资源简介

第二节 算法与程序框图
一、基础知识
1．算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
定义 由若干个依次执行的步骤组成
程序
框图
(2)条件结构
定义 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
程序
框图
(3)循环结构
从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤
定义
称为循环体
直到型循环结构 当型循环结构
程序
先循环，后判断，条件满足时终 先判断，后循环，条件满
框图
止循环. 足时执行循环.
第 928页/共1004页
三种基本逻辑结构的适用情境
(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．
(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．
(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．
考点一 顺序结构和条件结构
[例 1] (2019·沈阳质检)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输
入的实数 x 的值为( )
A．－3 B．－3 或 9
C．3 或－9 D．－3 或－9
1
[解析] 当 x≤0 时，y＝ x 2 －8＝0，x＝－3；当 x>0 时，y＝2－log3x＝0，x＝9.故 x＝
－3 或 x＝9，选 B.
[答案] B
[例 2] 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为( )
第 929页/共1004页
cos x π π
A．f(x)＝ － x 2 2
2x－1
B．f(x)＝ x 2 ＋1
|x|
C．f(x)＝
x
D．f(x)＝x2ln(x2＋1)
[解析] 由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项 A、C 中的函数虽然是
奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除 A、C.选项 D 中的函数是偶函数，故排除 D.
选 B.
[答案] B
[解题技法] 顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序
进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的
条件进行判断．
(3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不
能同时执行两个分支．
[题组训练]
1．半径为 r 的圆的面积公式为 S＝πr2，当 r＝5 时，计算面积的流程图为( )
解析：选 D 因为输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为 D.
2．运行如图所示的程序框图，可输出 B＝______，C＝______.
第 930页/共1004页
解析：若直线 x＋By＋C＝0 与直线 x＋ 3y－2＝0 平行，则 B＝ 3，且 C≠－2，
若直线 x＋ 3y＋C＝0 与圆 x2＋y2
|C|
＝1 相切，则 ＝1，解得 C＝±2，
12＋( 3)2
又 C≠－2，所以 C＝2.
答案： 3 2
考点二 循环结构
考法(一) 由程序框图求输出(输入)结果
[例 1] (2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为
20，则输出 T 的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 输入 N 的值为 20，
第一次执行条件语句，N＝20，
第 931页/共1004页
N
i＝2， ＝10 是整数，
i
∴T＝0＋1＝1，i＝3＜5；
N 20
第二次执行条件语句，N＝20，i＝3， ＝ 不是整数，
i 3
∴i＝4＜5；
N
第三次执行条件语句，N＝20，i＝4， ＝5 是整数，
i
∴T＝1＋1＝2，i＝5，此时 i≥5 成立，∴输出 T＝2.
[答案] B
[例 2] (2019·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的 n＝2，那
么输入的 a 的值可以为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 执行程序框图，输入 a，P＝0，Q＝1，n＝0，此时 P≤Q 成立，P＝1，Q＝3，
n＝1，此时 P≤Q 成立，P＝1＋a，Q＝7，n＝2.因为输出的 n 的值为 2，所以应该退出循环，
即 P>Q，所以 1＋a>7，结合选项，可知 a 的值可以为 7，故选 D.
[答案] D
[解题技法] 循环结构的一般思维分析过程
(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．
(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量
的表达式．
(3)辨析循环结构的功能．
考法(二) 完善程序框图
[例 1] (2018·武昌调研考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a 依次为 2,2,5 时，
输出的 s 为 17，那么在判断框中可以填入( )
第 932页/共1004页
A．kn
C．k≥n D．k≤n
[解析] 执行程序框图，输入的 a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入的 a＝2，s＝2×2
＋2＝6，k＝2；输入的 a＝5，s＝2×6＋5＝17，k＝3，此时结束循环，又 n＝2，所以判断
框中可以填“k>n？”，故选 B.
