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第四节 基本不等式
一、基础知识
a＋b
1．基本不等式 ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
2．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a＞0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：
2
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)．
q2
(2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是 (简记：和定积最大)．
4
二、常用结论
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．
a＋b
(2)ab≤ 2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．
2
a2＋b2
≥
a＋b
(3) 2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．
2 2
b a
(4) ＋ ≥2(a，b∈R，且 a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
a b
考点一 利用基本不等式求最值
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3
[典例] (1)已知 a>2，则 a＋ 的最小值是( )
a－2
A．6 B．2
C．2 3＋2 D．4
3
(2)设 02
1 1
(3)已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，则 ＋ 的最小值为________．
x y
(4)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值为________．
[解析] (1)拼凑法
3 3 3
因为 a>2，所以 a－2>0，所以 a＋ ＝(a－2)＋ ＋2≥2 (a－2)· ＋2＝2 3
a－2 a－2 a－2
3
＋2，当且仅当 a－2＝ ，即 a＝2＋ 3时取等号．故选 C.
a－2
(2)拼凑法
2x＋(3－2x) 9 3
y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤ 2 2＝ ，当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝ 时，等
2 2 4
号成立．
3
∵ ∈
3
0，
4 2 ，
∴函数 y＝4x(3－2x)
3
09
2 的最大值为 . 2
(3)常数代换法
∵x>0，y>0，且 x＋2y＝1，
1 1 x＋2y x＋2y 2y x 2y x
∴ ＋ ＝ ＋ ＝1＋2＋ ＋ ≥3＋2 ·＝3＋2 2.
x y x y x y x y
2y x 2
当且仅当 ＝ 且 x＋2y＝1，即 x＝ 2－1，y＝1－ 时，取得等号．
x y 2
1 1
∴ ＋ 的最小值为 3＋2 2.
x y
(4)拼凑法
因为 x>0，y>0，
x＋2y所以 8＝ ＋ x 2y＋x·2y≤(x＋2y)＋ 2，
2
令 x＋2y＝t，则
t2
8≤t＋ ，即 t2＋4t－32≥0，
4
解得 t≥4 或 t≤－8，
即 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去)，
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当且仅当 x＝2y，即 x＝2，y＝1 时等号成立．
9
[答案] (1)C (2) (3)3＋2 2 (4)4
2
[题组训练]
1
1.(常数代换法)若 a>0，b>0 且 2a＋b＝4，则 的最小值为( )
ab
1
A．2 B.
2
1
C．4 D.
4
解析：选 B 因为 a>0，b>0，故 2a＋b≥2 2ab(当且仅当 2a＝b 时取等号)．
又因为 2a＋b＝4，∴2 2ab≤4 01 1 1 1
∴ ≥ ，故 的最小值为 .故选 B.
ab 2 ab 2
2.(两次基本不等式)设 x>0，y>0，且 x＋4y＝40，则 lg x＋lg y 的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
解析：选 D 因为 x＋4y＝40，且 x>0，y>0，
所以 x＋4y≥2 x·4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝”)
所以 4 xy≤40.所以 xy≤100.
所以 lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.
所以 lg x＋lg y 的最大值为 2.
1 1
3.(拼凑法)设 a＞b＞0，则 a2＋ ＋ 的最小值是( )
ab a(a－b)
A．1 B．2
C．3 D．4
1 1 1 1 1
解析：选 D a2＋ ＋ ＝(a2－ab)＋ 2 ＋ ＋ab≥2 (a
2－ab)· ＋
ab a(a－b) (a －ab) ab (a2－ab)
1 1 1 2
2 ×ab＝4，当且仅当 a2－ab＝ 2 且 ＝ab，即 a＝ 2，b＝ 时取等号，故选 D. ab a －ab ab 2
4.(常数代换法)已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝xy，则 x＋y 的最小值为________．
2 1
解析：由 x>0，y>0，x＋2y＝xy，得 ＋ ＝1，
x y
2 1
所以 x＋y＝(x＋y) ＋ x y
2y x
＝3＋ ＋ ≥3＋2 2.
x y
当且仅当 x＝ 2y 时取等号．
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答案：3＋2 2
考点二 基本不等式的实际应用
[典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成
1
本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)＝ x2＋10x(万元)．当年产量不小于 80 千件时，
3
10 000
C(x)＝51x＋ －1 450(万元)．每件商品售价为 0.05 万元．通过市场分析，该厂生产的
x
商品能全部售完．
(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式．
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解] (1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.05×1 000x 万元，依
题意得：
1 1
当 010 000 10 000
当 x≥80 时，L(x)＝(0.05×1 000x)－ 51x＋ －1 450 x －250＝1 200－
x＋
x .
