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第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念
Δy
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 liΔxm→0 ＝Δx
f(x0＋Δx)－f(x0)
liΔxm→0 为函数 y＝f(x)在 x＝x 处的导数，记作 f′(x )或 y′x＝x ，即 f′(x )
Δx 0 0 0 0
Δy f(x0＋Δx)－f(x0)
＝liΔxm→0 ＝liΔxm→0 .
Δx Δx
函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方
向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点
P(x0，y ) 0 处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程
为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一
的一条切线.
f(x＋Δx)－f(x)
(3)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝liΔxm→0 为 f(x)的导函数．
Δx
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数 f′(x)在 x0 处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
－
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn 1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
1
f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝ xln a
1
f(x)＝ln x f′(x)＝
x
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
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(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f(x) ′ f′(x)g(x)－f(x)g′(x)(3) ＝ (g(x)≠0)．
g(x) [g(x)]2
4．复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，
即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
5．定积分的概念
在∫baf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫
做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
6．定积分的性质
(1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k 为常数)；
(2)∫b b ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫af1(x)dx±∫af2(x)dx；
(3)∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中 a＜c＜b)．
求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)
进行计算.
7．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)
－F(a)，常把 F(b)－F(a)记作 F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
8．定积分的几何意义
定积分∫baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y＝f(x)及直线 x＝a，x＝b 之间的曲边梯
形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为 S.
①S＝∫baf(x)dx；②S＝－∫baf(x)dx；③S＝∫c baf(x)dx－∫cf(x)dx；
④S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx＝∫ba[f(x)－g(x)]dx.
(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正
可负.
(2)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积
分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的
值为零.
二、常用结论
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1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
1 1 1
2．熟记以下结论：(1) x ′＝－ 2；(2)(ln|x|)′＝ ； x x
(3)
1 f′(x)′＝－ 2(f(x)≠0)； f(x) [f(x)]
(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．常见被积函数的原函数
n＋x 1
(1)∫bcdx＝cx|b；(2)∫bxna a a dx＝ |ba(n≠－1)；
n＋1
(3)∫basin xdx＝－cos x|ba；(4)∫bacos xdx＝sin x|ba；
1
(5)∫b dx＝ln|x||b；(6)∫bexdx＝ex|ba a a a. x
考点一 导数的运算
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若 f′(x0)＝2 019，则 x0 等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
1
解析：选 B f′(x)＝2 018＋ln x＋x× ＝2 019＋ln x，故由 f′(x0)＝2 019，得 2 019＋x
ln x0＝2 019，则 ln x0＝0，解得 x0＝1.
2．(2019·宜昌联考)已知 f′(x)是函数 f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则 f′(2)＝( )
12－8ln 2 2
A. B.
1－2ln 2 1－2ln 2
4
C. D．－2
1－2ln 2
解析：选 C 因为 f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以 f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得 f′(1)
2 2 2 4
＝ ，所以 f′(x)＝ ·2xln 2＋2x，所以 f′(2)＝ ×22ln 2＋2×2＝ .
1－2ln 2 1－2ln 2 1－2ln 2 1－2ln 2
3．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且 f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
答案：－2
4．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
1
(2)y＝ln x＋ ；
x
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cos x
(3)y＝ x ； e
π π
(4)y＝xsin 2x＋ cos 2x＋ 2 2 .
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
1 1 1 1
(2)y′＝ ln x＋ x ′＝(ln x)′＋ x ′＝ － 2. x x
cos x (cos x)′e
x－cos x(ex)′ sin x＋cos x π
(3)y′ ＝ ex ′ ＝

