1)证明：因为 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又 an＝－2Sn·Sn－1，所以 Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
1 1
因此 － ＝2(n≥2)．
Sn Sn－1
1 1 1
故由等差数列的定义知 S 是以 ＝ ＝2 为首项，2 为公差的等差数列． n S1 a1
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1 1
(2)由(1)知 ＝ ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
Sn S1
1
即 Sn＝ . 2n
1
由于当 n≥2 时，有 an＝－2Sn·Sn－1＝－ ，
2n(n－1)
1
又因为 a1＝ ，不适合上式． 2
1
，n＝1，2
所以 an＝ 1
－ ，n≥2. 2n(n－1)
[题组训练]
1．(2019·陕西质检)已知数列{a 2n}的前 n 项和 Sn＝an ＋bn(a，b∈R)且 a2＝3，a6＝11，
则 S7 等于( )
A．13 B．49
C．35 D．63
7(a1＋a7)
解析：选 B 由 S 2n＝an ＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，所以 S7＝ ＝2
7(a2＋a6)
＝49.
2
1 1
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，设 b ＝ (n∈N*n )．求证：
an－1 an－1
数列{bn}是等差数列．
1 1
证明：∵an＝2－ (n≥2)，∴an＋1＝2－ .
an－1 an
1 1 1 1 an－1
∴bn＋1－bn＝ － ＝ － ＝ ＝1，
an＋1－1 an－1 1 a －1 a －1
2－ － n n1
an
1
∴{bn}是首项为 b1＝ ＝1，公差为 1 的等差数列．
2－1
考点三 等差数列的性质及应用
考法(一) 等差数列项的性质
[典例] (1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则 log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
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A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
S9
(2)(2019·福建模拟)设 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，若 a5＝2b5，则 ＝T9
( )
A．2 B．3
C．4 D．6
×
[解析] (1)因为 2a1·2a2·…·2a10＝2a 5 41＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝2 ，
×
所以 log 5 42(2a1·2a2·…·2a10)＝log22 ＝20.选 B.
9(a1＋a9)
a5 S9 2 a5
(2)由 a5＝2b5，得 ＝2，所以 ＝ ＝ ＝2，故选 A. b5 T9 9(b1＋b9) b5
2
[答案] (1)B (2)A
考法(二) 等差数列前 n 项和的性质
[典例] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9 等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
[解析] 由{an}是等差数列，
得 S3，S6－S3，S9－S6 为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到 S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选 B.
[答案] B
考法(三) 等差数列前 n 项和的最值
[典例] 在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前 n项和 Sn的最大值为( )
A．S15 B．S16
C．S15 或 S16 D．S17
[解析] ∵a1＝29，S10＝S20，
10×9 20×19
∴10a1＋ d＝20a1＋ d，解得 d＝－2， 2 2
n(n－1)
∴S 2n＝29n＋ ×(－2)＝－n ＋30n＝－(n－15)2＋225. 2
∴当 n＝15 时，Sn 取得最大值．
[答案] A
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[解题技法]
1．应用等差数列的性质解题的 2 个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若
出现 am－n，am，am＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件；
1
若求 am 项，可由 am＝ (am－n＋am＋n)转化为求 a2 m－n，am＋n 或 am＋n＋am－n 的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用，如 an＝am＋(n－m)d，d＝
an－am n(a1＋an) n(a2＋an－1)
，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝ ＝ (n，m∈N*)等．
n－m 2 2
2．求等差数列前 n 项和 Sn 最值的 2 种方法
(1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S 2n＝an ＋bn，通过配方或借助图象求
二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
am≥0，
①当 a1>0，d<0 时，满足 的项数 m 使得 Sn 取得最大值为 Sm；
am＋1≤0
am≤0，
②当 a1<0，d>0 时，满足 的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm. am＋1≥0
[题组训练]
1．在等差数列{an}中，若 a3＝－5，a5＝－9，则 a7＝( )
A．－12 B．－13
C．12 D．13
解析：选 B 法一：设公差为 d，则 2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则 d＝－2，故 a7＝a3
＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选 B.
法二：由等差数列的性质得 a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选 B.
