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第七章 不等式
第一节 不等式的性质
一、基础知识
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0 a＞b.
(2)a－b＝0 a＝b.
(3)a－b＜0 a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c； 同向不等式可
相加，不能相减．
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c；a>b，c>d a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0 ac>bc; c<0 时应变号．
a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥1)；
n n
(6)可开方性：a>b>0 a> b(n∈N，n≥2)．
二、常用结论
1．倒数性质
1 1
(1)a>b，ab>0 < ；
a b
1 1
(2)a<0a b
a b
(3)a>b>0，d>c>0 > .
c d
2．分数性质
若 a>b>0，m>0，则
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b b＋m b b－m
(1)真分数性质： < ； > (b－m>0)；
a a＋m a a－m
a a＋m a a－m
(2)假分数性质： > ； < (b－m>0)．
b b＋m b b－m
考点一 比较两个数（式）的大小
[典例] (1)(2016·北京高考)已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( )
1 1
A. － >0 B．sin x－sin y>0
x y
1 x 1 yC. 2 － 2 <0 D．ln x＋ln y>0
ln 2 ln 3
(2)若 a＝ ，b＝ ，则 a____b(填“＞”或“＜”)．
2 3
1 1 y－x π
[解析] (1)因为 － ＝ ＜0，所以 A 错误；因为当 x＝π，y＝ 时，sin x－sin y＜0，
x y xy 2
1 x 1 x 1 y 1 x 1 y所以 B 错误；因为函数 y＝ 2 在(0，＋∞)上单调递减，所以

2 ＜ 2 ，即 2 － 2 ＜0，
1
所以 C 正确；因为当 x＝1，y＝ 时，ln x＋ln y＜0，所以 D 错误．
2
b 2ln 3
(2)易知 a，b 都是正数， ＝ ＝log 9＞1，所以 b＞a.
a 3ln 2 8
[答案] (1)C (2)＜
[解题技法] 比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差 变形 判断差与 0 的大小 得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商 变形 判断商与 1 的大小 得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
[题组训练]
1．已知 a1，a2∈(0,1)，若 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：选 B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．
∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即 M－N>0.
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∴M ＞N.
S3 S5
2．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，则 与 的大小关系为 a3 a5
________．
S3 S5 S3 S5
解析：当 q＝1 时， ＝3， ＝5，所以 ＜ .
a3 a5 a3 a5
当 q＞0 且 q≠1 时，
S 3 53 S5 a1(1－q ) a1(1－q )
－ ＝ －
a a a 2 43 5 1q (1－q) a1q (1－q)
q2(1－q3)－(1－q5) －q－1
＝
q4
＝ 4 ＜0，
(1－q) q
S3 S5
所以 ＜ .
a3 a5
S3 S5
综上可知 ＜ .
a3 a5
S3 S5
答案： ＜
a3 a5
考点二 不等式的性质及应用
考法(一) 判断不等式是否成立
[典例] (1)对于任意实数 a，b，c，d，有以下四个命题：
①若 ac2>bc2，则 a>b；
②若 a>b，c>d，则 a＋c>b＋d；
③若 a>b，c>d，则 ac>bd；
1 1
④若 a>b，则 > .
a b
其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
(2)(2018·山西陵川一中期中)若 aA．ac>bd B．acb d b d
C. < D. >
a c a c
[解析] (1)①由 ac2>bc2，得 c≠0，则 a>b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③错误，当 0>c>d 时，不等式不成立．
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1 1
④错误，令 a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，但 < .故选 B.
－1 －2
(2)∵a－b>0，－c>－d>0，∴ac>bd，故选 A.
[答案] (1)B (2)A
[解题技法] 判断不等式是否成立的方法
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．
(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函
数的性质进行判断．
考法(二) 求代数式的取值范围
[典例] 已知－1________．
[解析] ∵－1∴－3<－y<－2，
∴－4由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
[答案] (－4,2) (1,18)
[解题技法] 利用不等式的性质求取值范围的方法
由 a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d 求 F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设
F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得 m，n，再利用不等式的性质求得 F(x，y)的
取值范围．
[题组训练]
1．已知 a>b，则下列不等式中恒成立的是( )
1 1
A．ln a>ln b B. <
a b
C．a2>ab D．a2＋b2>2ab
解析：选 D 只有在 a>b>0 时，A 才有意义，A 错；B 选项需要 a，b 同正或同负，B
错；C 只有 a>0 时正确；因为 a≠b，所以 D 正确．
2．设 a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A (a－b)·a2＜0，则必有 a－b＜0，即 a＜b；而 a＜b 时，不能推出(a－b)·a2
＜0，如 a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．
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a
3．若 62
A．[9,18] B．(15,30)
C．[9,30] D．(9,30)
a 3a 3a
解析：选 D ∵ ≤b≤2a，∴ ≤a＋b≤3a，即 ≤c≤3a.∵62 2 2
D.
