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第3章 函数（浙江省专用）
第11节 一次函数图象与性质
【考试要求】
1.了解一次函数和正比例函数的概念，会根据已知条件或运用待定系数法求一次函数的表达式；
2.会一次函数的图象并能根据图象解决相关的问题；
3.掌握一次函数的性质并能灵活运用其性质解决相关的问题.
【考情预测】
一次函数是中考非常重要的函数，年年考查，总分值为8-10分左右，预计2022年各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。.
【考点梳理】
1．有关概念：一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．一次函数的表达式通常用待定系数法来求．
2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线．
k>0 k<0
直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过(0，b)，两点的一条直线．
b>0 b<0 增减性
k>0 y随x的增大而增大
k<0 y随x的增大而减小
4．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当b>0时，向上平移|b|个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)．
5．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝.
【重难点突破】
考向1. 一次函数的概念及表达式
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级一模）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟，则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B．
【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2019 绍兴 中考真题）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．4
【分析】利用（1，4），（2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（a，10）代入解析式即可；
【详解】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y＝kx+b，
∴∴，∴y＝3x+1，将点（a，10）代入解析式，则a＝3；故选：C．
变式1-2．（2021·西安市九年级期末）已知是一次函数，则__________．
【答案】2
【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【详解】解：∵是一次函数，∴ 解得：m=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键．
变式1-3．（2021·江苏海陵·一模）已知点是一次函数图像上任意一点，则的值等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【分析】把点代入可得-2m+1=n，由此即可求解．
【详解】∵点是一次函数图象上任意一点，∴-2m+1=n，∴=1．故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，熟知一次函数图象上点满足一次函数的解析式是解决问题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2019 杭州 中考真题）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式　 　．
【分析】根据题意写出一个一次函数即可．
【详解】解：设该函数的解析式为y＝kx+b，
∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，
∴解得：，所以函数的解析式为y＝﹣x+1，故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．
2．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A．5 B．-5 C．7 D．-6
【答案】B
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a-2b+1的值．
【详解】解：∵点P（a，b）在一次函数的图象上，∴b=4a+3，
8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式的值等于-5．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足图象的解析式是关键．
3．（2021·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤m≤1
【分析】根据x＝y， 1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵x＝y，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故答案为：﹣3≤m≤1
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
4．（2021·安徽亳州·八年级月考）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y=x2+2 B． C．y=kx+b D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义求解即可．一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），叫做一次函数．其中x是自变量，y是因变量．
【详解】解：A、y=x2+2是二次函数，不符合题意；B、是一次函数，符合题意；
C、y=kx+b中k的值有可能等于零，∴不一定是一次函数，不符合题意；
D、是反比例函数，不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义．一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），叫做一次函数．其中x是自变量，y是因变量．
5．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）一次函数的图像过点下列关于的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将点分别代入解析式中，解得的值，再求差．
【详解】解：将点分别代入解析式中，
．故选：B．
【点睛】本题考查一次函数，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
考向2. 一次函数的图象
【典例精析】
【例】（2019 杭州 中考真题）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）
A． B．C．D．
【分析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．
【详解】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．
∴直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；
B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．
∴直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；
C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．
∴直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；
D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，
∴直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．
【变式训练】
变式2-1. （2020 嘉兴 中考真题）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．
【详解】解：由题意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．故选：B．
变式2-2. （2020 杭州 中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求得解析式即可判断．
【详解】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），故选：A．
变式2-3. （2021 西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
【思路点拨】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【答案】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
∴﹣a＞0，﹣c＜0，∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
【考点巩固训练】
1．（2021 临安区期末）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝3x﹣k的图象大致是（　　）
A．B．C． D．
【思路点拨】根据图象分别确定k的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．
【答案】解：根据图象知：第二个函数一次项系数为正数，故图象必过一、三象限，而y＝kx必过一三或二四象限，A、k＜0，﹣k＜0．解集没有公共部分，所以不可能，故此选项错误；
B、k＜0，﹣k＞0．解集有公共部分，所以有可能，故此选项正确；
C、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误；
