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中考一轮复习——反比例函数
知识点1：反比例函数的概念
定义：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成或的形式．自变量x的取值范围是的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
「经典例题」
「例1」下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【答案】C
「举一反三」
「练1」下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是
A．xy= B．3x+2y=0
C．y= D．y=
【答案】A
知识点2：反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：
当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 1.反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x；2.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点．
反比例函数比例系数越大，图象离原点越远。
注意：
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
「经典例题」
「例2」在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x-k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】D
「例3」已知反比例函数y＝的图象具有下列特征：在所在的象限内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是　 　．
【答案】m<2
「例4」若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
【答案】B
「举一反三」
「练2」一次函数y＝ax﹣2和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
【答案】A
「练3」如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为
A．k1>k2>k3 B．k3>k1>k2
C．k2>k3>k1 D．k3>k2>k1
【答案】D
知识点3：反比例函数解析式的确定
1．待定系数法
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
「经典例题」
「例5」C1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，3），C2与C1关于y轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x<0）．
【答案】
「举一反三」
「练4」平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．
【答案】
「练5」
在平面直角坐标系中，等边△ABC如图放置，其中B（4，0），则过点A的反比例函数的表达式为　 　．
【答案】：
知识点4：反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
「经典例题」
「例6」如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
「例7」如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，则
A．8 B．6
C．4 D．2
【答案】B
「例8」已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB AC＝160，有下列四个结论：
①菱形OABC的面积为80；②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y＝（x＞0）；④sin∠COA＝．
其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
「举一反三」
「练6」如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是
A．一直不变 B．先增大后减小
C．先减小后增大 D．先增大后不变
【答案】A
「练7」如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣4，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为__________．
【答案】
「练8」如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y（k≠0）图象经过点C，且S△BEF=3，则k的值为__________．
【答案】k=24
知识点5：反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
「经典例题」
「例9」已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1A．x<-1或03
C．-13
【答案】：B
「例10」如图，已知直线y=–x+与双曲线y=（x>0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为
【答案】k=
「例11」如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，b）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
【答案】解：(1)把B（-2，b）代入一次函数y＝x+1中，，得b=-1
∴B(-2,-1)
把B(-2,-1)代入反比例函数y＝（k≠0）中，
∴k=1×2=2
∴反比例函数的解析式为：
(2) 由一次函数y＝x+1可知C的坐标为（-1，0），
由可得，A(1,2)
∵
∴
「举一反三」
「练9」如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线yx﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1（k>0，x>0），y2（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是__________．
【答案】k=2
「练10」如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
【答案】解：(1)把A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+3中，，得a=2
∴A(1,2)
把A（1,2）代入反比例函数y＝（k≠0）中，
∴k=1×2=2
∴反比例函数的解析式为：
(2)由一次函数y＝﹣x+3可知C的坐标为（3，0），
解，得或
∴B（2，1）
∴
∴
∴
∴
知识点6：反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
「经典例题」
「例12」为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　）
A．4月份的利润为50万元
B．9月份该厂利润达到200万元
C．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
【答案】D
「举一反三」
「练11」心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，　 　分钟时学生的注意力更集中．
（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．
（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？
【答案】（1）5
（2）设线段AB的解析式为：
把（10，50）和（0，30）代入得，
解得：
∴直线AB的解析式为：；
设双曲线CD解析式为:
把（20，50）代入得，
所以a=1000，
∴双曲线CD解析式为：
（3）当y=40时，2x+30=40，x=5
，x=25
∴25-5=20＞18
∴教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题
「2021年温州中考第9题」如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，连结 .若 ， ， ，则 的值为（ ）
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A. 2 B. C. D.
【答案】 B
【解析】解：如图，
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设OD=m，
∵
∴OC=
∵ 轴于点 ， 轴于点 ，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为 ，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵ 轴
∴A（ ，n）
∴ ，解得，n= ，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中， ，
由勾股定理得，
解得， （负值舍去）
∴
故答案为：B
【分析】设OD=m，根据题意求得k=m，设AC=n，则可得出A（ ，n），根据反比例函数的性质构建等式求出AE=AC=， 在Rt△AEF中，根据勾股定理构建方程求出m，即可求出k值.
「2021年宁波中考第9题」如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当 时，x的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】 C
【解析】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当 或 时，正比例函数 的图象在反比例函数 的图象的上方，
∴当 或 时， ，
故答案为：C.
「2021年宁波中考第15题」在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为________.
【答案】 或
【解析】解：根据题意，
∵点 称为点 的“倒数点”，
∴ ， ，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数 的图象上，
设点A为 ，则点B为 ，
∵点C为 ，
∴ ，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即 ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
故答案为： 或 .
「2021年绍兴中考第15题」如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标． 反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．
【答案】5或22.5
「2021年杭州中考第20题」在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点B。
（1）若点B的坐标为（-1，2），
①求，的值； ②当时，直接写出的取值范围；
（2）若点B在函数（是常数，）的图象上，求的值。
【解析】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2）
∵函数的图像经过点A
∴k1=2
同理，k2=2
②x＞1
（2）设点A的坐标是（a,b）,则点B的坐标是（-a,b）
∴k1=ab,k3=-ab
∴k1+k3=0
「2021年金华中考第23题」背景：点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B， 轴于点C，分别在射线 上取点 ，使得四边形 为正方形.如图1，点A在第一象限内，当 时，小李测得 . 【版权所有：21教育】
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
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（1）求k的值.
