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第五节 数列的综合应用
考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用
[典例] (1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数
①
列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸 ，头圈一尺
② ③ ④
三 .逐节多三分 ，逐圈少分三 .一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注
释：①第一节的高度为 0.5 尺；②第一圈的周长为 1.3 尺；③每节比其下面的一节多 0.03 尺；
④每圈周长比其下面的一圈少 0.013 尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )
A．72.705 尺 B．61.395 尺
C．61.905 尺 D．73.995 尺
(2)(2018·北京东城区模拟)为了观看 2022 年的冬奥会，小明打算从 2018 年起，每年的 1
月 1 日到银行存入 a 元的一年期定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存
款本息均自动转为新一年的定期.2019 年 1 月 1 日小明去银行继续存款 a 元后，他的账户中
一共有________元；到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则
可取回________元．
[解析] (1)因为每相邻两节竹节间的长度差为 0.03 尺，设从地面往上每节竹长分别为
a1，a2，a3，…，a30，所以数列{an}是以 a1＝0.5 为首项，以 d1＝0.03 为公差的等差数列．又
由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细 0.013 尺，设从地面往上每节圈长分别为 b1，b2，
b3，…，b30，则数列{bn}是以 b1＝1.3 为首项，以 d＝－0.013 为公差的等差数列．所以一蚂
30×29
蚁 往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为 S30＝ 30× ＋ ×

0.5 0.03 ＋
2
30×29
30×1.3＋ ×(－0.013) ＝61.395.故选 B.
2
(2)依题意，2019 年 1 月 1 日存款 a 元后，账户中一共有 a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)．
2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
(1＋p)[1－(1＋p)4]
＝a·
1－(1＋p)
a
＝ [(1＋p)5－(1＋p)]
p
a
＝ [(1＋p)5－1－p]．
p
a
[答案] (1)B (2)ap＋2a [(1＋p)5－1－p]
p
[解题技法]
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[题组训练]
1．(2019·贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如
下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、
乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、
丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这
个问题中，丙所得为( )
7 5
A. 钱 B. 钱
6 6
2
C. 钱 D．1 钱
3
解析：选 D 因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为 a－
2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则 a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得 a＝1，即丙所得
为 1 钱，故选 D.
2．(2018·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：
今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半
牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗
主人要求赔偿 5 斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的
马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的
主人各应偿还粟 a 升，b 升，c 升，1 斗为 10 升，则下列判断正确的是( )
50
A．a，b，c 成公比为 2 的等比数列，且 a＝
7
50
B．a，b，c 成公比为 2 的等比数列，且 c＝
7
1 50
C．a，b，c 成公比为 的等比数列，且 a＝
2 7
1 50
D．a，b，c 成公比为 的等比数列，且 c＝
2 7
1 1 1
解析：选 D 由题意可得，a，b，c 成公比为 的等比数列，b＝ a，c＝ b，故 4c＋2c
2 2 2
50
＋c＝50，解得 c＝ .故选 D.
7
3．(2019·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为
200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养 5 年后，鱼的质量预计为原来的 t 倍．下
列选项中，与 t 值最接近的是( )
A．11 B．13
C．15 D．17
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解析：选 B 设鱼原来的质量为 a，饲养 n 年后鱼的质量为 an，q＝200%＝2，则 a1＝
q q 1 1 1
a(1＋q)，a ＝a 1＋ 2 1 1＋ 2 ＝a(1＋q) 2 ，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×
1＋ 1＋ 1＋
2 × 22 × 23
405
＝ a≈12.7a，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，故选 B.
32
考点二 等差数列与等比数列的综合计算
[典例] (2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 ea1＋ea2＋…＋ean.
[解] (1)设{an}的公差为 d.
因为 a2＋a3＝5ln 2，所以 2a1＋3d＝5ln 2.
又 a1＝ln 2 ，所以 d＝ln 2.所以 an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
ean
(2)因为 ea1＝eln 2＝2， a ＝ean－an－1＝eln 2－ ＝2， e n 1
所以数列{ean}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
2×(1－2n) ＋
所以 ea1＋ea2＋…＋ean＝ ＝2n 1－2.