D、正比例函数的图象不对，所以不可能，故此选项错误．故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象，一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
2．（2021 潍坊期末）能表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数且m≠0）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】对于各选项：先通过一次函数的性质确定m、n的符合，从而得到mn的符合，然后根据正比例函数的性质对正比例函数图象进行判断，从而可确定该选项是否正确．
【答案】解：A、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项错误；B、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B选项错误；C、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项正确；D、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误．故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数图象：正比例函数y＝kx经过原点，当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限．也考查了一次函数的性质．
3．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况．
【详解】反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．故选D
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键．
4．（2021·湖南长沙市·中考真题）下列函数图象中，表示直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而增大，则可排除选项，当时，，则可排除选项，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
考向3. 一次函数的性质
【典例精析】
【例】（2021 西湖区校级月考）已知一次函数y＝（3﹣m）x+2m﹣9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数．（1）求m的值．（2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
【思路点拨】（1）先根据一次函数y＝（3m﹣8）x+1﹣m的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小关于m的不等式组，求出m的取值范围即可；（2）根据﹣1≤x≤2列出关于y的不等式，通过解不等式求得y的取值范围．
【答案】解：（1）∵一次函数y＝（3﹣m）x+2m﹣9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，∴，解得3＜m＜4.5，∵m为整数，∴m＝4．
（2）由（1）知，m＝4，则该一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1．
∵﹣1≤x≤2，∴﹣3≤﹣x﹣1≤0，即y的取值范围是﹣3≤y≤0．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时y随x的增大而减小，且函数与y轴负半轴相交是解答此题的关键．
【变式训练】
变式3-1. （2021·辽宁中考真题）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
变式3-2. （2020·广东广州市·中考真题）一次函数的图象过点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可．
【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小．故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．
变式3-3.（2020·江苏南通市·中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）．
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【详解】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东中考真题）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
【答案】y=-x+1（答案不唯一）．
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据函数的性质得出b=1，k＜0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．
【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b，∵函数的图象经过点（0，1），∴b=1，
∵y随x的增大而减小，∴k＜0，取k=-1，∴y=-x+1，此函数图象不经过第三象限，
∴满足题意的一次函数解析式为：y=-x+1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
2．（2021·广西柳州市·中考真题）若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．y随x的增大而增大 D．时，
【答案】B
【分析】先根据图像中过两点，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可．
【详解】首先将代入一次函数解析式，得
，解得，所以解析式为 ；
A、,由求出的，可知此选项错误；B、，由求出的，可知此选项正确；
C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、将x=3代入， ，故此选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解析式中系数 的关系是解题关键．
3．（2021·四川眉山市·中考真题）一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意，先根据一次函数的性质得出关于的不等式，再解不等式即可．
【详解】解：一次函数的值随值的增大而减少，
，解得：，故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是：熟知一次函数的增减性．
4．（2021·辽宁营口市·中考真题）已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B． C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【答案】C
【分析】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】解：∵一次函数过点，∴，解得，
∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误；
当时，，故C正确；该一次函数与x轴交于点，与y轴交于点，
∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D错误；故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
5．（2021 海宁市二模）已知：实数x满足2a﹣3≤x≤2a+2，y1＝x+a，y2＝﹣2x+a+3，对于每一个x，p都取y1，y2中的较大值．若p的最小值是a2﹣1，则a的值是（　　）
A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．1或2 D．2或﹣3
【思路点拨】先求出两直线的交点坐标（1，2），然后利用函数图象可判断对任意一个x，p都取y1，y2中的最大值，p的最小值为2．
【答案】解：解方程x+a＝﹣2x+a+3，解得x＝1，当x＝1时，y1＝a+1，
所以直线y1＝x+a，y2＝﹣2x+a+3的交点坐标为（1，a+1），
所以对任意一个x，若p都取y1，y2中的最大值，则p的最小值是a+1．
所以a2﹣1＝a+1所以（a﹣2）（a+1）＝0．所以a＝2或a＝﹣1．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
6．（2021·湖北中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一 二 三象限
C．函数，y随x增大而增大 D．函数，y随x增大而减小
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】A、函数的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线经过第一 二 四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数，随增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数，随增大而增大，则此项说法错误，不符题意；故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
考向4. 用待定系数法确定一次函数的解析式
【典例精析】
【例】（2021·安徽中考真题）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【答案】B
【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解．
【详解】解：设，分别将和代入可得： ，解得 ，
∴，当时，，故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式训练】
变式4-1. （2021·上海金山·二模）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法把（1，-2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．
【详解】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入，得：，
∴正比例函数的解析式为.故选B.
