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第十二章复数、算法、推理与证明
第一节 数系的扩充与复数的引入
一、基础知识
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋
bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数．
一个复数为纯虚数，不仅要求实部为 0，还需要求虚部不为 0.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
―→
向量 OZ 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝
a2＋b2.
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).
―→
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 OZ .
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
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z1 a＋bi (a＋bi)(c－di) ac＋bd bc－ad
④除法： ＝ ＝ ＝ ＋ i(c＋di≠0)．
z2 c＋di (c＋di)(c－di) c2＋d2 c2＋d2
(2)复数加法的运算定律
设 z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、常用结论
1＋i 1－i
(1)(1±i)2＝±2i， ＝i， ＝－i.
1－i 1＋i
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
4n 4n＋(3)i ＝1，i 1＝i，i4n
＋2 ＋ ＋ ＋ ＋＝－1，i4n 3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n 1＋i4n 2＋i4n 3＝0(n∈N*)．
z1 |z1|
(4)z·z ＝|z|2＝| z |2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|， z ＝ ，|z
n|＝|z|n.
2 |z2|
考点一 复数的四则运算
[典例] (1)(2017·山东高考)已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
(2＋i)(1－i)2
(2)(2019·山东师大附中模拟)计算： ＝( )
1－2i
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
[解析] (1)∵zi＝1＋i，
1＋i 1
∴z＝ ＝ ＋1＝1－i.
i i
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
(2＋i)(1－i)2 －(2＋i)2i 2－4i
(2) ＝ ＝ ＝2，故选 A.
1－2i 1－2i 1－2i
[答案] (1)A (2)A
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[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位 i 的看作一
类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注
意把 i 的幂写成最简形式．
[题组训练]
(2＋i)(3－4i)
1．(2019·合肥质检)已知 i 为虚数单位，则 ＝( )
2－i
A．5 B．5i
7 12 7 12
C．－ － i D．－ ＋ i
5 5 5 5
(2＋i)(3－4i) 10－5i
解析：选 A 法一： ＝ ＝5，故选 A.
2－i 2－i
(2＋i)(3－4i) (2＋i)2(3－4i) (3＋4i)(3－4i)
法二： ＝ ＝ ＝5，故选 A.
2－i (2＋i)(2－i) 5
(1－i)2
2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知 ＝1＋i(i为虚数单位)，则复数 z等于( )
z
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
(1－i)2 －2i
解析：选 D 由题意，得 z＝ ＝ ＝－1－i，故选 D.
1＋i 1＋i
i＋i2＋i3＋…＋i2 018
3．已知复数 z＝ ，则复数 z＝________.
1＋i
＋ ＋ ＋ ＋
解析：因为 i4n 1＋i4n 2＋i4n 3＋i4n 4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，
而 2 018＝4×504＋2，
i＋i2＋i3＋…＋i2 018 i＋i2 －1＋i (－1＋i)(1－i) 2i
所以 z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝i.
1＋i 1＋i 1＋i (1＋i)(1－i) 2
答案：i
考点二 复数的有关概念
a
[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知 i 为虚数单位，若复数 z＝ ＋i(a∈R)的实部
1－2i
与虚部互为相反数，则 a＝( )
A．－5 B．－1
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1 5
C．－ D．－
3 3
1－i
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设 z＝ ＋2i，则|z|＝( )
1＋i
1
A．0 B.
2
C．1 D. 2
a a(1＋2i) a 2a＋5 a
[解析] (1)z＝ ＋i＝ ＋i＝ ＋ i，∵复数 z＝ ＋i(a∈R)的实
1－2i (1－2i)(1＋2i) 5 5 1－2i
a 2a＋5 5
部与虚部互为相反数，∴－ ＝ ，解得 a＝－ .故选 D.
5 5 3
1－i (1－i)2 －2i
(2)∵z＝ ＋2i＝ ＋2i＝ ＋2i＝i，
1＋i (1＋i)(1－i) 2
∴|z|＝1.故选 C.
[答案] (1)D (2)C
[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，则
该复数的实部为 a，虚部为 b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变
为相反数，即得原复数的共轭复数．复数 z1＝a＋bi 与 z2＝c＋di 共轭 a＝c，b＝－d(a，b，
c，d∈R)．
[题组训练]
2－bi
1．(2019·山西八校第一次联考)已知 a，b∈R，i 为虚数单位，若 3－4i3＝ ，则 a
a＋i
＋b 等于( )
A．－9 B．5
C．13 D．9
2－bi 2－bi
解析：选 A 由 3－4i3＝ ，得 3＋4i＝ ，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a
a＋i a＋i
3a－4＝2， a＝2，
＋3)i＝2－bi，则 解得 故 a＋b＝－9.故选 A. 4a＋3＝－b， b＝－11，
4i
2．(2019·贵阳适应性考试)设 z 是复数 z 的共轭复数，满足 z ＝ ，则|z|＝( )
1＋i
A．2 B．2 2
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2 1
C. D.
2 2
4i 4i(1－i)
解析：选 B 法一：由 z ＝ ＝ ＝2＋2i，
1＋i (1＋i)(1－i)
得|z|＝| z |＝ 22＋22＝2 2，故选 B.