(ex)2
＝ － x .(4) ∵ y ＝ xsin 2x＋e 2
π
cos 2x＋ 2
1
＝ xsin(4x＋π)
2
1
＝－ xsin 4x，
2
1 1
∴y′＝－ sin 4x－ x·4cos 4x
2 2
1
＝－ sin 4x－2xcos 4x.
2
考点二 导数的几何意义及其应用
考法(一) 求切线方程
[例 1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)
在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
[解析] 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.
法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，
∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a 为偶函数，
∴a＝1，即 f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.
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[答案] D
考法(二) 求切点坐标
[例 2] 已知函数 f(x)＝xln x 在点 P(x0，f(x0))处的切线与直线 x＋y＝0 垂直，则切点 P(x0，
f(x0))的坐标为________．
[解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得 f′(x0)·(－1)＝－1，即 f′(x0)＝1，
∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即 P(1,0)．
[答案] (1,0)
考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例 3] (1)(2018·商丘二模)设曲线 f(x)＝－ex－x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切
线为 l1，总存在曲线 g(x)＝3ax＋2cos x 上某点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范
围是( )
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
2 1 1 2C. － ， － ， 3 3 D. 3 3
(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线 y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则 a＝________.
[解析] (1)由 f(x)＝－ex－x，得 f′(x)＝－ex－1，
∵ex
1
＋1>1，∴ x ∈(0,1)．由 g(x)＝3ax＋2cos x，得 g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin xe ＋1
∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线 f(x)＝－ex－x 上任意一点的切线 l1，
－2＋3a≤0，
总存在过曲线 g(x)＝3ax＋2cos x 上某点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则
2＋3a≥1，
1 2
解得－ ≤a≤ .
3 3
(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴当 x＝0 时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得 a＝－3.
[答案] (1)D (2)－3
考法(四) 两曲线的公切线问题
1
[例 4] 已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋ 在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值
4
为________．
1
[解析] 由 f(x)＝x3＋ax＋ ，得 f′(x)＝3x2＋a.
4
1
∵f′(0)＝a，f(0)＝ ，
4
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1
∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－ ＝ax.
4
1 1
设直线 y－ ＝ax 与曲线 g(x)＝－ln x 相切于点(x0，－ln x4 0)，g′(x)＝－ ， x
1
－ln x0－ ＝ax4 0， ①
∴ 1
a＝－ ， ② x 0
3
将②代入①得 ln x0＝ ， 4
3 1 3
∴x0＝e ，∴a＝－ ＝－e－ . 4 3 4
e
4
3
[答案] －e－
4
[题组训练]
x－1
1．曲线 y＝ 在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
x＋1
1 1 1
A. B. C. D．1
8 4 2
2
解析：选 B 因为 y′＝ 2，所以 y′x＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程(x＋1)
1
为 y＋1＝2x，即 y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)， ，0 2 ，所以与两坐标
1 1 1
轴围成的三角形的面积 S＝ ×|－1|× ＝ .
2 2 4
2．已知直线 2x－y＋1＝0 与曲线 y＝aex＋x 相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数 a
的值为________．
解析：由题意知 y′＝aex＋1＝2，则 a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得 y＝1－ln a，所
以切线方程为 y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即 y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1 a＝1.
答案：1
3．若一直线与曲线 y＝ln x和曲线 x2＝ay(a>0)相切于同一点 P，则 a 的值为________．
1
解析：设切点 P(x0，y0)，则由 y＝ln x，得 y′＝ ， x
1 2
＝ x0，x0 a
由 x2
2
＝ay，得 y′＝ x，则有 解得 a＝2e. a y0＝ln x0，
2 x0＝ay0，
答案：2e
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考点三 定积分的运算及应用
[题组训练]
1. π (sin x－cos x)dx＝________.
0
解析： π (sin x－cos x)dx
0
π π
π ＝ sin xdx－
π
cos xdx＝－cos x －sin x 0 0
0 0
＝2.
答案：2
1
2. e 2 2 dx＋ 4－x dx＝________. x
1 －2
e
1
e 解析： dx＝ln x ＝1－0＝1，因为
2 4－x2 dx 表示的是圆 x
2＋y2＝4 在 x 轴及其上
x 1
1 －2
1
方的面积，故 2 2 2 4－x dx＝ π×2 ＝2π，故答案为 2π＋1. 2
－2
答案：2π＋1
1
3．由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－ x 所围成图形的面积为____________．
3
解析：法一：画出草图，如图所示．
y＝ x，
y＝ x， x＋y＝2，
解方程组 1 及 1 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， x＋y＝2， y＝－ x 3 y＝－ x，3
所以所求图形的面积
1S＝ 1 x－ － x
1
dx＋ 3 (2－x)－
－ x
3 3
dx
0 1
1 2
＝ 1 x＋ x
dx＋ 3 2－ x