变式4-2. （2021·湖北蔡甸·二模）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表：
… 0 1 2 …
… 4 1 …
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论．（或描点连线，亦可找出不在直线上那点的纵坐标）．
【详解】解：设该一次函数的解析式为（），
将，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为．
当时，；当时，；当时，．∴C错误．故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
变式4-3. （2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
【详解】解：正方形中，过点作轴于点，
设直线所在的直线解析式为，代入，得
，故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·山西太原·二模）已知点在直线上，点在直线上，与关于轴对称．则和的交点坐标为__________．
【答案】
【分析】先求出点（2，0）关于y轴对称点，由对称性可知点（-2，0）在直线上，利用待定系数法求出直线表达式为，求出y轴交点坐标即可．
【详解】解： 点（2，0）关于y轴对称点为点（-2，0），
∵点在直线上，与关于轴对称，∴点（-2，0）在直线上，
又点在直线上，设直线表达式为，
代入点的坐标得，解方程组得，∴直线表达式为，
∵轴是与对称轴，∴和的交点在y轴上，∴当x=0时，，
∴和的交点坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．
【点睛】本题考查轴对称性质，关于y轴对称点的坐标求法，待定系数法求直线表达式，函数与坐标轴的交点坐标求法，掌握轴对称性质，关于y轴对称点的坐标求法，待定系数法求直线表达式，函数与坐标轴的交点坐标求法是解题关键．
2．（2021·天津南开·三模）若一次函数（b为常数）的图象过点，且与的图象平行，这个一次函数的解析式为_______．
【答案】
【分析】根据一次函数图象平行的性质求出k的值，再将点代入求出b的值即可得到答案．
【详解】解：∵的图象与的图象平行，∴k=1，∴，
将点（5,4）代入，得5+b=4，解得：b=-1，∴这个一次函数的解析式为，故答案为：．
【点睛】此题考查一次函数图象平行的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确理解直线平行的性质是解题的关键．
3．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知解析式求出点A、B的坐标，根据过原点且将的面积平分列式计算即可；
【详解】如图所示，
当时，，解得：，∴，当时，，∴，
∵C在直线AB上，设，∴，，
∵且将的面积平分，∴，
∴，∴，解得，∴，
设直线的解析式为，则，∴；故答案选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．
4．（2021·上海浦东新·模拟预测）如果一次函数的图象平行于直线y＝2x，且与y轴相交于点（0，﹣5），那么这个一次函数的解析式是_____．
【答案】y＝2x﹣5
【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝2x，∴k＝2，
∵与y轴交于点（0，﹣5），∴b＝﹣5，∴此一次函数的解析式为y＝2x﹣5．答案为：y＝2x﹣5．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，熟知平行直线的k相等是解答的关键．
5．（2021·辽宁大连市·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边BC上，点F在边的延长线上，设，，当时，y关于x的函数解析式为__________．
【答案】
【分析】过点E作EH⊥AF于点H，由题意易得AB=EH=2，BE=AH=x，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：过点E作EH⊥AF于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴，∴四边形是矩形，
∵，，∴
∵，，∴，
在Rt△EHF中，由勾股定理可得，化简得：，
∴当时，y关于x的函数解析式为；故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及函数是解题的关键．
考向5. 一次函数的图象变换
【典例精析】
【例】（2021·湖北黄石市·中考真题）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1， 3)，则的值为______．
【答案】3
【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点(1， 3)的坐标代入求值即可．
【详解】解：将一次函数y=-x+1的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到，
把(1， 3)代入，得到：，解得m=3．故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
【变式训练】
变式5-1. （2021 婺城区期末）将直线y＝3x向左平移2个单位所得的直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3（x﹣2） D．y＝3（x+2）
【思路点拨】根据函数左右平移的规律：“左加右减”可得出平移后的函数解析式，即可得出答案．
【答案】解：将直线y＝3x向左平移2个单位所得的直线的解析式为：y＝3（x+2）．故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，解答本题关键是掌握平移的法则：“左加右减”，“上加下减”，属于基础题，难度一般．
变式5-2. （2021·四川苍溪·一模）将一次函数的图象绕原点顺时针旋转90°，所得图象对应的函数解析式是______．
【答案】
【分析】利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【详解】解：在一次函数中，令，则，令，则，
∴直线经过点，将一次函数的图像绕点顺时针旋转90°，
则的对应点，的对应点为，设对应的函数解析式为：，
将点代入得：，解得，
∴旋转后对应的函数解析式为：，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数图像与几何变换，掌握旋转的性质是解题关键．
变式5-3.（2021 龙湾区一模）如图，点P（﹣2，3）向右平移n个单位后落在直线y＝2x﹣1上的点P′处，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拨】根据向右平移横坐标相加，纵坐标不变得出点P′的坐标，再将点P′的坐标代入y＝2x﹣1，即可求出n的值．
【答案】解：∵将点P（﹣2，3）向右平移n个单位后落在点P′处，∴点P′（﹣2+n，3），
∵点P′在直线y＝2x﹣1上，∴2（﹣2+n）﹣1＝3，解得n＝4．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点P′的坐标是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·天津中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____．