[答案] B
1 1 1 1 1
[例 2] (2018·全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－ ＋ － ＋…＋ － ，设计了如图所示的程序
2 3 4 99 100
框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
1 1 1 1 1
[解析] 由题意可将 S 变形为 S＝ 1＋ ＋…＋ － ＋ ＋…＋ 3 99 2 4 100 ，则由 S＝N－T，
1 1 1 1 1 1 1
得 N＝1＋ ＋…＋ ，T＝ ＋ ＋…＋ .据此，结合 N＝N＋ ，T＝T＋ 易知在空白框
3 99 2 4 100 i i＋1
中应填入 i＝i＋2.故选 B.
[答案] B
[解题技法] 程序框图完善问题的求解方法
第 933页/共1004页
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
[题组训练]
1．(2018·凉山质检)执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为 A，从集合
A 中任取一个元素 a，则函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )
4 4
A. B.
7 5
3 3
C. D.
5 4
解析：选 C 执行程序框图，x＝－3，y＝3；x＝－2，y＝0；x＝－1，y＝－1；x＝0，y
＝0；x＝1，y＝3；x＝2，y＝8；x＝3，y＝15；x＝4，退出循环．则集合 A 中的元素有－1,0,3,8,15，
3
共 5 个，若函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)为增函数，则 a>0，所以所求的概率为 .
5
2．(2019·珠海三校联考)执行如图所示的程序框图，若输出的 n 的值为 4，则 p 的取值
范围是( )
3 7 5
A. ， 4 8 B.
，＋∞
16
5 7 5 7
C. ， ， 16 8 D. 16 8
第 934页/共1004页
1 1 1 3 3
解析：选 A S＝0，n＝1；S＝ ，n＝2；S＝ ＋ ＝ ，n＝3；满足条件，所以 p> ，
2 2 22 4 4
3 1 7 7 3 7
继续执行循环体；S＝ ＋ 3＝ ，n＝4；不满足条件，所以 p≤ .输出的 n 的值为 4，所以 故选 A.
13
3．(2019·贵阳适应性考试)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则整
7
数 a 的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选 A 先不管 a 的取值，直接运行程序．首先给变量 S，k 赋值，S＝1，k＝1，
1 1 1 1
执行 S＝S＋ ，得 S＝1＋ ，k＝2；执行 S＝1＋ ＋ ，k＝3；……继续执行，
k(k＋1) 1×2 1×2 2×3
1 1 1 1 1 1 1 1得 ＝
1
S 1＋ ＋ ＋…＋ ＝1＋ 1－ ＋ － －
1×2 2×3 k(k＋1) 2 2 3
＋…＋
k k＋1
＝2－ ，由 2
k＋1
1 13
－ ＝ 得 k＝6，所以整数 a＝6，故选 A.
k＋1 7
考点三 基本算法语句
2 019π 2 019π
[典例] 执行如图程序语句，输入 a＝2cos ，b＝2tan ，则输出 y 的值是( )
3 4
INPUT a，b
IF ay＝a(a＋b)
ELSE
y＝a2－b
END IF
PRINT y
END
第 935页/共1004页
A．3 B．4
C．6 D．－1
a(a＋b)，a[解析] 根据条件语句可知程序运行后是计算 y＝
2 a －b，a≥b，
2 019π
且 a＝2cos ＝2cos π＝－2，
3
2 019π 3π
b＝2tan ＝2tan ＝－2.
4 4
因为 a≥b，所以 y＝a2－b＝(－2)2－(－2)＝6，
即输出 y 的值是 6.
[答案] C
[变透练清]
1. 执行如图所示的程序，输出的结果是________．
i＝11
S＝1
DO
S＝S*i
i＝i－1
LOOP UNTIL i<9
PRINT S
END
解析：程序反映出的算法过程为
i＝11 S＝11×1，i＝10；
i＝10 S＝11×10，i＝9；
i＝9 S＝11×10×9，i＝8；
i＝8<9 退出循环，执行“PRINT S”．
故 S＝990.
答案：990
2．阅读如图所示的程序．
第 936页/共1004页
INPUT a
IF a>2 THEN
a＝2＋a
ELSE
a＝a*a
END IF
PRINT a
END
若输出的结果是 9，则输入的 a 的值是________．
解析：由题意可得程序的功能是计算并输出
2＋a，a>2，
a＝ 的值， a×a，a≤2
当 a>2 时，由 2＋a＝9 得 a＝7；
当 a≤2 时，由 a2＝9 得 a＝－3，
综上知，a＝7 或 a＝－3.