1－2
[解题技法] 等差数列与等比数列综合计算的策略
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、
前 n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求
解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列
{aan}(a>0 且 a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列 {logaan}(a>0 且 a≠1)为等差数列．
[题组训练]
1．已知等差数列{an}的公差为 5，前 n 项和为 Sn，且 a1，a2，a5成等比数列，则 S6＝( )
A．95 B．90
C．85 D．80
解析：选 B 由 a1，a2，a5 成等比数列，得 a22＝a1·a5.又等差数列{an}的公差为 5，所以
6×5
(a ＋5)2
5 5
1 ＝a1(a1＋4×5)，解得 a1＝ .所以 S6＝6× ＋ ×5＝90.故选 B. 2 2 2
2．已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前 n 项和为 Sn，且 a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3
1
成等比数列，则数列 的前 10 项和为________．
anan＋1
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解析：设等差数列{an}的公差为 d，
因为 a1＋a5＋2＝0，所以 2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d.
因为 2S1,3S2,8S3 成等比数列，所以 16S 21S3＝9S2，
即 16(－1－2d)(－3－3d)＝9(－2－3d)2.
因为 d 为整数，所以解得 d＝－2，则 a1＝3，
所以 an＝3－2(n－1)＝5－2n.
1 1 1 1 1
则 ＝ ＝ － ，
anan＋1 (5－2n)(3－2n) 2 2n－5 2n－3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以数列 a a 的前 10 项和为 ×
－
－3 －1 ＋ ×
－
－1 1 ＋…＋ × － 15 17 ＝ n n＋1 2 2 2
1 1 1 10× － ＝－ .
2 －3 17 51
10
答案：－
51
3．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，
a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
(1)若 a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；
(2)若 T3＝13，求 Sn.
解：(1)设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，
－
则 an＝－1＋(n－1)d，b ＝qn 1n .
由 a2＋b2＝3，得 d＋q＝4，①
由 a3＋b3＝7，得 2d＋q2＝8，②
联立①②，解得 q＝2 或 q＝0(舍去)，
－
因此{bn}的通项公式为 bn＝2n 1.
(2)∵T3＝b1(1＋q＋q2)，
∴1＋q＋q2＝13，解得 q＝3 或 q＝－4，
由 a2＋b2＝3 得 d＝4－q，∴d＝1 或 d＝8.
1
由 Sn＝na1＋ n(n－1)d， 2
1 3
得 S 2n＝ n － n 或 S ＝4n2－5n. 2 2 n
考点三 数列与函数、不等式的综合问题
1 1 1
[典例] 设函数 f(x)＝ ＋ ，正项数列{a }满足 a ＝1，a ＝f ，n∈N*n 1 n a ，且 n≥2. 2 x n－1
(1)求数列{an}的通项公式；
1 1 1 1
(2)求证： ＋ ＋ ＋…＋ <2.
a1a2 a2a3 a3a4 anan＋1
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1
[解] (1)因为 an＝f ， an－1
1
所以 an＝ ＋a *2 n－1，n∈N ，且 n≥2，
1
所以数列{an}是以 1 为首项， 为公差的等差数列， 2
1 n＋1
所以 an＝a1＋(n－1)d＝1＋ (n－1)＝ . 2 2
1 4 1 1
(2)证明：由(1)可知 ＝ ＝ － 4 ，
anan＋1 (n＋1)(n＋2) n＋1 n＋2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 4 － ＋ － ＋ － －
a1a2 a2a3 a3a4 anan＋1 2 3 3 4 4 5
…＋
n＋1 n＋2
＝

1 1 4
4 － 2 n＋2 ＝2－ <2. n＋2
[解题技法]
1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项
和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要
注意这一特殊性．
2．数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比
较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化
为研究最值问题来解决．
[题组训练]
1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数 y＝3×2x的图象上，等
比数列{bn}满足 bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1
C．Tn>an D．Tn解析：选 D 因为点(n，S xn＋3)在函数 y＝3×2 的图象上，
所以 Sn＋3＝3×2n，即 S ＝3×2nn －3.
