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第二节 一元二次不等式及其解法
一、基础知识
1．一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2
＋bx＋c<0(a>0).
在不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)中，
如果二次项系数 a<0，可根据不
等式的性质，将其转化为正数.
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2
有两相等实根 x ＝x
＋ 1 2有两相异实根 x1，
b 没有实数根
bx＋c＝0(a>0)的根 x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的
{x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R }
解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的
{x|x1解集
二、常用结论
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R 恒成立 a>0 且 Δ<0；
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(2)不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R 恒成立 a<0 且 Δ<0；
(3)若 a 可以为 0，需要分类讨论，一般优先考虑 a＝0 的情形．
2．简单分式不等式
f(x) f(x)g(x)≥0，
(1) ≥0
g(x) g(x)≠0；
f(x)
(2) >0 f(x)g(x)>0.
g(x)
考点一 一元二次不等式的解法
考法(一) 不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4；
[解] (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，
4
即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤ ，
3
4
所以原不等式的解集为 x －2≤x≤
3 .
x
2－x－2＞0， 2 x －x－2＞0，
(2)原不等式等价于 x2－x－2≤4 x2 －x－6≤0
(x－2)(x＋1)＞0， x＞2或x＜－1，

(x－3)(x＋2)≤0 －2≤x≤3.
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}.
考法(二) 含参数的一元二次不等式
[典例] 解不等式 ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
[解] 原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
1
因为 a＞0，所以 a x－ a (x－1)＜0.
1 1
所以当 a＞1，即 <1 时，解为 ＜x＜1；
a a
当 a＝1 时，解集为 ；
1 1
当 0＜a＜1，即 >1 时，解为 1＜x＜ .
a a
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1
综上，当 0＜a＜1 时，不等式的解集为 x 1＜x＜ a ；
当 a＝1 时，不等式的解集为 ；
1
当 a＞1 时，不等式的解集为 x ＜x＜1 .
a
[题组训练]
1．不等式(x＋5)(3－2x)≥6 的解集是( )
9 9
A. x x≤－1或x≥
2 B. x －1≤x≤ 2
9 9 C. x x≤－ 或x≥1 2 D. x － ≤x≤1 2
解析：选 D 不等式(x＋5)(3－2x)≥6 可化为 2x2＋7x－9≤0，所以(2x＋9)(x－1)≤0，
9 9
解得－ ≤x≤1.所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6 的解集是 x － ≤x≤1 .故选 D.
2 2
1 1
2．已知不等式 ax2－bx－1≥0 的解集是 － ，－ ，则不等式 x2 2 3 －bx－a＜0 的解集是
( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
1 1C. ，
1
－∞，
1
，＋∞
3 2 D. 3 ∪ 2
1 1
解析：选 A 由题意知－ ，－ 是方程 ax2－bx－1＝0 的两根，
2 3
1 1
－ ＋ －
b
2 3 ＝ ，a
所以由根与系数的关系得
1 1－ × －
1
＝－ . 2 3 a
a＝－6，
解得
b＝5，
不等式 x2－bx－a＜0 即为 x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
3．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
a a
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－ ，x2＝ . 4 3
a a
当 a>0 时，不等式的解集为 －∞，－ ，＋∞ 4 ∪ 3 ；
当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
a a
当 a<0 时，不等式的解集为 －∞， ∪ － ，＋∞ 3 4 .
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考点二 一元二次不等式恒成立问题
考法(一) 在 R 上的恒成立问题
[典例] 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围
是
( )
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
[解析] 当 a－2＝0，即 a＝2 时，不等式为－4<0，对一切 x∈R 恒成立．
a－2<0，
当 a≠2 时，则
Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0，
a－2<0，
即 解得－2∴实数 a 的取值范围是(－2,2]．
[答案] C
[解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件
a>0，
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
b2 －4ac<0.
a<0，
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
b2 －4ac<0.
考法(二) 在给定区间上的恒成立问题
[典例] 若对任意的 x∈[－1,2]，都有 x2－2x＋a≤0(a 为常数)，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
2
f(－1)＝(－1) －2×(－1)＋a≤0，
[解析] 法一：令 f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得 解
f(2)＝22－2×2＋a≤0，
得 a≤－3，故选 A.
法二：当 x∈[－1,2]时，不等式 x2－2x＋a≤0 恒成立等价于 a≤－x2＋2x 恒成立，则由
题意，得 a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当 x＝－1 时，(－x2
＋2x)min＝－3，所以 a≤－3，故选 A.