【答案】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】将直线y=-6x向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为y=-6x-2．故答案为y=-6x-2．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移变换．掌握其规律 “左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
2．（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．
【答案】y=2x＋7
【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．
【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得2=b∴原一次函数解析式为y=2x＋2
将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7
故答案为：y=2x＋7．
【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．
3．（2021 上虞区期末）把函数y＝x的图象向上平移3个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是（　　）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
【思路点拨】直接根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，然后把x＝2代入求得函数值即可判断．
【答案】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝x向上平移3个单位所得直线的解析式为：y＝x+3，当x＝2时，y＝2+3＝5，所以在平移后的直线上的是（2，5），故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
4．（2021 西湖区一模）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是 　．
【思路点拨】直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x+3+m，求出直线y＝﹣x+3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【答案】解：方法一：
直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x+3+m，联立两直线解析式得：，
解得：，即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，∴，解得：m＞1．故答案为：m＞1．
方法二：如图所示：把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，
则m的取值范围是m＞1．故答案为：m＞1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．
5．（2021 嘉兴二模）如图，已知直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，将这条直线平移，与x轴，y轴分别交于点C，D．若DC＝DB，则直线CD的函数表达式为　 1　
【思路点拨】求得B的坐标，进而求得C的坐标，然后根据平移的性质求直线CD的解析式．
【答案】解：由直线y＝x+1可知B（﹣2，0），∵DC＝DB，AD⊥BC，∴OC＝OB＝2，∴BC＝4，
将这直线平移与x轴，y轴分别交于点C，D．若DC＝DB，因为平移后的图形与原图形平行，
故平移以后的函数解析式为：y＝（x﹣4）+1，即y＝x﹣1．故答案为y＝x﹣1．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
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第3章 函数（浙江省专用）
第11节 一次函数图象与性质
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·成都市·中考模拟）下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确；
（2）y＝x﹣1符合一次函数的定义，故正确；（3）y＝属于反比例函数，故错误；
（4）y＝x2属于二次函数，故错误．综上所述，一次函数的个数是2个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得y与x的函数关系式，然后令y＝7.5，求出x的值，即此时x的值就是a的值，本题得以解决．
【详解】解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，解得，，即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，
当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，即a的值为3，故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
3．（2021·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
【答案】A
【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后
得到的解析式为：，化简得：，
∵平移后得到的是正比例函数的图像，∴，解得：，故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．
4．（2021 余杭区期末）已知坐标平面内的点A（3，2），B（1，3），C（﹣1，﹣6），D（2a，4a﹣4）中只有一点不在直线l上，则这一点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【思路点拨】先求出直线AB和直线AC的解析式，再把点D（2a，4a﹣4）分别代入看是否符合即可．
【答案】解：设直线AB为y＝kx+b，把点A（3，2），B（1，3）代入得，解得：，
即直线AB为：y＝﹣x+．由x＝2a时，y＝﹣×2a+＝a+≠4a﹣4可知，点B不在此函数图象上；设直线AC为y＝mx+n，把点A（3，2），C（﹣1，﹣6）代入得，解得，
即直线AC为：y＝2x﹣4，由x＝2a时，y＝2×2a﹣4＝4a﹣4可知，点P在此函数图象上；
故A（3，2），C（﹣1，﹣6），D（2a，4a﹣4）在一条直线l上，点B不在直线l上，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
5．（2021 黄岩区二模）对于一次函数y＝3x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、三象限 B．函数值y随x的增大而增大
C．函数图象与直线y＝3x相交 D．函数图象与y轴交于点（0，）
【思路点拨】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【答案】解：∵一次函数y＝3x﹣1，∴该函数图象经过第一、三、四象限，故选项A错误，
函数值y随x的增大而增大，故选项B正确；函数图象与y＝3x互相平行，故选项C错误；
函数图象与y轴 交于点（0，﹣1），故选项D错误，故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．（2021 西湖区期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A．a2+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2≥0 D．a+b＞0
【思路点拨】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．