－ －
当 n≥2 时，a n n 1n＝Sn－Sn－1＝3×2 －3－(3×2 －3)＝3×2n 1，
又当 n＝1 时，a1＝S1＝3，
－
所以 an＝3×2n 1.
－ － －
设 bn＝b n 1 n 1 n n 11q ，则 b1q ＋b1q ＝3×2 ，
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可得 b1＝1，q＝2，
－
所以数列{bn}的通项公式为 b n 1n＝2 .
由等比数列前 n 项和公式可得 T nn＝2 －1.
结合选项可知，只有 D 正确．
2．(2019·昆明适应性检测)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＝4n，若不等式 Sn＋8≥λn
对任意的 n∈N*都成立，则实数 λ的取值范围为________．
解析：因为 an＝4n，所以 Sn＝2n2＋2n，不等式 Sn＋8≥λn 对任意的 n∈N*恒成立，即
2n2＋2n＋8 2n2＋2n＋8 8
λ≤ ，又 ＝2n＋ ＋2≥10(当且仅当 n＝2 时取等号)，所以实数 λ 的取
n n n
值范围为(－∞，10]．
答案：(－∞，10]
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·昆明高三摸底调研测试)已知等差数列{an}的公差为 2，且 a4 是 a2 与 a8 的等比
中项，则 an＝( )
A．－2n B．2n
C．2n－1 D．2n＋1
解析：选 B 由题意得等差数列{an}的公差 d＝2，所以 an＝a1＋2(n－1)，因为 a4是 a2
与 a 的等比中项，所以 a2＝a a ，即(a ＋6)28 4 2 8 1 ＝(a1＋2)(a1＋14)，解得 a1＝2，所以 an＝2n，
故选 B.
2．设 y＝f(x)是一次函数，若 f(0)＝1，且 f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则 f(2)＋f(4)＋…
＋f(2n)等于( )
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
解析：选 A 由题意可设 f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得 k＝2，
f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．
3．已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1，a3，a4 成等比数列，Sn 为{an}的前 n 项和，
S3－S2
则 的值为( )
S5－S3
A．2 B．3
1
C. D．4
5
解析：选 A 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0)．∵a1，a3，a4成等比数列，∴a1a4＝a23，
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S3－S2 a3 a1＋2d
即 a 21(a1＋3d)＝(a1＋2d) ，解得 a1＝－4d.∴ ＝ ＝ ＝2.故选 A.
S5－S3 a5＋a4 2a1＋7d
4．(2018·郑州一中入学测试)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三
百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请
公仔细算相还．”其意思为有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天
走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了( )
A．96 里 B．48 里
C．192 里 D．24 里
1
解析：选 A 依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为 的等比数列，
2
1a 1－ 6 1 2 1
记为{an}，其前 6 项和等于 378，于是有 ＝378，解得 a1＝192，因此 a2＝ a1 2 1＝96，
1－
2
即该人第二天走了 96 里，选 A.
n
5．定义： (n∈N*)为 n 个正数 P
＋ ＋…＋ 1
，P2，…，Pn 的“均倒数”．若数列{an}
P1 P2 Pn
1
的前 n 项的“均倒数”为 ，则数列{an}的通项公式为( )
2n－1
A．an＝2n－1 B．an＝4n－1
C．an＝4n－3 D．an＝4n－5
n 1 a1＋a2＋…＋an
解析：选 C ∵ ＝ ，∴ ＝2n－1，∴a1＋a2＋…＋a
a1＋a2＋…＋
n
an 2n－1 n
＝(2n－1)n，a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，∴当 n≥2 时，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n
－1)＝4n－3，又 a1＝1，∴an＝4n－3.
6．(2019·河南六市联考)若正项递增等比数列{an}满足 1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，
则 a6＋λa7 的最小值为( )
A．－2 B．－4
C．2 D．4
解析：选 D 设等比数列{an}的公比为 q，q≠0，因为数列{an}为正项递增等比数列，
所以 a4－a2>0 且 q>1.