（2）设点 的横坐标分别为 ，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了 时“Z函数”的图象. 2-1-c-n-j-y
①求这个“Z函数”的表达式.
②补画 时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.
③过点 作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.
【解析】 （1）解：由题意得， ，
点A的坐标是 ，所以
（2）解：①设点A坐标为 ，所以点D的横坐标为 ，
所以这个“Z函数”表达式为 ；
②画出的图象如图，
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性质如下（答案不唯一）；
（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线
（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称.
（c）当 时，函数值z随自变量x的增大而增大，当 时，函数值z随自变量x的增大面增大.
③第一种情况，当过点 的直线与x轴垂直时， ；
第二种情况，当过点 的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为 ，
，即 ，
，
由题意得，
，
（a）当 时， ，解得 ；
（b）当 时， ，
解得 ，
当 时， .解得 ；
当 时， ，解
所以x的值为
「2021年湖州中考第24题」已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．
①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
【解析】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），
∴AE＝OF＝a，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥OF，
∴四边形AEFO是平行四边形；
②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥BD，
∴△AEO∽△BDO，
∴，
∴当k＝4时，，
即，
∴S△BOE＝2S△AOE＝1；
（2）不改变．
理由如下：
过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，
设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），
则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，
∵四边形AEGO是平行四边形，
∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，
∵∠EGO＝∠PGH，
∴∠EAO＝∠PGH，
又∵∠PHG＝∠AEO，
∴△AEO∽△GHP，
∴，
∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，
∴，
∴﹣k＝0，
解得，
∵a，b异号，k＞0，
∴，
∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．
考点突破
直通中考
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中考一轮复习——反比例函数
知识点1：反比例函数的概念
定义：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成或的形式．自变量x的取值范围是的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
「经典例题」
「例1」下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣
「举一反三」
「练1」下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是
A．xy= B．3x+2y=0
C．y= D．y=
知识点2：反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：
当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 1.反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x；2.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点．
反比例函数比例系数越大，图象离原点越远。
注意：
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
「经典例题」
「例2」在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x-k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是
A． B．
C． D．
「例3」已知反比例函数y＝的图象具有下列特征：在所在的象限内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是　 　．
「例4」若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
「举一反三」
「练2」一次函数y＝ax﹣2和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
「练3」如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为
A．k1>k2>k3 B．k3>k1>k2
C．k2>k3>k1 D．k3>k2>k1
知识点3：反比例函数解析式的确定
1．待定系数法
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
「经典例题」
「例5」C1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，3），C2与C1关于y轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x<0）．
「举一反三」
「练4」平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．
「练5」
在平面直角坐标系中，等边△ABC如图放置，其中B（4，0），则过点A的反比例函数的表达式为　 　．
知识点4：反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
「经典例题」
「例6」如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交比例函数y2＝（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
「例7」如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，则
A．8 B．6
C．4 D．2
「例8」已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，双曲线y＝（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB AC＝160，有下列四个结论：
①菱形OABC的面积为80；②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y＝（x＞0）；④sin∠COA＝．
其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
「举一反三」
「练6」如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是
A．一直不变 B．先增大后减小
C．先减小后增大 D．先增大后不变
「练7」如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣4，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为__________．
「练8」如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y（k≠0）图象经过点C，且S△BEF=3，则k的值为__________．
知识点5：反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
「经典例题」
「例9」已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1A．x<-1或03
C．-13
「例10」如图，已知直线y=–x+与双曲线y=（x>0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为
「例11」如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣2，b）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
「举一反三」
「练9」如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线yx﹣1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1（k>0，x>0），y2（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是__________．
「练10」如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
知识点6：反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
「经典例题」
「例12」为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　）
A．4月份的利润为50万元
B．9月份该厂利润达到200万元
C．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
「举一反三」
「练11」心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，　 　分钟时学生的注意力更集中．
（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．
（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？
「2021年温州中考第9题」如图，点 ， 在反比例函数 （ ， ）的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 轴于点 ，连结 .若 ， ， ，则 的值为（ ）
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A. 2 B. C. D.
「2021年宁波中考第9题」如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当 时，x的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
「2021年宁波中考第15题」在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为________.
「2021年绍兴中考第15题」如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标． 反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．
「2021年杭州中考第20题」在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点B。
（1）若点B的坐标为（-1，2），
①求，的值； ②当时，直接写出的取值范围；
（2）若点B在函数（是常数，）的图象上，求的值。
「2021年金华中考第23题」背景：点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B， 轴于点C，分别在射线 上取点 ，使得四边形 为正方形.如图1，点A在第一象限内，当 时，小李测得 . 【版权所有：21教育】
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.
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（1）求k的值.
（2）设点 的横坐标分别为 ，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了 时“Z函数”的图象. 2-1-c-n-j-y
①求这个“Z函数”的表达式.
②补画 时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.
③过点 作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.
「2021年湖州中考第24题」已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．
①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
考点突破
直通中考
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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