[课时跟踪检测]
1．设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
解析：选 B 由题意得，A2－B2＝2 ab≥0，且 A≥0，B≥0，可得 A≥B.
1 1
2．已知 a，b∈R，若 a>b， < 同时成立，则( )
a b
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
1 1 1 1 b－a
解析：选 A 因为 < ，所以 － ＝ <0，又 a>b，所以 b－a<0，所以 ab>0.
a b a b ab
3．设 a0，则下列不等式中不成立的是( )
c c c c
A. > B. >
a b a－b a
－a －b
C．|a|c>－bc D. >
c c
1 1 c c
解析：选 B 由题设得 aa－b a a－b a
4．若 m＜0，n＞0 且 m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：选 D 法一：(取特殊值法)令 m＝－3，n＝2 分别代入各选项检验，可知 D 正确．
法二：m＋n＜0 m＜－n n＜－m，又由于 m＜0＜n，
故 m＜－n＜n＜－m 成立．
1 1
5．若 < <0，则下列结论不正确的是( )
a b
A．a2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
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1 1
解析：选 D ∵ < <0，∴ba2，aba b
∵b6．已知 aA．|b|<－a B．ab>0
C．ab<0 D．|a|<|b|
解析：选 A 法一：由于 a成立；当 b>0 时，|b|＝b<|a|＝－a，|b|<－a 成立；当 b<0 时，－b<－a，则|b|<－a 成立．综
上，|b|<－a.
法二：因为 aA.
a，a≤b， b，a≤b，
7．设 a，b∈R，定义运算“ ”和“ ”如下：a b＝ a b＝ b，a>b， a，a>b.
若 m n≥2，p q≤2，则( )
A．mn≥4 且 p＋q≤4 B．m＋n≥4 且 pq≤4
C．mn≤4 且 p＋q≥4 D．m＋n≤4 且 pq≤4
m≥2， n≥2，
解析：选 A 结合定义及 m n≥2 可得 或 即 n≥m≥2 或 m>n≥2，所 m≤n m>n，
p≤2， q≤2，
以 mn≥4；结合定义及 p q≤2 可得 或 即 qq p≤q，
q≤4.
8．已知 x>y>z，且 x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选 C 因为 x>y>z，所以 3x>x＋y＋z＝0,3z0，z<0.由 x>0，
y>z，得 xy>xz.由 x>y，z<0，得 xz选 C.
1 1
9．a，b∈R，a＜b 和 ＜ 同时成立的条件是________．
a b
1 1 1 1 1 1
解析：若 ab＜0，由 a＜b 两边同除以 ab 得， ＞ ，即 ＜ ；若 ab＞0，则 ＞ .
b a a b a b
1 1
所以 a＜b 和 ＜ 同时成立的条件是 a＜0＜b.
a b
答案：a＜0＜b
10．若 1<α<3，－4<β<2，则 α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β |≤0.
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∴－3<α－|β|<3.
答案：(－3,3)
11．(2019·肇庆实验中学月考)下列命题中所有真命题的序号是________．
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
解析：对于命题①，取 a＝1，b＝－2，则 a>b，a2＝1，b2＝4，则“a>b”不是“a2>b2”的
充分条件，命题①错误；对于命题②，由 a2>b2，可得|a|2>|b|2，故有|a|>|b|，故“|a|>|b|”是“a2>b2”
的必要条件，命题②正确；对于命题③，在不等式 a>b 两边同时加上 c 得 a＋c>b＋c，另一
方面，在不等式 a＋c>b＋c 两边同时减去 c 得 a>b，故“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件，
命题③正确．故真命题的序号是②③.
答案：②③
a b 1 1
12．已知 a＋b＞0，则 2＋ 2与 ＋ 的大小关系是______． b a a b
a b 1 1 a－b b－a 1 1 (a＋b)(a－b)
2
解析：
b2
＋ － ＋ ＝
a2 a b b2 ＋ 2 ＝(a－b)·a b2
－
a2 ＝ 2 2 . a b
(a＋b)(a－b)2
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴ ≥0.
a2b2
a b 1 1
∴ 2＋ ≥ ＋ . b a2 a b
a b 1 1
答案： 2＋ 2≥ ＋ b a a b
e e
13．若 a>b>0，c .
(a－c)2 (b－d)2
证明：∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
1 1
∴0< < .
(a－c)2 (b－d)2
e e
又∵e<0，∴ > .
(a－c)2 (b－d)2
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