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第十一节 函数模型及其应用
一、基础知识
1．常见的 8 种函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k 为常数，k≠0)；
k
(2)反比例函数模型：f(x)＝ (k 为常数，k≠0)；
x
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠1)；
a
(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ (a>0)．
x
a
(1)形如 f(x)＝x＋ (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：
x
①该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a]上单调递减．
②当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a，当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
x b
(2)函数 f(x)＝ ＋ (a>0，b>0，x>0)在区间(0， ab]内单调递减，在区间[ ab，＋∞)内
a x
单调递增．
2．三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减
单调递增 单调递增 单调递增
性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大，逐渐表 随 x 的增大，逐渐表 随 n 值变化而各有不
图象的变化
现为与 y 轴平行 现为与 x 轴平行 同
值的比较 存在一个 x0，当 x>x n x0 时，有 logax幂函数模型 y＝xn(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当 n,值较小(n≤1)时，增长较慢；
当 n 值较大(n>1)时，增长较快.
考点一 二次函数、分段函数模型
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[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票
每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到
达到规定人数 75 为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设每团人数为 x，由题意得 0 900，0则 y＝
900－10(x－30)，30 900，0即 y＝
1 200－10x，30(2)设旅行社获利 S 元，
900x－15 000，0则 S＝
1 200x－10x2－15 000，30 900x－15 000，0即 S＝
－10(x－60)2＋21 000，30因为 S＝900x－15 000 在区间(0,30]上为增函数，故当 x＝30 时，S 取最大值 12 000.
又 S＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30,75]，所以当 x＝60 时，S 取得最大值 21 000.
故当 x＝60 时，旅行社可获得最大利润．
[解题技法]
二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略
(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，
需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．
(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．
(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调
性求解最值．
[题组训练]
C，01．某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)＝
C＋B(x－A)，x>A. 已
知某家庭 2018 年前三个月的煤气费如表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4 m3 4 元
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二月份 25 m3 14 元
三月份 35 m3 19 元
若四月份该家庭使用了 20 m3 的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5 元 B．11 元
C．10.5 元 D．10 元
解析：选 A 根据题意可知 f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)
4，01 1
＝19，解得 A＝5，B＝ ，C＝4，所以 f(x)＝ 1 所以 f(20)＝4＋ ×(20－2 4＋ (x－5)，x>5， 2 2
5)＝11.5.
2．A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供电，
为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方
与供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城供电量为每月 10 亿度．
(1)求 x 的取值范围；
(2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数；
(3)核电站建在距 A 城多远，才能使月供电总费用 y 最少？
解：(1)由题意知 x 的取值范围为[10,90]．
5
(2)y＝5x2＋ (100－x)2(10≤x≤90)．
2
2 5(3)因为 y＝5x ＋ (100－x)2
2
15
＝ x2－500x＋25 000
2
15 100 2 50 000＝ x－
2 3 ＋ ， 3
100 50 000
所以当 x＝ 时，ymin＝ . 3 3
100
故核电站建在距 A 城 km 处，能使月供电总费用 y 最少．
3
考点二 指数函数、对数函数模型
[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药
后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
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(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效，求服药一次
后治疗疾病有效的时间．
kt，0≤t≤1，
[解] (1)由题图，设 y＝ 1 t－a
2 ，t>1，
当 t＝1 时，由 y＝4，得 k＝4，
4t，0≤t≤1，
1 1－由 a 2 ＝4，得 a＝3.所以 y＝ 1 t－3
2 ，t>1.
t>1，
0≤t≤1，
(2)由 y≥0.25 得 或 1 4t≥0.25 t－3 2 ≥0.25，
1
解得 ≤t≤5.
16
1 79
故服药一次后治疗疾病有效的时间是 5－ ＝ (小时)．
16 16
[解题技法]
1．掌握 2 种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，
在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、
银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析
式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
2．建立函数模型解应用问题的 4 步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．
[题组训练]
1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每
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次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其
他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
解析：选 B 设该股民购进这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1＋
10%)n＝a×1.1n 元，经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝
a×(1.1×0.9)n＝0.99n·aI
2．声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y＝ 10lg 2－
10 12
给出，其中 I 为声强(单位：W/m )．

－
(1)平常人交谈时的声强约为 10 6 W/m2，求其声强级．
(2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到的最低声强为多少？
－
解：(1)当声强为 10 6 W/m2 时，
I
由公式 Y＝10lg －10 12 ，
－
10
6