3 3
dx
0 1
1 3
3
2 1 1
＝ 2 ＋ 2 ＋ 2x－ x2x x


3 6 3 0 1
5 1 1 13
＝ ＋6－ ×9－2＋ ＝ .
6 3 3 6
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法二：如图所求阴影的面积就是三角形 OAB 的面积减去由 y 轴，y＝ x，y＝2－x 围成
的曲边三角形的面积，即
1
S＝ ×2×3－ 1 (2－x－ x)dx 2
0
1
1 2
3

＝3－ 2x－ x2－ x 2
2 3 0
1 2 13
＝3－ 2－ － 2 3 ＝ . 6
13
答案：
6
5，0≤x≤2，
4．一物体在力 F(x) ＝ (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x 3x＋4，x>2
＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为________J.
解析：由题意知，力 F(x)所做的功为 W＝ 4F(x)dx＝ 2 5dx＋
4

(3x＋4)dx＝5×2＋

0 0 2
4
3 2 3 3x ＋4x ＝10＋ ×42＋4×4－ ×2
2＋4×2
2 2 ＝36(J)． 22
答案：36
1．正确选用求定积分的 4 个常用方法
定理法 性质法 几何法 奇偶性法
2．定积分在物理中的 2 个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时
刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝ b v(t)dt.
a
(2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b
时，力 F(x)所做的功是 W＝ b F(x)dx.
a
[课时跟踪检测]
A 级
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1．曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
1
解析：选 C 由于 y′＝e－ ，所以 y′|x＝1＝e－1，故曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的x
切线方程为 y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
2．曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P 处的切线平行于直线 y＝2x－1，则 P 点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选 C f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＝2，则 3x2－1＝2，解得 x＝1 或 x＝－1，∴P(1,3)
或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线 y＝2x－1 上，故选 C.
3．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2)
的值等于( )
A．－2 B．2
9 9
C．－ D.
4 4
1
解析：选 C 因为 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以 f′(x)＝2x＋3f′(2)＋ ，所以 f′(2)
x
1 9
＝2×2＋3f′(2)＋ ，解得 f′(2)＝－ .
2 4
4.(2019·四川名校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示，f′(x)是 f(x)
的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：选 C 设 f′(3)，f(3)－f(2)，f′(2)分别表示直线 n，m，l 的斜率，数形结合知
05.(2019·玉林模拟)由曲线y＝x2和曲线y＝ x围成的一个叶形图如
图所示，则图中阴影部分的面积为( )
1 3
A. B.
3 10
1 1
C. D.
4 5
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y＝x
2， x＝0， x＝1，
解析：选 A 由 解得 或 所以阴影部分的面积为 1 ( x－ y＝ x， y＝0 y＝1， 0
1
2 2
3 1 3 1x )dx＝ x 2 － x ＝ .
3 3 30
6．(2018·安庆模拟)设曲线 y＝eax－ln(x＋1)在 x＝0 处的切线方程为 2x－y＋1＝0，则 a
＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
1
解析：选 D ∵y＝eax－ln(x＋1)，∴y′＝aeax－ ，∴当 x＝0 时，y′＝a－1.∵曲线
x＋1
y＝eax－ln(x＋1)在 x＝0 处的切线方程为 2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即 a＝3.
2
7．(2018·延边期中)设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋ 上的任意一点，则曲线在点 P 处切线
3
的倾斜角 α的取值范围为( )
π 5π 2πA. 0， ∪ ，π 2 6 B.
，π
3
π 2π π 5πC. 0， ∪ ，π 2 3 D.
，
2 6
解析：选 C 因为 y′＝3x2－ 3≥－ 3，故切线的斜率 k≥－ 3，所以切线的倾斜角 α
π 2π
的取值范围为 0， ∪ ，π 2 3 .
π
8．若曲线 f(x)＝xsin x＋1 在 x＝ 处的切线与直线 ax＋2y＋1＝0 相互垂直，则实数 a＝
2
________.
π π π π
解析：因为 f′(x)＝sin x＋xcos x，所以 f′ 2 ＝sin ＋ cos ＝1.又直线 ax＋2y＋1＝02 2 2
a a
的斜率为－ ，所以 1× －
2 2 ＝－1，解得 a＝2.
答案：2
9．(2019·重庆质检)若曲线 y＝ln(x＋a)的一条切线为 y＝ex＋b，其中 a，b 为正实数，
e
则 a＋ 的取值范围为________．
b＋2

