资源简介

第十节 函 数与方程
一、基础知识
1．函数的零点
(1)零点的定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)零点的几个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 函
数 y＝f(x)有零点．
函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说
函数的零点不是一个点，而是一个实数.
2．函数的零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0，那么，
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)
＝0 的根．
函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变
号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的
充分不必要条件.
3．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二
分法．
第 135页/共1004页
二、常用结论
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
考点一 函数零点个数、所在区间
2
x －2x，x≤0，
[典例] (1)(2018·福建期末)已知函数 f(x)＝ 1 则函数 y＝f(x)＋3x 的零 1＋ ，x>0， x
点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
1
(2)设函数 f(x)＝ x－ln x，则函数 y＝f(x)( )
3
1
A．在区间 ，1 e ，(1，e)内均有零点
1
B．在区间 ，1 e ，(1，e)内均无零点
1C．在区间 ，1 e 内有零点，在区间(1，e)内无零点
1
D．在区间 ，1 e 内无零点，在区间(1，e)内有零点
[解析] (1)解方程法
令 f(x)＋3x＝0，
x>0，
x≤0，
则 或 1
2 x －2x＋3x＝0 1＋ ＋3x＝0， x
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
(2)法一：图象法
1 1
令 f(x)＝0 得 x＝ln x．作出函数 y＝ x 和 y＝ln x 的图象，如图，
3 3
第 136页/共1004页
1
显然 y＝f(x)在 ，1 e 内无零点，在(1，e)内有零点．
法二：定理法
1 1 1 x－3 1
当 x∈ ，e e 时，函数图象是连续的，且 f′(x)＝ － ＝ <0，所以函数 f(x)在
，e
3 x 3x e
上单调递减．
又 f
1 1 1 1
e ＝ ＋1>0，f(1)＝ >0，f(e)＝ e－1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内． 3e 3 3
[答案] (1)C (2)D
[解题技法] 掌握判断函数零点个数的 3 种方法
(1)解方程法
若对应方程 f(x)＝0 可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解
就对应有几个零点．
(2)定理法
利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶
性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法
合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看
其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
[题组训练]
1.[定理法]函数 f(x)＝x3－x2－1 的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选 C 函数 f(x)＝x3－x2－1 是连续函数．因为 f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(2)＝8－
4－1＝3>0，所以 f(1)f(2)<0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)．
x2 ＋x－2，x≤0，
2.[解方程法或图象法]函数 f(x)＝ 的零点个数为( )
－1＋ln x，x>0
A．3 B．2
C．7 D．0
解析：选 B 法一：(解方程法)
x≤0， x>0，
由 f(x)＝0 得
2 x ＋x－2＝0