1
因为 1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0，所以 1＋λq＝ ，
a4－a2
a q4 q46 －1＋1 1
所以 a ＋λa ＝a (1＋λq)＝ ＝ ＝ ＝q2＋1＋ ＝q2
1
6 7 6
a 2 2 2
－1＋ 2 ＋
4－a2 q －1 q －1 q －1 q －1
2 1 2 1 2≥2 (q －1)·
q2
＋2＝4 当且仅当q －1＝ 2 时，即q＝ 2时，取等号
－1 q －1
，即 a
6
＋λa7
的最小值为 4，故选 D.
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7．某公司去年产值为 a，计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10%，则从今年起到
第 5 年，这个厂的总产值为________．
解析：每年的产值构成以 a(1＋10%)＝1.1a 为首项，1.1 为公比的等比数列，所以从今
1.1a(1－1.15)
年起到第 5 年的总产值 S5＝ ＝11(1.15－1)a.
1－1.1
答案：11(1.15－1)a
8．已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列，a2＋a5＝4，则 a8＝________.
2(1－q9) 1－q3 1－q6
解析：因为 S3，S9，S6 成等差数列，所以公比 q≠1， ＝ ＋ ，整理得
1－q 1－q 1－q
1
2q6＝1＋q3
1 1
，所以 q3＝－ ，故 a · 2 1－ 2 ＝4，解得 a2＝8，故 a8＝8× ＝2. 2 4
答案：2
9．已知等差数列{an}满足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数 f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，则
数列{bn}的前 n 项和为________．
解析：∵等差数列{an}满足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，∴3an＝3n，即 an＝n.又∵函数
f(x)＝2x，∴f(an)＝2n，∴b1＋b2＋…＋bn＝log4[f(a1)·f(a 2 n2)·…·f(an)]＝log4(2×2 ×…×2 )＝
1＋2＋…＋ 1 n(n＋1)log n42 ＝ ×(1＋2＋…＋n)＝ . 2 4
n(n＋1)
答案：
4
10．(2018·沈阳质检)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则 an＝
________.
an＋1－an
解析：法一：因为 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以 ＝2(n≥2)，所以 an＋1－a－ n
＝(a2
an an－1
－ － － －
－a1)2n 1＝2n 1(n≥2)，又 a n 22－a1＝1，所以 an－an－1＝2 ，an－1－an－2＝2n 3，…，a2－a1
－
＝1，累加，得 a ＝2n 1n (n∈N*)．
法二：因为 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以 an＋1－2an＝an－2an－1，得 an＋1－2an＝an－2an
－1＝an－1－2an－2＝…＝a2－2a1＝0，即 an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以 1 为首项，2 为公
－
比的等比数列，所以 a n 1 *n＝2 (n∈N )．
－
答案：2n 1
3
11．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比为 . 2
65
(1)若 S4＝ ，求 a . 24 1
1
(2)若 a1＝2，cn＝ an＋nb，且 c2 2，c4，c5成等差数列，求 b.
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3 65
解：(1)∵公比 q＝ ，S ＝ ，
2 4 24
3a 1－ 4 1 2 65
∴ ＝ ，
3 24
1－
2
∴
81
1－
65 1
16 a1＝－ ，解得 a1＝ . 48 3
3 27 81
(2)∵a1＝2，公比为 ，∴a ＝3，a ＝ ，a ＝ . 2 2 4 4 5 8
1
又∵cn＝ an＋nb， 2
1 3 1 27 1 81
∴c2＝ a2＋2b＝ ＋2b，c4＝ a4＋4b＝ ＋4b，c5＝ a5＋5b＝ ＋5b. 2 2 2 8 2 16
∵c2，c4，c5成等差数列，
27
∴2 ＋4b
3 81 3
8 ＝ ＋2b＋ ＋5b，解得 b＝－ . 2 16 16
Sn
12．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，点 n， * n ，n∈N 均在函数 y＝x 的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)记数列 a a 的前 n 项和为 Tn，若对任意的 n∈N
*，不等式 4Tn n n＋1
实数 a 的取值范围．
Sn
解：(1)依题意得 ＝n，即 S 2
n n
＝n .