得 Y＝10lg －12 ＝10lg 10
6＝60(分贝)．
10
当 ＝ 时，由公式 ＝
I
(2) Y 0 Y 10lg －
10 12
，

I
得 10lg － ＝0.
10 12
I －
∴ －12＝1，即 I＝10
12 W/m2，
10
－
则最低声强为 10 12 W/m2.
[课时跟踪检测]
1．(2018·福州期末)某商场销售 A 型商品．已知该商品的进价是每件 3 元，且销售单价
与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10
日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)
应为( )
A．4 B．5.5
C．8.5 D．10
解析：选 C 由数据分析可知，当单价为 4 元时销售量为 400 件，单价每增加 1 元，销
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售量就减少 40 件．设定价为 x 元/件时，日均销售利润为 y元，则 y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]
17 17
＝－40 x－ 2 2 ＋1 210，故当 x＝ ＝8.5 时，该商品的日均销售利润最大，故选 C. 2
2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不
超过 10 立方米的，按每立方米 3 元收费；用水超过 10 立方米的，超过的部分按每立方米 5
元收费．某职工某月的水费为 55 元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 立方米 B．14 立方米
C．15 立方米 D．16 立方米
解析：选 C 设该职工某月的实际用水为 x 立方米时，水费为 y 元，由题意得 y＝
3x，0≤x≤10， 3x，0≤x≤10，
即 y＝ 易知该职工这个月的实际用水量超过 10
30＋5(x－10)，x>10， 5x－20，x>10.
立方米，所以 5x－20＝55，解得 x＝15.
3．利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间，年生产的总成本 y(万元)与年产量
x2
x(吨)之间的关系可近似地表示为 y＝ －30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
10
A．240 吨 B．200 吨
C．180 吨 D．160 吨
y x 4 000 y x 4 000
解析：选 B 依题意，得每吨的成本为 ＝ ＋ －30，则 ≥2 · －30＝
x 10 x x 10 x
10，
x 4 000
当且仅当 ＝ ，即 x＝200 时取等号，
10 x
因此，当每吨成本最低时，年产量为 200 吨．
4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤
过程中废气中的污染物数量 P(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：时)之间的函数关系为 P
－
＝P kt0e (k，P0 均为正常数)．如果在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%，那么排
放前至少还需要过滤的时间是( )
1 5
A. 小时 B. 小时
2 9
C．5 小时 D．10 小时
解析：选 C 由题意，前 5 个小时消除了 90%的污染物．
－
∵P＝P e kt0 ，
－
∴(1－90%)P0＝P0e 5k，
－
∴0.1＝e 5k，即－5k＝ln 0.1，
1
∴k＝－ ln 0.1.
5
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－kt －由 1%P0＝P0e ，即 0.01＝e kt，得－kt＝ln 0.01，
1
∴ ln 0.1 5 t＝ln 0.01，∴t＝10.
∴排放前至少还需要过滤的时间为 t－5＝5(时)．
5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量 y(单位：只)与时间 x(单位：年)的关系式为 y
＝alog2(x＋1)，若这种动物第 1 年有 100 只，则到第 7 年它们发展到________只．
解析：由题意，得 100＝alog2(1＋1)，解得 a＝100，所以 y＝100log2(x＋1)，当 x＝7 时，
y＝100log2(7＋1)＝300，故到第 7 年它们发展到 300 只．
答案：300
6.某人根据经验绘制了从 12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西
红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象如图所示，则此
人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前 10 天满足一次函数关系，设为 y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析
10＝k＋b， 20 70 20 70 190
式得 解得 k＝ ，b＝ ，所以 y＝ x＋ ，则当 x＝6 时，y＝ .
30＝10k＋b， 9 9 9 9 9
190
答案：
9
7．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟
Q
类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：v＝a＋blog3 (其中 a，b 是实数)．据10
统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速
度为 1 m/s.
(1)求出 a，b 的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，求其耗氧量至少要多少个单位？
解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，
30
故有 a＋blog3 ＝0，即 a＋b＝0. 10
当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，
90
故 a＋blog3 ＝1，整理得 a＋2b＝1. 10
a＋b＝0， a＝－1，
解方程组 得
a＋2b＝1， b＝1.
Q Q
(2)由(1)知，v＝a＋blog3 ＝－1＋log3 . 10 10
所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v≥2，
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Q
所以－1＋log3 ≥2， 10
Q Q
即 log3 ≥3，解得 ≥27，即 Q≥270. 10 10
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位．
8.据气象中心观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直向正南方向
移动，其移动速度 v(单位：km/h)与时间 t(单位：h)的函数图象如图所示，
过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分
的面积为时间 t 内台风所经过的路程 s(单位：km)．
(1)当 t＝4 时，求 s 的值；
(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到 N 城，
如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知，直线 OA 的方程是 v＝3t(0≤t≤10)，直线 BC 的方程是 v＝－2t＋
70(201
当 t＝4 时，v＝12，所以 s＝ ×4×12＝24.
2
1 3
(2)当 0≤t≤10 时，s＝ ×t×3t＝ t2；
2 2
1
当 102
1
当 202
3
t
2，t∈[0，10]，
2
综上可知，s 随 t 变化的规律是 s＝ 30t－150，t∈(10，20]，
－t2＋70t－550，t∈(20，35].
3
(3)当 t∈[0,10]时，smax＝ ×102＝150<650， 2
当 t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，
当 t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650，
解得 t＝30 或 t＝40(舍去)，
即在台风发生 30 小时后将侵袭到 N 城．
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