答案：－3 或 7
[课时跟踪检测]
1．(2019·湖北八校联考)对任意非零实数 a，b，定义 a*b 的运算原理如图所示，则(log
2 2)*
1 2
2 8 － ＝( ) 3
A．1 B．2
C．3 D．4
1 2 4－1解析：选 A 因为 log 22 2＝3， 8 － ＝4,3<4，所以输出 ＝1，故选 A. 3 3
2．执行如图所示的程序框图，则输出的 x，y 分别为( )
第 937页/共1004页
A．90,86 B．94,82
C．98,78 D．102,74
86
解析：选 C 第一次执行循环体，y＝90，s＝ ＋15，不满足退出循环的条件，故 x＝
7
90 43
90；第二次执行循环体，y＝86，s＝ ＋ ，不满足退出循环的条件，故 x＝94；第三次执
7 3
94 41
行循环体，y＝82，s＝ ＋ ，不满足退出循环的条件，故 x＝98；第四次执行循环体，y
7 3
＝78，s＝27，满足退出循环的条件，故 x＝98，y＝78.
3．(2018·云南民族大学附属中学二模)执行如图所示的程序框图，若输出的 k 的值为 6，
则判断框内可填入的条件是( )
1 7
A．s> ？ B．s> ？
2 10
3 4
C．s> ？ D．s> ？
5 5
9 4
解析：选 B s＝1，k＝9，满足条件；s＝ ，k＝8，满足条件；s＝ ，k＝7，满足条件；
10 5
7 7
s＝ ，k＝6，不满足条件．输出的 k＝6，所以判断框内可填入的条件是“s> ？”．故选
10 10
B.
4．(2019·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的 k 的值为 3，则输入的 a 的
值可以是( )
第 938页/共1004页
A．20 B．21
C．22 D．23
解析：选 A 根据程序框图可知，若输出的 k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行
了 3 次，执行第 1 次时，S＝2×0＋3＝3，执行第 2 次时，S＝2×3＋3＝9，执行第 3 次时，
S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数 a 的取值范围是 9≤a<21，故选 A.
5．(2019·重庆质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的 x＝0，y＝－1，n＝1，则输
出 x，y 的值满足( )
A．y＝－2x B．y＝－3x
C．y＝－4x D．y＝－8x
1
解析：选 C 初始值 x＝0，y＝－1，n＝1，x＝0，y＝－1，x2＋y2<36，n＝2，x＝ ，y
2
＝－2，x2＋y2
3 3
<36，n＝3，x＝ ，y＝－6，x2＋y2>36，退出循环，输出 x＝ ，y＝－6，此时
2 2
x，y 满足 y＝－4x，故选 C.
6．(2018·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果 s＝132，
则判断框中可以填( )
第 939页/共1004页
A．i≥10 B．i≥11
C．i≤11 D．i≥12
解析：选 B 执行程序框图，i＝12，s＝1；s＝12×1＝12，i＝11；s＝12×11＝132，i
＝10.此时输出的 s＝132，则判断框中可以填“i≥11？”．
7．(2019·漳州八校联考)执行如图所示的程序，若输出的 y 的值为 1，则输入的 x 的值
为
( )
INPUT x
IF x>＝1 THEN
y＝x2
ELSE
2 y＝－x ＋1
END IF
PRINT y
END
A．0 B．1
C．0 或 1 D．－1,0 或 1
解析：选 C 当 x≥1 时，由 x2＝1 得 x＝1 或 x＝－1(舍去)；当 x<1 时，由－x2＋1＝1
得 x＝0.∴输入的 x 的值为 0 或 1.
8．执行如图所示的程序框图，若输入的 n＝4，则输出的 s＝( )
A．10 B．16
C．20 D．35
解析：选 C 执行程序框图，第一次循环，得 s＝4，i＝2；
第 940页/共1004页
第二次循环，得 s＝10，i＝3；
第三次循环，得 s＝16，i＝4；
第四次循环，得 s＝20，i＝5.
不满足 i≤n，退出循环，输出的 s＝20.