1
1 ＝e，
解析：由 y＝ln(x＋a)，得 y′＝ .设切点为(x ，y )，则有 x0＋a0 0 b＝
x＋a
ln(x0＋a)＝ex0＋b
2
ae－2.∵b>0，∴a> ，
e
e 1
∴a＋ ＝a＋ ≥2，当且仅当 a＝1 时等号成立．
b＋2 a
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答案：[2，＋∞)
a
10．(2018·烟台期中)设函数 F(x)＝ln x＋ (01
斜率 k≤ 恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
2
a x－a x0－a 1
解析：由 F(x)＝ln x＋ (01 1 1
在(0,3]上恒成立，所以 a≥ － x2＋x 2 2 0 0 max.当 x0＝1 时，－ x0＋x0 在(0,3]上取得最大值 ，所2 2
1
以 a≥ .
2
答案：
1
，＋∞
2
B 级
1．若 f(x)＝x2＋ 1 12 f(x)dx，则 f(x)dx＝( )

0 0
1
A．－1 B．－
3
1
C. D．1
3
1
1 3 1
解析：选 ∵ 1 1
1 1
B f(x)＝x2＋2 f(x)dx，∴ f(x)dx＝
x ＋2x f(x)dx3 ＝ ＋2 f(x)dx，∴
30 0
0 0 0
1 1
f(x)dx＝－ .
3
0
1－x2，x∈[－1，1]，
2．设 f(x)＝ 则 2 f(x)dx 的值为( ) x2－1，x∈(1，2]， -1
π 4 π
A. ＋ B. ＋3
2 3 2
π 4 π
C. ＋ D. ＋3
4 3 4
2
1 1 π 4
解析：选 A 2 f(x)dx＝
1
1－x
2dx＋ 2 (x
2－1)dx＝ π×12＋ x3－x ＝ ＋ .
2 3 2 31
-1 -1 1
3．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数 f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则 f′(0)＝
( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选 C 因为 f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x
＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以 f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0
－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
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因为数列{an}为等比数列，
所以 a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，
所以 f′(0)＝84＝212.
3 2 154．若存在过点(1,0)的直线与曲线 y＝x 和 y＝ax ＋ x－9 都相切，则 a 等于( )
4
25 21
A．－1 或－ B．－1 或
64 4
7 25 7
C．－ 或－ D．－ 或 7
4 64 4
解析：选 A 因为 y＝x3，所以 y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与 y＝x3 相切于点(x 30，x0)，
则在该点处的切线斜率为 k＝3x20，
所以切线方程为 y－x3 2 2 30＝3x0(x－x0)，即 y＝3x0x－2x0.
3
又点(1,0)在切线上，所以 x0＝0 或 x0＝ . 2
15 25
当 x0＝0 时，切线方程为 y＝0.由 y＝0 与 y＝ax2＋ x－9 相切可得 a＝－ ； 4 64
3 27 27 27 27 15
当 x0＝ 时，切线方程为 y＝ x－ ，由 y＝ x－ 与 y＝ax2＋ x－9 相切，可得 a＝2 4 4 4 4 4
－1.
25
综上，a 的值为－1 或－ .
64
5．已知 f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则 f2 019(x)＝( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：选 A ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x
－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…，∴fn(x)的解析式以
4 为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f2 019(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x.
6．曲线 y＝ln(2x－1)上的点到直线 2x－y＋8＝0 的最短距离是( )
A．2 5 B．2
C．2 3 D. 3
解析：选 A 设 M(x0，ln(2x0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点 M 处的切线与直
线 2x－y＋8＝0 平行时，点 M 到直线的距离即为曲线 y＝ln(2x－1)上的点到直线 2x－y＋8
＝0 的最短距离．
2 2
∵y′＝ ，∴ ＝2，解得 x0＝1，∴M(1,0)．记点 M 到直线 2x－y＋8＝0 的距
2x－1 2x0－1