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
当 n＝1 时，a1＝S1＝1＝2×1－1＝1，
∴an＝2n－1.
1 1 1 1 1
(2)∵ ＝ ＝ － ，
anan＋1 (2n－1)(2n＋1) 2 2n－1 2n＋1
1 1 1 1 1 1 1 1 1∴ Tn＝ 1－ ＋ － ＋…＋ － 1－2 3 3 5 2n－1 2n＋1
＝
2 2n＋1
< ，
2
又 4T ∴2≤a2－a，解得 a≤－1 或 a≥2，
即实数 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
B 级
3
1．若定义在 R 上的函数 y＝f(x)是奇函数且满足 f －x 2 ＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{an}
Sn an
满足 a1＝－1，且 ＝2× ＋1(其中 Sn 为{an}的前 n 项和)，则 f(a )＋f(a )＝( ) n n 5 6
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A．－3 B．－2
C．3 D．2
3 3
解析：选 C 由 f －x 2 ＝f(x)可知函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x＝ .又函数 y＝f(x)4
3 3 3是奇函数，所以有 f －x 2 ＝f(x)＝－f
x－ ，所以 f x－ 2 2 ＝－f(x)，即 f(x－3)＝f(x)，所以
Sn an
函数 y＝f(x)的周期为 3.由 ＝2× ＋1得 Sn＝2an＋n.当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－(2an n n
－1＋n－1)＝2an－2an－1＋1，即 an＝2an－1－1，所以 a2＝－3，a3＝－7，a4＝－15，a5＝－31，
a6＝－63，则 f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)．由函数 y＝f(x)是奇
函数可得 f(0)＝0，由 f(－2)＝－3 可得 f(－2)＝f(1)＝－3，所以 f(a5)＋f(a6)＝3.故选 C.
2．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换 5 000 辆燃油型公交车，每更
换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电
力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 300 辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增
加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆．市政府根据人大代表的建议，要求 5 年
内完成全部更换，则 a 的最小值为________．
3
解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为 128，公比为 1＋50%＝ 的等比数列，
2
混合动力型公交车的数量组成首项为 300，公差为 a 的等差数列，则 5 年后的数量和为
3 3
128× 1－ 5 128× 5 2 × 1－5 4 2 5×4
＋300×5＋ a，所以 ＋300×5＋ a≥5 000，即 10a≥1
3 2 3 2
1－ 1－
2 2
812，解得 a≥181.2，因为 5 年内更换公交车的总和不小于 5 000，所以 a 的最小值为 182.
答案：182
Sn
3．(2018·广州高中综合测试)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列 n 是首项为 1，公差
为 2 的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
a1 a2 an 1
(2)设数列{bn}满足 ＋ ＋…＋ ＝5－(4n＋5) n 2 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. b1 b2 bn
Sn
解：(1)因为数列 n 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
Sn
所以 ＝1＋2(n－1)＝2n－1，
n
所以 S ＝2n2n －n.
当 n＝1 时，a1＝S1＝1；
当 n≥2 时，a 2 2n＝Sn－Sn－1＝(2n －n)－[2(n－1) －(n－1)]＝4n－3.
当 n＝1 时，a1＝1 也符合上式，
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所以数列{an}的通项公式为 an＝4n－3.
a1 1
(2)当 n＝1 时， ＝ ，所以 b1＝2a1＝2. b1 2
a1 a2 an 1
当 n≥2 时，由 ＋ ＋…＋ ＝5－(4n＋5) n，①
b1 b2 bn 2
a1 a2 an－1 1 －
得 ＋ ＋…＋ ＝5－(4n＋1) n 1.②
b1 b2 bn－1 2
an 1
①－②，得 ＝(4n－3) n 2 . bn
4n－3
因为 an＝4n－3，所以 b nn＝ ＝2 (当 n＝1 时也符合)， 1
(4n－3) n 2
＋
bn＋1 2
n 1
所以 ＝
b 2n
＝2，所以数列{bn}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
n
2(1－2n) ＋
所以 Tn＝ ＝2n 1－2.
1－2
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