或
－1＋ln x＝0，
第 137页/共1004页
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
法二：(图象法)
作出函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
3.[图象法]设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选 B 函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)
＝－x＋2 图象交点的横坐标所在区间．如图如示，可知 f(x)的零点所在的区
间为(1,2)．
考点二 函数零点的应用
考法(一) 已知函数零点个数求参数范围
ex ，x≤0，
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个 ln x，x>0，
零点，则 a 的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 令 h(x)＝－x－a，
则 g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出 y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．
若 g(x)存在 2 个零点，则 y＝f(x)的图象与 y＝h(x)的图象有 2 个交点，
平移 y＝h(x)的图象，可知当直线 y＝－x－a 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时 1＝－0－a，a
＝－1.
当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 上方，即 a<－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意．
当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 下方，即 a>－1 时，有 2 个交点，符合题意．
综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．
[答案] C
考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围
第 138页/共1004页
[典例] (2019·安庆摸底)若函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数 a 的取值范
围是________．
[解析] ∵函数 f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，
∴方程 4x－2x－a＝0 在[－1,1]上有解，
即方程 a＝4x－2x在[－1,1]上有解．
1 1
方程 a＝4x－2x可变形为 a＝ 2x－ 2 2 － ， 4
1
∵x∈[－1,1]，∴2x∈ ，2 2 ，
∴ 2x
1
－
1
2 1 － ，2
2 － ∈ 4 . 4
1
∴实数 a 的取值范围是 － ，2 4 .
1[答案] － ，2 4
[题组训练]
2
1．(2019·北京西城区模拟)若函数 f(x)＝2x－ －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a
x
的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
2 2
解析：选 C 因为函数 f(x)＝2x－ －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)＝2x－ －a
x x
的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，
即 a(a－3)<0，解得 0 x2
9
＋x－ ，x≤0，
2．已知函数 f(x)＝ 4 若方程 f(x)＝a 有两个不相等的实数根，则实数 x－2，x>0.
a 的取值范围是( )
5 9
A. － ，－ 2 4 ∪[－2，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C.
5 9
－ ，－
2 4 ∪(－2，＋∞)
D.
5 9
－ ，－
2 4 ∪(－2，＋∞)
解析：选 C 方程 f(x)＝a 有两个不相等的实数根等价于函数 y＝f(x)
的图象与直线 y＝a 有两个不同的交点，作出函数 f(x)的图象如图所示，
第 139页/共1004页
5 9
由图可知，a∈ － ，－ 2 4 ∪(－2，＋∞)．
[课时跟踪检测]
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log x B．y＝2x－1
1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
2
1
解析：选 B 函数 y＝log x 在定义域上单调递减，y＝x2－ 在(－1,1)上不是单调函数，
2
y＝－x3 在定义域上单调递减，均不符合要求．对于 y＝2x－1，当 x＝0∈(－1,1)时，y＝0 且
y＝2x－1 在 R 上单调递增．故选 B.
2．(2018·重庆一中期中)函数 f(x)＝ex＋x－3 在区间(0,1)上的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 B 由题知函数 f(x)是增函数．根据函数的零点存在性定理及 f(0)＝－2，f(1)
＝e－2>0，可知函数 f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选 B.
2
3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数 f(x)＝ln x－ 的零点所在的区间为( )
x2
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
2
解析：选 B 易知 f(x)＝ln x－ 的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．
x2
1
∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－ >0，
2
2
∴f(1)·f(2)<0，∴根据零点存在性定理知 f(x)＝ln x－ 2的零点所在的区间为(1,2)． x
4．若函数 f(x)＝ax＋1 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
解析：选 C 由题意知，f(－1)·f(1)＜0，
即(1－a)(1＋a)＜0，解得 a＜－1 或 a＞1.
5．已知实数 a＞1,0＜b＜1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选 B 因为 a＞1,0＜b＜1，所以 f(x)＝ax＋x－b 在 R 上是单调增函数，所以
1
f(－1)＝ －1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
a
第 140页/共1004页
6．若 a于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：选 A 由题意知 f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点的存在性定理可知函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
7．函数 f(x)＝|x－2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 C 由题意可知 f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直
角坐标系中作出函数 y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所示．
由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
e
x－a，x≤0，
8．(2019·郑州质量测试)已知函数 f(x)＝ (a∈R)，
2x－a，x>0
若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
解析：选 A 画出函数 f(x)的大致图象如图所示．因为函数 f(x)在 R
上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当 x≤0
时，f(x)有一个零点，需 00 时，f(x)有一个零点，需－a<0，
即 a>0.综上，02
9．已知函数 f(x)＝ x ＋a 的零点为 1，则实数 a 的值为______． 3 ＋1
2 1
解析：由已知得 f(1)＝0，即 1 ＋a＝0，解得 a＝－ . 3 ＋1 2
1
答案：－
2
xln x，x＞0，
10．已知函数 f(x)＝ 则 f(x)的零点为________． x2－x－2，x≤0，
解析：当 x＞0 时，由 f(x)＝0，即 xln x＝0 得 ln x＝0，解得 x＝1；当 x≤0 时，由 f(x)
＝0，即 x2－x－2＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.因为 x≤0，所以 x＝－1.
综上，函数 f(x)的零点为 1，－1.
答案：1，－1
11．(2019·太原模拟)若函数 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)
和区间(1,2)内，则实数 m 的取值范围是________．
第 141页/共1004页
m≠2，

解析：依题意并结合函数 f(x)的图象可知， f(－1)·f(0)<0，
f(1)·f(2)<0，
m≠2，

即 [m－2－m＋(2m＋1)](2m＋1)<0，
[m－2＋m＋ (2m＋1)][4(m－2)＋2m＋(2m＋1)]<0，
1 1
解得 4 2
1 1答案： ， 4 2
12．已知方程 2x＋3x＝k 的解在[1,2)内，则 k 的取值范围为________．
解析：令函数 f(x)＝2x＋3x－k，
则 f(x)在 R 上是增函数．
当方程 2x＋3x＝k 的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，
即(5－k)(10－k)<0，解得 5当 f(1)＝0 时，k＝5.
综上，k 的取值范围为[5,10)．
答案：[5,10)
13．已知 y＝f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数 y＝f(x)的解析式；
(2)若方程 f(x)＝a 恰有 3 个不同的解，求实数 a 的取值范围．
解：(1)设 x＜0，则－x＞0，
所以 f(－x)＝x2＋2x.又因为 f(x)是奇函数，
所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
2 x －2x，x≥0，
所以 f(x)＝
－x2－2x，x＜0.
(2)方程 f(x)＝a 恰有 3 个不同的解，
即 y＝f(x)与 y＝a 的图象有 3 个不同的交点．
作出 y＝f(x)与 y＝a 的图象如图所示，故若方程 f(x)＝a 恰有 3 个不
同的解，只需－1＜a＜1，
故实数 a 的取值范围为(－1,1)．
第 142页/共1004页

展开更多......

收起↑