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[答案] A
[解题技法]
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若 f(x)>0 在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式 f(x)>0 的解集的子集，可以先求解
集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即
已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则 f(x)≥a 恒成立 f(x)min≥a，即 m≥a；f(x)≤a 恒成立
f(x)max≤a，即 n≤a.
考法(三) 给定参数范围求 x 范围的恒成立问题
[典例] 求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a>0(|a|≤1)恒成立的 x 的取值范围．
[解] 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以
(1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，舍去．
f(－1)>0， x
2－7x＋12>0，
(2)若 x≠3，则由一次函数的单调性，可得 即
f(1)>0， x2 －5x＋6>0，
解得 x<2 或 x>4，
综上可知，使原不等式恒成立的 x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．
[解题技法]
给定参数范围求 x 范围的恒成立问题的解法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选
谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，
根据原变量的取值范围列式求解．
[题组训练]
1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于 x 的不等式 x2－4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立，则
实数 m 的取值范围为( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．[－3,0) D．[－4，＋∞)
解析：选 A x2－4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立，令 f(x)＝x2－4x，∵f(x)图象的对称轴为
直线 x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当 x＝1 时，f(x)取到最小值，为－3，∴实数 m 的取
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值范围是(－∞，－3]，故选 A.
2．若不等式 x2＋mx－1<0 对于任意 x∈[m，m＋1]都成立，则实数 m 的取值范围是
________．
解析：由题意，得函数 f(x)＝x2＋mx－1 在[m，m＋1]上的最大值小于 0，又抛物线 f(x)
＝x2＋mx－1 开口向上，
2 2
f(m)＝m ＋m －1<0，
所以只需
f(m＋1)＝(m＋1)2＋m(m＋1)－1<0，
2m2 －1<0，
即 2解得－ 2
答案： － ，0
2
3．不等式(a－3)x2＜(4a－2)x 对 a∈(0,1)恒成立，则 x 的取值范围是________．
解析：由题意知(a－3)x2＜(4a－2)x 对 a∈(0,1)恒成立等价于(x2－4x)a－3x2＋2x＜0 对 a
∈(0,1)恒成立．令 g(a)＝(x2－4x)a－3x2＋2x，当 x＝0 时，g(a)＝0，不满足题意．当 x≠0
g(0)＝－3x
2＋2x≤0， 2
时，则 得 x≤－1 或 x≥ .
g(1)＝(x2－4x)－3x2＋2x≤0， 3
2
答案：(－∞，－1]∪ ，＋∞ 3
[课时跟踪检测]
1．(2019·石家庄模拟)若集合 A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x||x|≤1}，则 A∩B＝( )
A．[－1,0) B．[－1,2)
C．(0,1] D．[1,2)
解析：选 C 由 x2－2x<0 得 0集合 B＝{x|－1≤x≤1}，所以 A∩B＝{x|03x－1
2．不等式 ≤0 的解集为( )
x－2
1 1 A. x ≤x≤2 B. x x>2或x≤ 3 3
1
C. x ≤x<2 3 D．{x|x<2}
3x－1
解析：选 C 不等式 ≤0 等价于(3x－1)(x－2)≤0，
x－2
1
且 x－2≠0，解得 ≤x<2.故选 C.
3
3．不等式－3<4x－4x2≤0 的解集是( )
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1 3
A. x － 2 2
B．{x|x≤0 或 x≥1}
1 3 C. x － 2 2
1 3 D. x x≤－ 或x≥
2 2
4x(x－1)≥0，
解析：选 A 不等式可化为
4x2 －4x－3<0，
x≤0或x≥1，
解得 1 3 － 1 3
所以－ 2 2
4．(2019·广州模拟)已知不等式 ax2－5x＋b>0 的解集为{x|－35x＋a>0 的解集为( )
1 1
A. x － 2 3
1 1
B. x x>－ 或x<－ 3 2
C．{x|－3D．{x|x<－3 或 x>2}
5
＝－3－2，a
解析：选 A 由题意得 解得 a＝－1，b＝－6，所以不等式 bx2－b ＝－3×(－2)，a
1 1
5x＋a>0 为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)(2x＋1)<0，所以解集为 x － 5．若关于 x 的不等式 x2－ax－a≤－3 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是( )
A．[2，－∞) B．(－∞，－6]
C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
解析：选 D 由关于 x 的不等式 x2－ax－a≤－3 的解集不是空集，得对应方程 x2－ax
－a＋3＝0 有实数根，即 Δ＝a2＋4(a－3)≥0，解得 a≥2 或 a≤－6，所以 a 的取值范围是
(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选 D.
