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第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、基础知识
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C＞0 直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组 不包括边界直线
成的平面区域
Ax＋By＋C≥0 包括边界直线
直线同侧同号，两侧异号.
不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划相关概念
(1)约束条件：由变量 x，y 组成的一次不等式．
(2)线性约束条件：由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组．
(3)目标函数：欲求最大值或最小值的函数．线性目标函数：关于 x，y 的一次解析式．
(4)可行解：满足线性约束条件的解．可行域：所有可行解组成的集合．
(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
(6)线性规划问题：在线性约束条件下求线
性目标函数的最大值或最小值问题．
二、常用结论
1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)
或(1,0)来验证．
2．最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时
有多个．
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
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x≥1，

[典例] (1)已知约束条件 x＋y－4≤0， 表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k kx－y≤0
的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．－2
2x＋y－6≤0，

(2)不等式组 x＋y－3≥0， 表示的平面区域的面积为________． y≤2
[解析] (1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
要使阴影部分为直角三角形，
1 9
当 k＝0 时，此三角形的面积为 ×3×3＝ ≠1，所以不成立，
2 2
所以 k>0，则必有 BC⊥AB，
因为 x＋y－4＝0 的斜率为－1，
所以直线 kx－y＝0 的斜率为 1，即 k＝1，故选 A.
2x＋y－6≤0，

(2) 不等式组 x＋y－3≥0， 表示的平面区域如图所示(阴影 y≤2
部分)，△ABC 的面积即所求．求出点 A，B，C 的坐标分别为 A(1,2)，
1
B(2,2)，C(3,0)，则△ABC 的面积为 S＝ ×(2－1)×2＝1.
2
[答案] (1)A (2)1
[解题技法]
1．求平面区域面积的方法
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化
为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形
或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再
求和．
2．根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域
确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要
求确定问题的答案．
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[题组训练]
x≤0，

1．若 M 为不等式组 y≥0， 表示的平面区域，则当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直
－ y x≤2
线 x＋y＝a 扫过 M 中的那部分区域的面积为( )
3
A．1 B.
2
3 7
C. D.
4 4
解析：选 D 在直角坐标系中作出区域 M 如图中阴影部分所示，当 a 从－2 连续变化
到1时，动直线 x＋y＝a扫过M中的那部分区域为图中的四边形AODE，所以其面积S＝ S
1 1 1 7
△AOC－S△DEC＝ ×2×2－ ×1× ＝ ，故选 D. 2 2 2 4
x－y≥0，
2x＋y≤2，
2．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则实数 a 的取值范围是
y≥0，
x＋y≤a
( )
4
A. ，＋∞ 3 B．(0,1]
4 4C. 1， 3 D．(0,1]∪
，＋∞
3
x－y≥0，

解析：选 D 不等式组 2x＋y≤2， 表示的平面区域如图中阴影部 y≥0
分所示．
y＝x， 2 2
由 得 A ， ，
2x＋y＝2， 3 3
y＝0，
由 得 B(1,0)．
2x＋y＝2，
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x－y≥0，
2x＋y≤2，
若原不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则直线 x＋y＝a 中 a 的
y≥0，
x＋y≤a
4
取值范围是 03
考点二 求目标函数的最值
考法(一) 求线性目标函数的最值
2x＋y＋3≥0，
1
[典例] (2018·全国卷Ⅲ)若变量 x，y 满足约束条件 x－2y＋4≥0，
－ ≤ ， 则 z＝x＋ y 的最3x 2 0
大值是________．
[解析] 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
1
由 z＝x＋ y 得 y＝－3x＋3z，作出直线 y＝－3x，并平移该直线，当直线 y＝－3x＋3z
3
1 1
过点 A(2,3)时，目标函数 z＝x＋ y 取得最大值，z
3 max
＝2＋ ×3＝3.
3
[答案] 3
考法(二) 求非线性目标函数的最值
x－y＋2≥0，

[典例] (2019·广州高中综合测试)若 x，y 满足约束条件 2y－1≥0，
－ ≤ ， 则 z＝x2＋2xx 1 0
＋y2 的最小值为( )
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1 1
A. B.
2 4
1 3
C．－ D．－
2 4
[解析] 作出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，
目标函数 z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1 的几何意义是平面区域内的
点到定点(－1,0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得，平面区域内
1
的点到定点(－1,0)的距离的最小值为 ，故 z＝x2＋2x＋y2 的最小值为
2
1 3
zmin＝ －1＝－ ，选 D. 4 4
[答案] D
[解题技法] 常见的 2种非线性目标函数及其意义
(1)点到点的距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)
的距离的平方；
y－b
(2)斜率型：形如 z＝ ，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．
x－a
考法(三) 线性规划中的参数问题
x－y＋4≥0，