4i |4i| 4
法二：由模的性质，得|z|＝| z |＝ 1＋i ＝ ＝ ＝2 2.故选 B. |1＋i| 2
3．若复数 z＝a2－a－2＋(a＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数 a 的值是________．
解析：由于 z＝a2－a－2＋(a＋1)i 为纯虚数，因此 a2－a－2＝0 且 a＋1≠0，解得 a＝2.
答案：2
考点三 复数的几何意义
―→
[典例] (1)如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是 OA ，
―→
OB ，若 zz2＝z1，则 z 的共轭复数 z ＝( )
1 3 1 3
A. ＋ i B. － i
2 2 2 2
1 3 1 3
C．－ ＋ i D．－ － i
2 2 2 2
5i
(2)复数 z＝4i2 018－ (其中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
1＋2i
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] (1)由题意知 z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故 z(－1＋i)＝1＋2i，
1＋2i (1＋2i)(1＋i) 1－3i 1 3 1 3
即 z＝ ＝ ＝ ＝ － i， z ＝ ＋ i，故选 A.
－1＋i (－1＋i)(1＋i) 2 2 2 2 2
2 018 5i 5i(1－2i) 5(2＋i)(2)z＝4i － ＝4×i2 016·i2－ ＝－4－ ＝－6－i，
1＋2i (1＋2i)(1－2i) 5
故 z 在复平面内对应的点在第三象限．
[答案] (1)A (2)C
[解题技法] 对复数几何意义的再理解
―→ ―→
(1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 OZ 相互联系，即 z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何
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联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[题组训练]
1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数 z 满足(2－i)z＝i＋i2，则 z 在复平面内对应的
点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
i＋i2 －1＋i (－1＋i)(2＋i) －3＋i 3 1
解析：选 B z＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ ＋ i，则复数 z 在复平面内
2－i 2－i (2－i)(2＋i) 5 5 5
3 1
对应的点为 － ， 5 5 ，该点位于第二象限．故选 B.
2．若复数 z 满足|z－i|≤ 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为
________．
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤ 2得|x＋(y－1)i|≤ 2，所以 x2＋(y－1)2≤ 2，
所以 x2＋(y－1)2≤2，所以 z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以 2为半径
的圆及其内部，它的面积为 2π.
答案：2π
2＋ai
3．已知复数 z＝ ，其中 a 为整数，且 z 在复平面内对应的点在第四象限，则 a 的
1＋2i
最大值为________．
2＋ai (2＋ai)(1－2i) 2＋2a＋(a－4)i
解析：因为 z＝ ＝ ＝ ，
1＋2i (1＋2i)(1－2i) 5
所以
2＋2a a－4
z 在复平面内对应的点为 ， ，
5 5
2＋2a
＞0，5
所以 解得－1＜a＜4，
a－4
＜0， 5
又 a 为整数，所以 a 的最大值为 3.
答案：3
[课时跟踪检测]
1＋2i
1．(2019·广州五校联考) ＝( )
(1－i)2
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1 1
A．－1－ i B．1＋ i
2 2
1 1
C．－1＋ i D．1－ i
2 2
1＋2i 1＋2i (1＋2i)i －2＋i 1
解析：选 C 2＝ ＝ ＝ ＝－1＋ i，选 C. (1－i) －2i 2 2 2
a－i
2．(2018·洛阳第一次统考)已知 a∈R，i 为虚数单位，若 为纯虚数，则 a 的值为( )
1＋i
A．－1 B．0
C．1 D．2
a－i (a－i)(1－i) a－1 a＋1 a－1 a＋1
解析：选 C ∵ ＝ ＝ － i 为纯虚数，∴ ＝0 且 ≠0，解
1＋i (1＋i)(1－i) 2 2 2 2
得 a＝1，故选 C.
―→ ―→
3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1，OZ2所对应的复数
分别为 z1，z2，则 z1·z2＝( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
解析：选 A 由图可知，z1＝1＋i，z2＝3－i，则 z1·z2＝(1＋i)(3
－i)＝4＋2i，故选 A.
4．若复数 z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 i 是虚数单位，则复数(z1－z2)i 的实部为( )
A．－20 B．－2
C．4 D．6
解析：选 A 因为(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，所以复数(z1－z2)i 的实部为－20.
1＋mi
5．(2019·太原模拟)若复数 z＝ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值
1＋i
范围是( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
1＋mi (1＋mi)(1－i) 1＋m m－1
解析：选 A 法一：因为 z＝ ＝ ＝ ＋ i 在复平面内对应的点
1＋i (1＋i)(1－i) 2 2
1＋m
>0，
1＋m m－1 2为 ， ，且在第四象限，所以
2 2 解得－1 <0， 2
1 1－i 1 1
法二：当 m＝0 时，z＝ ＝ ＝ － i，在复平面内对应的点在第四象限，
1＋i (1＋i)(1－i) 2 2
所以排除选项 B、C、D，故选 A.