【答案】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，
a2+b＞0，故A正确，a﹣b＜0，故B错误，a+b2＞0，不可能等于0，故C错误，a+b不一定大于0，故D错误．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．
7．（2021·贵州安顺市·中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线，其中，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【分析】因为题中已知，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题．
【详解】解：∵直线，其中
∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，∴这5条直线最多有7个交点，
第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，
∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，故选：B．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交于一点．
8．（2020·山东济南市·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数中的对函数图像的影响是解题的关键 ．
9．（2021·湖北硚口·模拟预测）俗话说“困难像弹簧，你弱它就强”小明在研究弹簧的长度与所挂重物的关系时，发现在弹性限度内（单位：cm）与它所挂的物体重量x（单位：kg）之间是一次函数关系，小明记录了四次弹簧长度与物重的数据其中一组数据记录错误，它是（ ）
组数 1 2 3 4
x（kg） 4 8 10 12
y（cm） 15.8 16.6 17 17.6
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
【答案】D
【分析】先用待定系数法求出函数解析式，再把数据代进去验证即可．
【详解】解：设该一次函数的解析式为：，
将和得：，解得：，∴，
当x＝4时，y＝0.2×4+15＝15.8，在直线上，记录正确，
当x＝8时，y＝0.2×8+15＝16.6，在直线上，记录正确，
当x＝10时，y＝0.2×10+15＝17，在直线上，记录正确，
当x＝12时，y＝0.2×12+15＝17.4，而记录是17.6与计算结果不符，
∴记录错误的是第四组，故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，关键是求出解析式，对数据进行分析．
10．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）已知点是直线上一点，的横坐标为1，若点N与点关于轴对称，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“点是直线上一点，的横坐标为1”求出点M的坐标，最后根据“点N与点关于轴对称”求解即可．
【详解】解：∵点是直线上一点，的横坐标为1，∴∴
∵点N与点关于轴对称∴ 故选：D
【点睛】考查关于坐标轴对称的点的规律，关键是掌握点的坐标的变化规律．
11．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y随x的增大而增大．
∵2<，∴．∴m【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．
12．（2020·四川内江市·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】∵，∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，∴2t+2>2，当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
二、填空题
13．（2021·上海中考真题）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润．
【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为，将（5，4k），（10，k）代入关系式： ，解得 ∴
令，则 ∴利润=
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量．
14．（2021·四川双流·二模）已知点A的坐标为和点B的坐标为都在一次函数图象上，则的值为________．
【答案】4
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出y1，y2的值，作差后即可求出结论．
【详解】解：当x=a时，y1=4a-2；当x=a+1时，y2=4（a+1）-2=4a+2．
∴y2-y1=4a+2-（4a-2）=4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出y1，y2的值是解题的关键．
15．（2021·江苏连云港·模拟预测）已知点P(a，b)在直线上，点Q(﹣a，2b)在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1=______．
【答案】1．
【详解】分析：先根据题意得出关于a的方程组，求出a，b的值代入代数式进行计算即可．
解析：∵点P（a，b）在直线上，点Q（﹣a，2b）在直线y=x+1上，
∴，解得，∴原式=﹣4×﹣1=1．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
16．（2021·上海中考真题）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．
【答案】（且即可）
【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．
【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限，∴k<0，
当经过时，k=-1，由题意函数不经过，说明k≠-1，
故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)．
【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限．
17．（2021·江苏苏州市·中考真题）若，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0
∵，∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，∴故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
18．（2021 下城区期末）点A（1，n1），点B（2，n2）在一次函数y1＝k1x+b1图象上：点c（3，n3），点D（4，n4）在一次函数y2＝k2x+b2图象上，y1和y2图象交点坐标是（m，n）．若n4＜n1＜n3＜n2，则下列说法：①k1＞0，k2＜0；②k1＜0，k2＞0；③1＜m＜3；④2＜m＜4，正确的是　①③　（填序号）．
【思路点拨】由一次函数的增减性，可判断k1＞0，k2＜0；再结合函数的图象可求1＜m＜3．
【答案】解：∵n4＜n1＜n3＜n2，∴k1＞0，k2＜0；如图：1＜m＜3；故答案为①③．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
19．（2021·江苏·泰州中学附属初中二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是____________．