[典例] (2019·湖北八校联考)已知 x，y 满足约束条件 x≤2， 且 z＝x＋3y 的最
x＋y＋ k≥0，
小值为 2，则常数 k＝________.
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
1 z 1 z
由 z＝x＋3y 得 y＝－ x＋ ，结合图形可知当直线 y＝－ x＋ 过
3 3 3 3
点 A 时，z 最小，
x＝2，
联立方程，得 得 A(2，－2－k)， x＋y＋k＝0，
此时 zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得 k＝－2.
[答案] －2
[解题技法] 求解线性规划中含参问题的基本方法
(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定
最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．
(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优
解的位置，从而求出参数．
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[题组训练]
x＋y－4≤0，

1．若实数 x，y 满足不等式组 2x－3y－8≤0， 目标函数 z＝kx－y 的最大值为 12，最
x≥1，
小值为 0，则实数 k＝( )
A．2 B．1
C．－2 D．3
解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标
函数 z＝kx－y 可化为 y＝kx－z，若 k≤0，则 z 的最小值不可能为 0，若 k＞
0，当直线 y＝kx－z 过点 A(1,3)时，z 取最小值 0，得 k＝3，此时直线 y＝kx
－z 过点 B(4,0)时，z 取得最大值 12，符合题意，故 k＝3.
x－3≤0，
y＋1
2．(2019·石家庄质检)设变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥3， 则 的最大值为
x
y－ 2≤0，
________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，
y＋1
而 表示区域内的动点(x，y)与定点 P(0，－1)连线的斜率的取
x
2－(－1)
值范围，由图可知，当直线过点 A(1，2)时，斜率最大，为
1－0
＝3.
答案：3
考点三 线性规划的实际应用
[典例] (2019·合肥一检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1
千元/件．甲、乙两种产品都需要在 A，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A 设备 2
小时，B 设备 6 小时；生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时，B 设备 1 小时．A，B 两种设备
每月可使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月
利润的最大值为( )
A．320 千元 B．360 千元
C．400 千元 D．440 千元
[解析] 设生产甲产品 x 件，生产乙产品 y 件，利润为 z 千元，则
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2x＋3y≤480，

6x＋y≤960， z＝2x＋y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直 x，y∈N*，
线 2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过直线 2x＋3y＝480 与直线 6x＋y＝960 的交点(150,60)
时，z 取得最大值，为 360.
[答案] B
[题组训练]
1．某玩具生产厂计划每天生产舰艇模型、坦克模型、战斗机模型这三种玩具共 100 个，
生产一个舰艇模型需要 5 分钟，生产一个坦克模型需要 7 分钟，生产一个战斗机模型需要 4
分钟．已知总生产时间不超过 10 小时，若生产一个舰艇模型可获利润 8 元，生产一个坦克
模型可获利润 9 元，生产一个战斗机模型可获利润 6 元．该玩具生产厂合理分配生产任务使
每天的利润最大，则最大利润是________元．
解析：设该玩具生产厂每天生产 x 个舰艇模型，y 个坦克模型，
可获利润为 W，则其每天生产(100－x－y)个战斗机模型，所以由题
5x＋7y＋4(100－x－y)≤600，

意可得，约束条件为 100－x－y≥0， 整理，得 x≥0，y≥0.
x＋3y≤200，

x＋y≤100， 目标函数为 W＝8x＋9y＋6(100－x－y)＝2x＋3y＋600.作出不等式组所表
x≥ 0，y≥0.
示的可行域如图中阴影部分．初始直线 l0：2x＋3y＝0，由图可知，当平移初始直线经过点 A
x＋3y＝200，
x＝50，
时，W 有最大值．联立得方程组 解得
x＋y＝100， y＝50， 则最优解为 A(50,50)，所以
Wmax＝2×50＋3×50＋600＝850.因此每天生产舰艇模型 50 个，坦克模型 50 个，战斗机模
型 0 个时利润最大，为 850 元．
答案：850
2．某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要
木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时．生
产一把椅子的利润为 1 500 元，生产一张桌子的利润为 2 000 元．该厂每个月木工最多完成
8 000 个工作时，漆工最多完成 1 300 个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能
获得的最大利润是________元．
解析：设该厂每个月生产 x 把椅子，y 张桌子，利润为 z 元，
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4x＋8y≤8 000，