2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足 Sn>0 的最大
自然数 n 的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选 C 因为 a1>0，a6a7<0，所以 a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又 a3＋a10
＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以 S12>0，S13<0，所以满足 Sn>0 的最大自然数 n 的值为 12.
3．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36，最后 6 项的和为 180，Sn＝
324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．
解析：由题意知 a1＋a2＋…＋a6＝36，①
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an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，
n(a1＋an)
∴a1＋an＝36，又 Sn＝ ＝324， 2
∴18n＝324，∴n＝18.
答案：18
[课时跟踪检测]
A 级
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，Sn 为{an}的前 n 项和，则 S10 等于( )
A．90 B．100
C．110 D．130
10×9
解析：选 C 由递推公式可知该数列是公差为 2 的等差数列，S10＝10×2＋ ×2＝2
110.故选 C.
2．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，a5＝5，则 S7的
值是( )
A．30 B．29
C．28 D．27
a5－a3
解析：选 C 由题意，设等差数列的公差为 d，则 d＝ ＝1，故 a4＝a3＋d＝4，所
5－3
7(a1＋a7) 7×2a4
以 S7＝ ＝ ＝7×4＝28.故选 C. 2 2
3．(2019·山西五校联考)在数列{an}中，an＝28－5n，Sn 为数列{an}的前 n 项和，当 Sn
最大时，n＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选 C ∵an＝28－5n，∴数列{an}为递减数列．
28
令 a *n＝28－5n≥0，则 n≤ ，又 n∈N ，∴n≤5. 5
∵Sn 为数列{an}的前 n 项和，∴当 n＝5 时，Sn 最大．故选 C.
Sn
4．(2019·广东中山一中统测)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＝－2n＋1，则数列
n
的前 11 项和为( )
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A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：选 D ∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1 为首项，－2 为公差的等差数列，
n[－1＋(－2n＋1)] S 2n －n Sn
∴S ＝ ＝－n2n ，∴ ＝ ＝－n，∴数列 n 是以－1 为首项，－1 为公差2 n n
Sn 11×10
的等差数列，∴数列 n 的前 11 项和为 11×(－1)＋ ×(－1)＝－66，故选 D. 2
5．(2018·南昌模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S5＝50，S10＝200，则 a10＋
a11 的值为( )
A．20 B．40
C．60 D．80
解析：选 D 设等差数列{an}的公差为 d，
5×4
S5＝5a1＋ d＝50，2
由已知得
10×9
S10＝10a1＋ d＝200， 2
a1＋2d＝10， a1＝2，
即 9 解得
a 1
＋ d＝20，
2 d＝4.
∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选 D.
6．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a 2n}的各项均不为零，其前 n 项和为 Sn.若 an＋1＝
an＋2＋an，则 S2n＋1＝( )
A．4n＋2 B．4n
C．2n＋1 D．2n
解析：选 A 因为{an}为等差数列，所以 an＋2＋an＝2a 2 2n＋1，又 an＋1＝an＋2＋an，所以 an＋1
(a1＋a2n＋1)(2n＋1)
＝2an＋1.因为数列{an}的各项均不为零，所以 an＋1＝2，所以 S2n＋1＝ ＝2
2×an＋1×(2n＋1)
＝4n＋2.故选 A.
2
2 4
7．已知等差数列 5,4 ，3 ，…，则前 n 项和 S
7 7 n
＝________.
5 n(n－1) 5
解析：由题知公差 d＝－ ，所以 Sn＝na1＋ d＝ (15n－n2)． 7 2 14
5
答案： (15n－n2)
14
8．已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 a1＝6，a3＋a5＝0，则 S6＝________.
解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.
∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.
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6×(6－1)
∴S6＝6a1＋ d＝6×6－30＝6. 2
答案：6
9．等差数列{an}中，已知 a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前 n 项和 Sn 的最大值为________．
a4＋a7＝a5＋a6<0， a5>0，
解析：∵ ∴ a5>0， a6<0，
∴Sn 的最大值为 S5.