【答案】
【分析】由△ABO的重心可得如图所示，则有点G即为△ABO的重心，由题意可得：，则由中点坐标公式可得：，然后分别求出直线BC与OD的解析式，进而问题可求解．
【详解】解：由△ABO的重心可得如图所示：
∴点G即为△ABO的重心，由题意可得：，∴由中点坐标公式可得：，
设直线OD的解析式为，把点D代入则有：，解得：，∴直线OD的解析式为，
设直线BC的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，
解得：，∴直线BC的解析式为，
∴联立直线BC、OD的解析式可得：，解得：，
∴点G的坐标为；故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形的重心及一次函数的性质，熟练掌握三角形的重心及一次函数的性质是解题的关键．
20．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________．
【答案】
【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式.
【详解】因为一次函数的图像分别交、轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是．
【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
三、解答题
21．（2020 嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x ..... 1 2 3 4 5 6 ......
y ...... 6 3 2 1.5 1.2 1 ......
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式．
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为；
（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
22．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解．
【详解】解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为；
（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：
，解得：，函数图象如图所示：
∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
23．（2021 临安区期末）在平面直角坐标系xOy中，将一次函数的图象y＝2x﹣2沿着坐标轴平移一次（上下移动或左右移动均可）经过点（2，0）．（1）写出平移一次的方法；（2）平移后得到的直线与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点A，求点A的坐标．
【思路点拨】（1）根据一次函数的平移性质解答即可；（2）得出平移后的解析式，进而解答即可．
【答案】解：（1）将一次函数的图象y＝2x﹣2沿着坐标轴平移一次（上下移动或左右移动均可）经过点（2，0）．可得解析式为：y＝2x﹣4，
即可将直线y＝2x﹣2沿x轴向右平移1个单位或将直线y＝2x﹣2沿y轴向下平移2个单位；
（2）因为平移后的直线解析式为：y＝2x﹣4，与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点A，
联立方程组可得：，解得：，所以A点坐标为（，）
【点睛】此题主要考查了一次函数平移变换，得出A点坐标是解题关键．
24．（2021 金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点B在直线l：yx上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由BC⊥AB,CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB,故∠ADB＝∠COD,从而可得∠COD＝∠CDO,CD＝CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m,m),可得tan∠OMN＝tan∠AOM,即，设AM＝3n,则OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，ABAM＝3，BCBO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC；
（2）（一）过A作AM⊥OB于M,当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x,则BM＝|8﹣x|,AB,由△AMB∽△BOC,,即,得OC,BC,以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若,OB＝4；②若,OB＝4或OB＝4或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x,则BM＝8+x,AB,由△AMB∽△BOC,,即,得OC (8+x),以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足,即,可得OB＝1．
【详解】（1）①证明：∵BC⊥AB,CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BCO＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO,∴∠BAD＝∠DOB,∴∠ADB＝∠COD,
∵∠ADB＝∠CDO,∴∠COD＝∠CDO,∴CD＝CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：
∵M在直线l：yx上，设M（m,m),∴MN＝|m|＝﹣m,ON＝|m|m,
Rt△MON中，tan∠OMN,而OA∥MN,∴∠AOM＝∠OMN,∴tan∠AOM,即，
设AM＝3n,则OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，
又A的坐标为（，0），∴OA，∴(3n)2+(8n)2＝()2,解得n＝1（n＝﹣1舍去），
∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB,∠CBO＝45°,∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，ABAM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BCBO＝5，
∴S△ABCAB BC＝15，S△BOCBO CO，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC；
（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似,理由如下：
（一）过A作AM⊥OB于M,当B在线段OM或OM延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x,则BM＝|8﹣x|,AB,
∵CO⊥BO，AM⊥BO,AB⊥BC,∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO,
∴△AMB∽△BOC,∴,即,∴OC,
Rt△BOC中，BC,
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若,则,解得x＝4,∴此时OB＝4；
②若,则,解得x1＝4,x2＝4,x3＝9,x4＝﹣1(舍去），
∴OB＝4或OB＝4或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x,则BM＝8+x,AB,