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6．(2018·昆明高三摸底)设复数 z 满足(1＋i)z＝i，则 z 的共轭复数 z ＝( )
1 1 1 1
A. ＋ i B. － i
2 2 2 2
1 1 1 1
C．－ ＋ i D．－ － i
2 2 2 2
i i(1－i) 1＋i 1 1
解析：选 B 法一：∵(1＋i)z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，
1＋i (1＋i)(1－i) 2 2 2
1 1
∴复数 z 的共轭复数 z ＝ － i，故选 B.
2 2
i 2i (1＋i)2 1＋i 1 1
法二：∵(1＋i)z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，
1＋i 2(1＋i) 2(1＋i) 2 2 2
1 1
∴复数 z 的共轭复数 z ＝ － i，故选 B.
2 2
法三：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵(1＋i)z＝i，∴(1＋i)(a＋bi)＝i，∴(a－b)＋(a＋b)i＝i，
a－b＝0， 1 1 1 1
由复数相等的条件得 解得 a＝b＝ ，∴z＝ ＋ i，∴复数 z 的共轭复数 z ＝ － a＋b＝1， 2 2 2 2
1
i，故选 B.
2
7．设复数 z 满足 i(z＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数 z 对应的点位于复平面内( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
－3＋2i 3i2＋2i
解析：选 A 由 i(z＋1)＝－3＋2i，得 z＝ －1＝ －1＝2＋3i－1＝1＋3i，
i i
它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．
mi
8．已知复数 z＝ ，z·z ＝1，则正数 m 的值为( )
1＋i
A. 2 B．2
2 1
C. D.
2 2
mi mi(1－i) m m m m m2
解析：选 A 法一：z＝ ＝ ＝ ＋ i， z ＝ － i，z·z ＝ ＝1，则正数
1＋i (1＋i)(1－i) 2 2 2 2 2
m＝ 2，故选 A.
|mi| |m| m2
法二：由题意知|z|＝ ＝ ，由 z·z ＝|z|2，得 ＝1，则正数 m＝ 2，故选 A.
|1＋i| 2 2
a
9．已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则 的值为________．
b
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
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1＋b＝a， b＝1， a所以 解得 所以 ＝2. 1－b＝0. a＝2， b
答案：2
1－ 3i
10．复数|1＋ 2i|＋ 2＝________.
1＋i
(1－ 3i)2 －2－2 3i
解析：原式＝ 12＋( 2)2＋ 2 ＝ 3＋ ＝ 3＋i－ 3＝i. (1＋i) 2i
答案：i
1＋3i
11．(2019·重庆调研)已知 i 为虚数单位，复数 z＝ ，复数|z|＝________.
2＋i
1＋3i (1＋3i)(2－i) 5＋5i
解析：法一：因为 z＝ ＝ ＝ ＝1＋i，所以|z|＝ 12＋12＝ 2.
2＋i (2＋i)(2－i) 5
1＋3i |1＋3i| 10
法二：|z|＝ ＝ ＝ ＝ 2.
2＋i |2＋i| 5
答案： 2
3＋i
12．已知复数 z＝ 2， z 是 z 的共轭复数，则 z·z ＝________. (1－ 3i)
3＋i 3＋i
解析：∵z＝ ＝
(1－ 3i)2 －2－2 3i
3＋i ( 3＋i)(1－ 3i)
＝ ＝
－2(1＋ 3i) －2(1＋ 3i)(1－ 3i)
2 3－2i 3 1
＝ ＝－ ＋ i，
－8 4 4
3 1 1
∴z·z ＝|z|2＝ ＋ ＝ .
16 16 4
1
答案：
4
(－1＋i)(2＋i)
13．计算：(1) 3 ； i
(1＋2i)2＋3(1－i)
(2) ；
2＋i
1－i 1＋i
(3) ＋
(1＋i)2 (1－i)2
；
1－ 3i
(4)
( 3＋i)2
.
(－1＋i)(2＋i) －3＋i
解：(1)
i3
＝ ＝－1－3i.
－i
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(1＋2i)2＋3(1－i) －3＋4i＋3－3i i i(2－i) 1 2
(2) ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
2＋i 2＋i 2＋i 5 5 5
1－i 1＋i 1－i 1＋i 1＋i －1＋i
(3)
(1＋i)2
＋ 2＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1. (1－i) 2i －2i －2 2
1－ 3i ( 3＋i)(－i) －i (－i)( 3－i) 1 3
(4) ＝ ＝ ＝ ＝－ － i.
( 3＋i)2 ( 3＋i)2 3＋i 4 4 4
第 927页/共1004页

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