9.(2018·洛阳第一次统考)已知某算法的程序框图如图所示，则该
算法的功能是( )
A．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 018 项和
B．求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 2 019 项和
C．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 009 项和
D．求首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和
解析：选 D 由程序框图得，输出的 S＝(2×1－1)＋(2×3－1)＋
(2×5－1)＋…＋(2×2 019－1)，可看作数列{2n－1}的前 2 019 项中所
有奇数项的和，即首项为 1，公差为 4 的等差数列的前 1 010 项和．故选 D.
10．(2018·郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 7，则判断
框内 m 的取值范围是( )
A．(30,42] B．(30,42)
C．(42,56] D．(42,56)
解析：选 A k＝1，S＝2，k＝2；S＝2＋4＝6，k＝3；S＝6＋6＝12，k＝4；S＝12＋8
＝20，k＝5；S＝20＋10＝30，k＝6；S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足 S＝42环，所以 3011．(2019·石家庄调研)20 世纪 70 年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意
写出一个自然数 n，按照以下的规律进行变换，如果 n 是奇数，则下一步变成 3n＋1；如果
n
n 是偶数，则下一步变成 .这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然
2
会落在谷底，更准确地说是落入底部的 4－2－1 循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序
框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的 i 值为 6，则输入的 n 值为( )
第 941页/共1004页
A．5 或 16 B．16
C．5 或 32 D．4 或 5 或 32
解析：选 C 若 n＝5，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，
i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的 i＝6.若 n＝32，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，
i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的 i＝6.当 n＝4 或 16 时，检
验可知不正确，故输入的 n＝5 或 32，故选 C.
12．(2018·贵阳第一学期检测)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世
界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如
图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的 n 的值为( )
A．20 B．25
C．30 D．35
80 2
解析：选 B 法一：执行程序框图，n＝20，m＝80，S＝60＋ ＝86 ≠100；
3 3
79 1
n＝21，m＝79，S＝63＋ ＝89 ≠100；
3 3
78
n＝22，m＝78，S＝66＋ ＝92≠100；
3
77 2
n＝23，m＝77，S＝69＋ ＝94 ≠100；
3 3
第 942页/共1004页
76 1
n＝24，m＝76，S＝72＋ ＝97 ≠100；
3 3
75
n＝25，m＝75，S＝75＋ ＝100，退出循环．所以输出的 n＝25.
3
法二：设大和尚有 x 个，小和尚有 y 个，
x＋y＝100，
x＝25，
则 1 解得
3x＋ y＝100， y＝75，
3
根据程序框图可知，n 的值即大和尚的人数，所以 n＝25.
13．已知函数 y＝lg|x－3|，如图所示程序框图表示的是给定 x 值，求其相应函数值 y 的
算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．
lg(x－3)，x>3，
解析：由 y＝lg|x－3|＝ 及程序框图知，①处应填 x<3？，②处应填 y
lg(3－x)，x<3
＝lg(x－3)．
答案：x<3？ y＝lg(x－3)
14．执行如图所示的程序框图，若输入的 N＝20，则输出的 S＝________.
解析：依题意，结合题中的程序框图知，当输入的 N＝20 时，输出 S 的值是数列{2k－
19(1＋37)
1}的前 19 项和，即 ＝361.
2
答案：361
15．执行如图所示的程序框图，则输出的 λ是________．
第 943页/共1004页
解析：依题意，若 λa＋b 与 b 垂直，则有(λa＋b)·b＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝0，解得 λ＝
－2；若 λa＋b 与 b 平行，则有－2(λ＋4)＝4(－3λ－2)，解得 λ＝0.结合题中的程序框图可知，
输出的 λ是－2.
答案：－2
16．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x，y∈R，那么输出的 S 的最大值为________．
解析：当条件 x≥0，y≥0，x＋y≤1 不成立时，输出 S 的值为 1，当条件 x≥0，y≥0，
x＋y≤1 成立时，输出 S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时 S 的最大
x≥0，

值．作出不等式组 y≥0， 表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图 x＋y≤1
可知当直线 S＝2x＋y 经过点 M(1,0)时 S 最大，其最大值为 2×1＋0＝2，
故输出 S 的最大值为 2.
答案：2
第 944页/共1004页