6．某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件，现准备采
用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高 1 元，销售量就要减少 10 件．那么
要保证每天所赚的利润在 320 元以上，销售价每件应定为( )
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A．12 元 B．16 元
C．12 元到 16 元之间 D．10 元到 14 元之间
解析：选 C 设销售价定为每件 x 元，利润为 y，
则 y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即 x2－28x＋192＜0，
解得 12＜x＜16，
所以每件销售价应为 12 元到 16 元之间．
7．存在 x∈[－1,1]，使得 x2＋mx－3m≥0，则 m 的最大值为( )
1
A．1 B.
4
1
C. D．－1
2
解析：选 C 若对于任意 x∈[－1,1]，不等式 x2＋mx－3m<0 恒成立，则由函数 f(x)＝x2
f(－1)＝1－m－3m<0， 1
＋mx－3m 的图象可知 解得 m> .所以若存在 x∈[－1,1]，使得 x2＋ f(1)＝1＋m－3m<0， 2
1 1
mx－3m≥0，则 m≤ ，所以 m 的最大值为 .故选 C.
2 2
8．(2018·北京东城区期末)设不等式 x2－2ax＋a＋2≤0 的解集为 A，若 A [1,3]，则 a
的取值范围为( )
11A. －1，
11
5 B.
1，
5
C.
11
2，
5 D．[－1,3]
解析：选 A 设 f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
因为不等式 x2－2ax＋a＋2≤0 的解集为 A，且 A [1,3]，
所以对于方程 x2－2ax＋a＋2＝0，
若 A＝ ，则 Δ＝4a2－4(a＋2)<0，
即 a2－a－2<0，解得－12 a≥2或a≤－1，Δ＝4a －4(a＋2)≥0，
a≤3，f(1)≥0，
若 A≠ ，则 即f(3)≥0， 11 a≤ ， 5 1≤a≤3， 1≤a≤3，
11
所以 2≤a≤ .
5
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综上，a 的取值范围为
11
－1，
5 ，故选 A.
9．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即 x(x－2)<0 的解集，解得 0集为{x|0答案：{x|02
ax－a <0，
10．若 a<0，则关于 x 的不等式组 的解集为________． x2 －ax－2a2<0
解析：因为 a<0，所以由 ax－a2＝a(x－a)<0，得 x>a，由 x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)<0，
得 2a答案：(a，－a)
11．若关于 x 的不等式 5x2－a≤0 的正整数解是 1,2,3，则实数 a 的取值范围是________．
解析：关于 x 的不等式 5x2－a≤0 的正整数解是 1,2,3，
a
所以 a>0，解不等式得 x2≤ ，
5
a a
所以－ ≤x≤ ，
5 5
a a
所以 3≤ <4，所以 9≤ <16，即 45≤a<80，
5 5
所以实数 a 的取值范围是[45,80)．
答案：[45,80)
12．不等式 a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的 a，b∈R 恒成立，则实数 λ 的取值范围为
________．
解析：因为 a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的 a，b∈R 恒成立，所以 a2＋8b2－λb(a＋b)≥0
恒成立，即 a2－λba＋(8－λ)b2≥0 恒成立，由二次不等式的性质可得 Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝
b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
答案：[－8,4]
13．已知函数 f(x)＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R.
(1)求 a 的取值范围；
2
(2)若函数 f(x)的最小值为 ，解关于 x 的不等式 x2－x－a2－a<0.
2
解：(1)因为函数 f(x)＝ ax2＋2ax＋1的定义域为 R，所以 ax2＋2ax＋1≥0 恒成立，
当 a＝0 时，1≥0 恒成立．
a>0，
当 a≠0 时，则有
Δ＝(2a)2－4a≤0，
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解得 0综上可知，a 的取值范围是[0,1]．
(2)因为 f(x)＝ ax2＋2ax＋1＝ a(x＋1)2＋1－a，
因为 a>0，所以当 x＝－1 时，f(x)min＝ 1－a，
2 1
由题意得， 1－a＝ ，所以 a＝ ，
2 2
3
所以不等式 x2－x－a2－a<0 可化为 x2－x－ <0.
4
1 3
解得－ 2 2
1 3
所以不等式的解集为 － ， 2 2 .
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