1
－ x2＋40x－250，0所以 L(x)＝ 10 000
1 200－ x＋ x ，x≥80.
1
(2)当 03
此时，当 x＝60 时，L(x)取得最大值 L(60)＝950 万元．
10 000 10 000
当 x≥80 时，L(x)＝1 200－ x＋ x ≤1 200－2 x· ＝1 200－200＝1 000. x
10 000
此时 x＝ ，
x
即 x＝100 时，L(x)取得最大值 1 000 万元．
由于 950<1 000，
所以当年产量为 100 千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为 1 000
万元．
[解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
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[题组训练]
1．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/
次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是
________．
600 600 900
解析：由题意，一年购买 次，则总运费与总存储费用之和为 ×6＋4x＝4 ＋x
x x x
900
≥8 ·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是
x
30.
答案：30
2．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的泳池，池的深度为 1 米，
池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁建造单价为每米 100 元，池底建造单价
每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低．
200 200 200
解析：设泳池的长为 x 米，则宽为 米，总造价 f(x)＝400× 2x＋2×
x x ＋100× ＋x
225 225 225
60×200＝800× x＋ x ＋12 000≥1 600 x· ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当 x＝x x
(x>0)，即 x＝15 时等号成立．即泳池的长设计为 15 米时，可使总造价最低．
答案：15
[课时跟踪检测]
a＋b
1．(2019·长春调研)“a>0，b>0”是“ab< 2”的( )
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
a＋b a＋b a＋b
解析：选 当 ， 时， ≥ ，即 ≤ 2，当 ＝ 时， D a>0 b>0 ab ab a b ab< 2
2 2 2
a＋b a＋b
不成立，故“ ， ”不是“ a>0 b>0 ab< 2”的充分条件．当 ab< 2 时，a，b 可以异
2 2
a＋b号，故 a>0，b>0 不一定成立，故“a>0，b>0”不是“ab< 2”的必要条件．故“a>0，
2
”是“
a＋b
b>0 ab< 2”的既不充分也不必要条件，故选 D.
2
2．已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝2，则 xy ( )
A．有最大值为 1 B．有最小值为 1
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1 1
C．有最大值为 D．有最小值为
2 2
解析：选 C 因为 x>0，y>0，x＋2y＝2，
1
所以 x＋2y≥2 x·2y，即 2≥2 2xy，xy≤ ，
2
1
当且仅当 x＝2y，即 x＝1，y＝ 时，等号成立．
2
1
所以 xy 有最大值，且最大值为 .
2
1 2
3．若实数 a，b 满足 ＋ ＝ ab，则 ab 的最小值为( )
a b
A. 2 B．2
C．2 2 D．4
1 2
解析：选 C 因为 ＋ ＝ ab，所以 a>0，b>0，
a b
1 2 1 2 2
由 ab＝ ＋ ≥2 ·＝2 ，
a b a b ab
所以 ab≥2 2(当且仅当 b＝2a 时取等号)，
所以 ab 的最小值为 2 2.
1 1
4．已知 a>0，b>0，a，b 的等比中项是 1，且 m＝b＋ ，n＝a＋ ，则 m＋n 的最小值
a b
是
( )
A．3 B．4
C．5 D．6
1 1
解析：选 B 由题意知 ab＝1，∴m＝b＋ ＝2b，n＝a＋ ＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4 ab
a b
＝4，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，故 m＋n 的最小值为 4.
5．(2019·长春质量监测)已知 x>0，y>0，且 4x＋y＝xy，则 x＋y 的最小值为( )
A．8 B．9
C．12 D．16
4 1 4 1 4x y
解析：选 B 由 4x＋y＝xy 得 ＋ ＝1，则 x＋y＝(x＋y)· ＋ y x ＝ ＋ ＋1＋4≥2 4＋5y x y x
4x y
＝9，当且仅当 ＝ ，即 x＝3，y＝6 时取“＝”，故选 B.
y x
6．若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy 的最大值为( )
4 5
A. B.
3 3
第 496页/共1004页
5
C. D．2
4
解析：选 D 30＝4x2＋9y2＋3xy≥2 36x2y2＋3xy，
即 30≥15xy，所以 xy≤2，
2 2 2 3当且仅当 4x ＝9y ，即 x＝ 3，y＝ 时等号成立．
3
故 xy 的最大值为 2.