答案：S5
1
10．在等差数列{an}中，公差 d＝ ，前 100 项的和 S100＝45，则 a1＋a3＋a5＋…＋a ＝2 99
________.
100 9
解析：因为 S100＝ (a1＋a2 100)＝45，所以 a1＋a100＝ ， 10
2
a1＋a99＝a1＋a100－d＝ ， 5
50 50 2
则 a1＋a3＋a5＋…＋a99＝ (a1＋a99)＝ × ＝10. 2 2 5
答案：10
11．(2018·全国卷Ⅱ)记 Sn为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值．
解：(1)设{an}的公差为 d，
由题意得 3a1＋3d＝－15.
又 a1＝－7，所以 d＝2.
所以{an}的通项公式为 an＝2n－9.
n(a1＋an)
(2)由(1)得 Sn＝ ＝n2－8n＝(n－4)2－16， 2
所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16.
12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列，其前 3 项的和为－3，前 3 项
的积为 8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，d>0，
∵等差数列{an}的前 3 项的和为－3，前 3 项的积为 8，
3a1＋3d＝－3，
∴
a1(a1＋d)(a1＋2d)＝8，
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a1＝2，
a1＝－4，
∴ 或
d＝－3 d＝3.
∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.
(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，
n(－4＋3n－7) n(3n－11)
∴Sn＝ ＝ . 2 2
B 级
1．设 an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是( )
A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列
C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列
解析：选 D 对于 A，因为 a ＝(n＋1)2n ，
所以 an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，
设 cn＝2n＋3，
所以 cn＋1－cn＝2.
所以{an＋1－an}是等差数列，故 A 正确；
对于 B，因为 b ＝n2n －n(n∈N*)，所以 bn＋1－bn＝2n，
设 cn＝2n，所以 cn＋1－cn＝2，
所以{bn＋1－bn}是等差数列，故 B 正确；
对于 C，因为 an＝(n＋1)2，b 2n＝n －n(n∈N*)，
所以 a 2 2n－bn＝(n＋1) －(n －n)＝3n＋1，
设 cn＝3n＋1，所以 cn＋1－cn＝3，
所以{an－bn}是等差数列，故 C 正确；
对于 D，an＋b 2n＝2n ＋n＋1，设 cn＝an＋bn，cn＋1－cn 不是常数，故 D 错误．
2．(2019·武汉调研)设等差数列{an}满足 a3＋a7＝36，a4a6＝275，且 anan＋1 有最小值，
则这个最小值为________．
解析：设等差数列{an}的公差为 d，∵a3＋a7＝36，
∴a4＋a6＝36，又 a4a6＝275，
a4＝11， a4＝25，
联立，解得 或
a6＝25 a6＝11，
a4＝11， a1＝－10，
当 时，可得 此时 an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当 n≤2
a6＝25 d＝7，
时，an<0，当 n≥3 时，an>0，
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∴a2a3＝－12 为 anan＋1 的最小值；
a4＝25， a1＝46，
当 时，可得 此时 an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当 n≤7 a6＝11 d＝－7，
时，an>0，当 n≥8 时，an<0，
∴a7a8＝－12 为 anan＋1 的最小值．
综上，anan＋1的最小值为－12.
答案：－12
3．(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{an}是等差数列，且 a1，a2(a1x2－6x＋5＝0 的两个实根．
(1)求数列{an}的前 n 项和 Sn；
Sn 1
(2)在(1)中，设 bn＝ ，求证：当 c＝－ 时，数列{bn}是等差数列．
n＋c 2
解：(1)∵a1，a2(a1∴a1＝1，a2＝5，
∴等差数列{an}的公差为 4，
n(n－1)
∴Sn＝n×1＋ ×4＝2n2－n. 2
1 S 2n 2n －n
(2)证明：当 c＝－ 时，bn＝ ＝ ＝2n， 2 n＋c 1
n－
2
∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.
∴数列{bn}是以 2 为首项，2 为公差的等差数列．
第三节 等比数列及其前 n 项和
一、基础知识
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，
那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的
an＋1
表达式为 ＝q.
an
(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与
b 的等比中项 a，G，b 成等比数列 G2＝ab.
只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个.
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