则得约束条件 2x＋y≤1 300， z＝1 500x＋2 000y. x，y∈N，
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线 3x＋4y＝0，平移该直
x＋2y＝2 000， x＝200，
线，可知当该直线经过点 P 时，z 取得最大值．由 得 即 P(200， 2x＋y＝1 300 y＝900，
900)，所以 zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为 2 100
000 元．
答案：2 100 000
[课时跟踪检测]
x－y＋1≥0，

1．(2018·陕西部分学校摸底检测)若实数 x，y 满足 x＋y≥0， 则 2x＋y 的最小值 x≤0，
为 ( )
1
A．－ B．0
2
3
C．1 D.
2
解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
1 1
令 z＝2x＋y，作出直线 y＝－2x，平移该直线，当直线经过点 A － ， 2 2
1
时，z＝2x＋y 取得最小值，最小值为－ ，故选 A.
2
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是
( )
x－2y＋1≥0， x－2y＋1≤0，
解析：选 C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 或 结合图形 x＋y－3≤0 x＋y－3≥0.
可知选 C.
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x＋y－4≤0，

3．(2019·郑州模拟)已知直线 y＝k(x＋1)与不等式组 3x－y≥0， 表示的平面区域有
x>0，y>0
公共点，则 k 的取值范围为( )
3
A．[0，＋∞) B. 0， 2
3 3C. 0， ，＋∞ 2 D. 2
解析：选 C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包
x＋y－4＝0，
括直线 y＝0)，直线 y＝k(x＋1)过定点(－1,0)，由 解得
3x－y＝0，
x＝1，
3 3过点(－1,0)与(1,3)的直线的斜率是 ，根据题意可知 0故选 C.
x－y＋2≤0，
y
4．(2018·安阳名校期末联考)已知变量 x，y 满足约束条件 x≥1， 则 的取值
x
x＋y－7≤ ， 0
范围是( )
A.
9 9
，6 B. －∞， 5 5
C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]
解析：选 A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
5 9 y
易知可行域的三个顶点的坐标分别为 A(1,3)，B(1,6)，C ， 2 2 ，x
表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，观察图象可知，当(x，y)
y 5 9 y
＝(1,6)时， 取得最大值，最大值为 6，当(x，y)＝ ，
x 2 2 时， 取得最x
9 y 9
小值，最小值为 ，故 的取值范围是 ，6 ，故选 A.
5 x 5
x＋2y≥0，

5．(2019·湘东五校联考)已知实数 x，y 满足 x－y≤0， 且 z＝x＋y 的最大值为 6，则 0≤y≤k，
(x＋5)2＋y2的最小值为( )
A．5 B．3
C. 5 D. 3
解析：选 A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分
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所示，由 z＝x＋y，得 y＝－x＋z，平移直线 y＝－x，由图形可知当直线 y＝－x＋z 经过点 A
x＋y＝6，
时，直线 y＝－x＋z 的纵截距最大，此时 z 最大，最大值为 6，即 x＋y＝6.由
x－y＝0 得
A(3,3)，∵直线 y＝k 过点 A，∴k＝3.又(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点与 B(－5,0)的
距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线 x＋2y＝0 的距离最小，可得(x＋5)2＋y2 的最小
|－5＋2×0|
值为 22 2 ＝5.故选 A. 1 ＋2
y≥x，

6．已知 z＝2x＋y，其中实数 x，y 满足 x＋y≤2， 且 z 的最大值是最小值的 2 倍，则 x≥a，
a 的值是( )
2 1
A. B.
11 4
1
C．4 D.
2
解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
x＝a，
联立方程组 解得 A(a，a)．
y＝x，
y＝x，
联立方程组 解得 B(1,1)． x＋y＝2，
化目标函数 z＝2x＋y 为 y＝－2x＋z.
由图可知，当直线 y＝－2x＋z 过点 B 时，z 取得最大值，此时 zmax＝2×1＋1＝3；
当直线 y＝－2x＋z 过点 A 时，z 取得最小值，此时 zmin＝2a＋a＝3a.
1
由 6a＝3，得 a＝ .
2
x＋y≤0，