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|2＋8|
离为 d，则 d＝ ＝2 5.
4＋1
7．如图，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线，令 g(x)
＝xf(x)，则曲线 g(x)在 x＝3 处的切线方程为________．
1 1
解析：由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线斜率等于－ ，即 f′(3)＝－ .又 g(x)＝
3 3
xf(x)，所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知 f(3)＝1，所以 g(3)＝
1
3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3× － 3 ＝0，则曲线 g(x)在 x＝3 处的切线方程为 y－3＝0.
答案：y－3＝0
b
8．设函数 f(x)＝ax－ ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12＝0.
x
(1)求 f(x)的解析式；
(2)曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形的面积是否
为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．
7
解：(1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝ x－3，
4
1
当 x＝2 时，y＝ .
2
b 1
2a－ ＝ ，
b 2 2 a＝1，
又 f′(x)＝a＋ 2，所以 解得 x b 7 b＝3. a＋ ＝ ，4 4
3
故 f(x)＝x－ .
x
(2)是定值，理由如下：
设 P(x0，y0)为曲线 y＝f(x)上任一点，
3 3
由 f′(x)＝1＋ 2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝ 1＋ x x20
(x－x0)，
3即 y－ x
3
0
－ 1＋
x0
＝ x2 (x－x0)． 0
6 6
令 x＝0，得 y＝－ ，得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 0，－
x0 x
.
0
令 y＝x，得 y＝x＝2x0，得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．
1
所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积 S＝2
6－
x ·|2x0|＝6. 0
故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形的面积为定
值，且此定值为 6.
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a(x＋1) 1 1
9．已知函数 f(x)＝ln x－ ，曲线 y＝f(x)在点 ，f 2 处的切线平行于直线 y＝10xx－1 2
＋1.
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)设直线 l 为函数 g(x)＝ln x 图象上任意一点 A(x0，y0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)
上是否存在 x0，使得直线 l 与曲线 h(x)＝ex也相切？若存在，满足条件的 x0 有几个？
a(x＋1)
解：(1)∵函数 f(x)＝ln x－ (x＞0 且 x≠1)，
x－1
1 2a
∴f′(x)＝ ＋ ，
x (x－1)2
1 1∵曲线 y＝f(x)在点 ，f
2 2
处的切线平行于直线 y＝10x＋1，

1 x
2＋1
∴f′ 2 ＝2＋8a＝10，∴a＝1，∴f′(x)＝ . x(x－1)2
∵x＞0 且 x≠1，∴f′(x)＞0，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间．
(2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的 x0.
1
∵g(x)＝ln x，∴g′(x)＝ ，
x
1
∴切线 l 的方程为 y－ln x0＝ (x－x0)， x0
1
即 y＝ x＋ln x0－1.① x0
设直线 l 与曲线 h(x)＝ex相切于点(x1，ex1)，
1
∵h′(x)＝ex，∴ex1＝ ，∴x ＝－ln x ， x 1 00
1 1
∴直线 l 的方程也可以写成 y－ ＝ (x＋ln x0)， x0 x0
1 ln x0 1
即 y＝ x＋ ＋ .②
x0 x0 x0
ln x0 1 x0＋1
由①②得 ln x0－1＝ ＋ ，∴ln x0＝ . x0 x0 x0－1
下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的 x0.
x＋1
由(1)可知，f(x)＝ln x－ 在区间(1，＋∞)上单调递增，
x－1
2 e2－3
又∵f(e)＝－ ＜0，f(e2)＝
e－1 e2
＞0，
－1
∴结合零点存在性定理，知方程 f(x)＝0 在区间(e，e2)上有唯一的实数根，这个根就是
所求的唯一满足条件的 x0.
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