2 3
7．设 x>0，则函数 y＝x＋ － 的最小值为( )
2x＋1 2
1
A．0 B.
2
3
C．1 D.
2
2 3 1 1 1 1
解析：选 A y＝x＋ － ＝ x＋ ＋ －2≥2 x＋
2x＋1 2 2 1 2
· －2＝0，当且仅当
1
x＋ x＋
2 2
1 1 1
x＋ ＝ ，即 x＝ 时等号成立．所以函数的最小值为 0.故选 A.
2 1 2
x＋
2
1
8．已知 x>1，y>1，且 log2x， ，log2y 成等比数列，则 xy 有( ) 4
A．最小值 2 B．最小值 2
C．最大值 2 D．最大值 2
1 1
解析：选 A ∵x>1，y>1，∴log2x>0，log2y>0.又∵log2x， ，log2y 成等比数列，∴ ＝4 16
1
log2x·log2y，∴由基本不等式，得 log2x＋log2y≥2 log2x·log2y＝ ，当且仅当 log2x＝log y 时2 2
1
取等号，故 log2(xy)≥ ，即 xy≥ 2.选 A. 2
(x－3)(12－x)
9．当 3＜x＜12 时，函数 y＝ 的最大值为________．
x
(x－3)(12－x) －x2＋15x－36
解析：y＝ ＝
x x
36 36＝－ x＋ x ＋15≤－2 x· ＋15＝3， x
36
当且仅当 x＝ ，即 x＝6 时，ymax＝3. x
答案：3
m
10．(2018·南昌摸底调研)已知函数 y＝x＋ (x>2)的最小值为 6，则正数 m 的值为
x－2
________．
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m m
解析：∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋ ＋2≥2 (x－2)· ＋2＝2 m＋2，当 x＝2＋
x－2 x－2
m
m时取等号，又函数 y＝x＋ (x>2)的最小值为 6，∴2 m＋2＝6，解得 m＝4.
x－2
答案：4
1
11．(2018·天津高考)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋ 的最小值为________．
8b
解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6.
1 － －
∴2a＋ ＝2a＋2 3b≥2 2a·2 3bb 8
－ － － 1
＝2 2a 3b＝2 2 6＝2×2 3＝ .
4
a＝－3b， a＝－3，
当且仅当 即 时等号成立．
a－3b＋6＝0， b＝1
1
答案：
4
12．(2018·聊城一模)已知 a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则 a＋b 的最小值为________．
3 1
解析：由 a>0，b>0,3a＋b＝2ab，得 ＋ ＝1，
2b 2a
3 1 3a b
所以 a＋b＝(a＋b) ＋ 2b 2a ＝2＋ ＋ ≥2＋ 3，当且仅当 b＝ 3a 时等号成立，则 a2b 2a
＋b 的最小值为 2＋ 3.
答案：2＋ 3
13．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L)与速度
1
(x2－130x＋4 900)，x∈[50，80)，75
x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为 y＝ x
12－ ，x∈[80，120]. 60
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地，则汽车速度为
多少时总耗油量最少？
1 1
解：(1)当 x∈[50,80)时，y＝ (x2－130x＋4 900)＝ [(x－65)2＋675]，
75 75
1
所以当 x＝65 时，y 取得最小值，最小值为 ×675＝9.
75
x
当 x∈[80,120]时，函数 y＝12－ 单调递减，故当 x＝120 时，y 取得最小值，最小值为
60
120
12－ ＝10.
60
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因为 9<10，所以当 x＝65，即该型号汽车的速度为 65 km/h 时，可使得每小时耗油量最
少．
120
(2)设总耗油量为 l L，由题意可知 l＝y· ，
x
120 8 4 900 8 4 900①当 x∈ [50,80)时，l＝y· ＝ x＋ －130 ≥ ＝16，
x 5 x 5 2 x× －130 x
4 900
当且仅当 x＝ ，即 x＝70 时，l 取得最小值，最小值为 16；
x
120 1 440
②当 x∈[80,120]时，l＝y· ＝ －2 为减函数，
x x
所以当 x＝120 时，l 取得最小值，最小值为 10.
因为 10<16，所以当速度为 120 km/h 时，总耗油量最少．
第 499页/共1004页

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