∵CO⊥BO，AM⊥BO,AB⊥BC,∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO,
∴△AMB∽△BOC,∴,即,∴OC (8+x),
Rt△BOC中，BC ,∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足,即,
解得x1＝﹣9(舍去）,x2＝1,∴OB＝1，
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4或4或9或1；
25．（2019 温州）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连接OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，进而求出OE的长；
（2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由tan∠EOF和nm+4，可得结论；
（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝2，根据Q3（﹣4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式，根据s和t都不是负数，确定t的取值；
②分三种情况：（i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；（ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN，列方程为2t﹣2，可得t的值．（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．
【详解】解：（1）令y＝0，则x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），
∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC4，
又∵E为BC中点，∴OEBC＝2；
（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，
∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EMOB＝4，OEBC＝2
∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE∴△CDN∽△MEN，
∴1，∴CN＝MN＝1，∴EN，
∵S△ONEEN OFON EM，∴OF，
由勾股定理得：EF，
∴tan∠EOF，∴，
∵nm+4，∴m＝6，n＝1，∴Q2（6，1）；
（3）①∵动点P、Q同时作匀速直线运动，∴s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，
∵当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，∴t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，
∴s＝Q3C2，∵Q3（﹣4，6），Q2（6，1），∴t＝4时，s5，
将和代入得，解得：，∴s，
∵s≥0，t≥0，且0，∴s随t的增大而增大，
当s≥0时，0，即t，当t时，Q3与Q重合，
∵点Q在线段Q2Q3上，综上，s关于t的函数表达式为：s（t≤4）；
②（i）当PQ∥OE时，如图2，∠QPB＝∠EOB＝∠OBE，作QH⊥x轴于点H，则PH＝BHPB，
Rt△ABQ3中，AQ3＝6，AB＝4+8＝12，∴BQ36，
∵BQ＝6s＝6t7t，∵cos∠QBH，
∴BH＝14﹣3t，∴PB＝28﹣6t，∴t+28﹣6t＝12，t；
（ii）当PQ∥OF时，如图3，过点Q作QG⊥AQ3于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，
由△Q3QG∽△CBO得：Q3G：QG：Q3Q＝1：2：，
∵Q3Q＝st，∴Q3Gt﹣1，GQ＝3t﹣2，∴PH＝AG＝AQ3﹣Q3G＝6﹣（t﹣1）＝7t，
∴QH＝QG﹣AP＝3t﹣2﹣t＝2t﹣2，∵∠HPQ＝∠CDN，∴tan∠HPQ＝tan∠CDN，
∴2t﹣2，t，
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行，
综上，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为或．
26．（2019 衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x1，y2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【分析】（1）x（﹣1+7）＝2，y（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x（t+3），y（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）x（﹣1+7）＝2，y（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；
（2）①由题意得：x（t+3），y（2t+3），则t＝3x﹣3，则y（6x﹣6+3）＝2x﹣1；
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，
点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），
由点T是点D，E的融合点得：t，2t﹣1，解得：t，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，
则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，如图3所示，
过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，
则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，
D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（，）则MT＝3，MD，
NE2t﹣3，NTt，
由tan∠MDT＝tan∠NTE得：，解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．
故点E（，6）或（6，15）．
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第3章 函数（浙江省专用）
第11节 一次函数图象与性质
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·成都市·中考模拟）下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝；（4）y＝x2，其中一次函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
4．（2021 余杭区期末）已知坐标平面内的点A（3，2），B（1，3），C（﹣1，﹣6），D（2a，4a﹣4）中只有一点不在直线l上，则这一点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．（2021 黄岩区二模）对于一次函数y＝3x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过第一、二、三象限 B．函数值y随x的增大而增大
C．函数图象与直线y＝3x相交 D．函数图象与y轴交于点（0，）