7．(2019·西安模拟)若 x，y 满足约束条件 x－y≤0，
2＋ 2≤ ，
y－2
则 z＝ 的最小值为( )
x＋3
x y 4
2
A．－2 B．－
3
12 2－4
C．－ D.
5 7
解析：选 C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所
y－2
示，因为目标函数 z＝ 表示区域内的点与点 P(－3,2)连线的斜
x＋3
率．由图知当区域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线
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|3k＋2| 12
方程为 y－2＝k(x＋3)，即 kx－y＋3k＋2＝0，则有 ＝2，解得 k＝－ 或 k＝0(舍去)，
k2＋1 5
12
所以 zmin＝－ ，故选 C. 5
x＋y－2≤0，

8．(2019·重庆六校联考)已知 x，y 满足约束条件 x－2y－2≤0， 若 z＝y－ax 取得最 2x－y＋2≥0，
大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( )
1 1
A. 或－1 B．2 或
2 2
C．2 或 1 D．2 或－1
解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分
所示．令 z＝0，画出直线 y＝ax.a＝0 显然不满足题意．当 a<0 时，
要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则需使直线 y＝ax 与
x＋y－2＝0 平行，此时 a＝－1；当 a>0 时，要使 z＝y－ax 取得最
大值的最优解不唯一，则需使直线 y＝ax 与 2x－y＋2＝0 平行，此
时 a＝2.综上，a＝－1 或 2.
x－y＋5≥0，

9．不等式组 y≥2， 所表示的平面区域的面积为________． 0≤x≤2
解析：如图，平面区域为直角梯形，易得 A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，
1
D(0，5)，所以 AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域的面积为 S＝ ×(3
2
＋5)×2＝8.
答案：8
10．(2018·北京高考)若 x，y 满足 x＋1≤y≤2x，则 2y－x 的最小值是________．
x＋1≤y， x－y＋1≤0，
解析：由条件得 即 作出不等式组所 y≤2x， 2x－y≥0，
表示的可行域如图中阴影部分所示．
1 1
设 z＝2y－x，即 y＝ x＋ z，
2 2
1
作直线 l0：y＝ x 并向上平移，显然当 l0 过点 A(1,2)时，z 取得最2
小值，zmin＝2×2－1＝3.
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答案：3
11．(2018·南阳模拟)已知 O 是坐标原点，点 A(－1,1)，若点 M(x，y)为平面区域
x＋y≥2，
―→
x≤1， 上的一个动点，则 OA ·的取值范围是________． y＝2
x＋y≥2，

解析：作出不等式组 x≤1， 表示的平面区域如图中阴影 y≤2
―→ ―→
部分所示，因为点 A(－1,1)，点 M(x，y)，所以 OA ·OM＝y－x，令
y－x＝m，平移直线 y－x＝m，由图可知，当直线经过点 D(1,1)时，
m 取得最小值，且最小值为 0，当直线经过点 C(0,2)时，m 取得最大
―→ ―→
值，且最大值为 2，所以 y－x 的取值范围是[0,2]，故 OA ·OM的取值范围是[0,2]．
答案：[0,2]
12．某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需
要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3
kg，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该
企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产
品 B 的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，
1.5x＋0.5y≤150， 3x＋y≤300，

x＋0.3y≤90， 10x＋3y≤900，
由已知可得约束条件为 即 5x＋3y≤600， 5x＋3y≤600， x∈N，y∈N. x∈N，y∈N.
目标函数为 z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
作直线 2 100x＋900y＝0，即 7x＋3y＝0，当直线经过点 M 时，z 取得最大值，
10x＋3y＝900，
联立 解得 M(60,100)． 5x＋3y＝600，
则 zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
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答案：216 000
x－4y＋3≤0，

13．变量 x，y 满足 3x＋5y－25≤0，
x≥1.
(1)设 z1＝4x－3y，求 z1的最大值；
y
(2)设 z2＝ ，求 z2 的最小值； x
(3)设 z3＝x2＋y2，求 z3的取值范围．
22
解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得 A 1， 5 ，B(1,1)，
x－4y＋3＝0，
联立 解得 C(5,2)， 3x＋5y－25＝0，
4 z1 4
(1)z1＝4x－3y y＝ x－ ，易知平移直线 y＝ x 至过点 C 时，3 3 3
z1 最大，且最大值为 4×5－3×2＝14.
y
(2)z2＝ 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线 OC 斜率最小，故 z 的最x 2
2
小值为 .
5
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而 2＝OB2取值范围为[2,29]．
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