6．（2021 西湖区期末）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A．a2+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2≥0 D．a+b＞0
7．（2021·贵州安顺市·中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线，其中，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
8．（2020·山东济南市·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021·湖北硚口·模拟预测）俗话说“困难像弹簧，你弱它就强”小明在研究弹簧的长度与所挂重物的关系时，发现在弹性限度内（单位：cm）与它所挂的物体重量x（单位：kg）之间是一次函数关系，小明记录了四次弹簧长度与物重的数据其中一组数据记录错误，它是（ ）
组数 1 2 3 4
x（kg） 4 8 10 12
y（cm） 15.8 16.6 17 17.6
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
10．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）已知点是直线上一点，的横坐标为1，若点N与点关于轴对称，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
12．（2020·四川内江市·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
二、填空题
13．（2021·上海中考真题）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．
14．（2021·四川双流·二模）已知点A的坐标为和点B的坐标为都在一次函数图象上，则的值为________．
15．（2021·江苏连云港·模拟预测）已知点P(a，b)在直线上，点Q(﹣a，2b)在直线y=x+1上，则代数式a2﹣4b2﹣1=______．
16．（2021·上海中考真题）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．
17．（2021·江苏苏州市·中考真题）若，且，则的取值范围为______．
18．（2021 下城区期末）点A（1，n1），点B（2，n2）在一次函数y1＝k1x+b1图象上：点c（3，n3），点D（4，n4）在一次函数y2＝k2x+b2图象上，y1和y2图象交点坐标是（m，n）．若n4＜n1＜n3＜n2，则下列说法：①k1＞0，k2＜0；②k1＜0，k2＞0；③1＜m＜3；④2＜m＜4，正确的是　①③　（填序号）．
19．（2021·江苏·泰州中学附属初中二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是____________．
20．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________．
三、解答题
21．（2020 嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x ..... 1 2 3 4 5 6 ......
y ...... 6 3 2 1.5 1.2 1 ......
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
22．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
23．（2021 临安区期末）在平面直角坐标系xOy中，将一次函数的图象y＝2x﹣2沿着坐标轴平移一次（上下移动或左右移动均可）经过点（2，0）．（1）写出平移一次的方法；（2）平移后得到的直线与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点A，求点A的坐标．
24．（2021 金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点B在直线l：yx上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
25．（2019 温州）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连接OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
26．（2019 衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x1，y2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
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第3章 函数（浙江省专用）
第11节 一次函数图象与性质
【考试要求】
1.了解一次函数和正比例函数的概念，会根据已知条件或运用待定系数法求一次函数的表达式；
2.会一次函数的图象并能根据图象解决相关的问题；
3.掌握一次函数的性质并能灵活运用其性质解决相关的问题.
【考情预测】
一次函数是中考非常重要的函数，年年考查，总分值为8-10分左右，预计2022年各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。.
【考点梳理】
1．有关概念：一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．一次函数的表达式通常用待定系数法来求．
2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线．
k>0 k<0
直线经过第一、三象限 直线经过第二、四象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为过(0，b)，两点的一条直线．
b>0 b<0 增减性
k>0 y随x的增大而增大
k<0 y随x的增大而减小
4．正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当b>0时，向上平移|b|个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位．当把直线y＝kx向左平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x＋a)；当把直线向右平移a个单位(a>0)，则变为直线y＝k(x－a)．
5．一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为(0，b)，这条直线与两坐标轴围成的三角形面积S△＝|b|·＝.
【重难点突破】
考向1. 一次函数的概念及表达式
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级一模）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【变式训练】
变式1-1．（2019 绍兴 中考真题）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．4
变式1-2．（2021·西安市九年级期末）已知是一次函数，则__________．
变式1-3．（2021·江苏海陵·一模）已知点是一次函数图像上任意一点，则的值等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【考点巩固训练】
1．（2019 杭州 中考真题）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式　 　．
2．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A．5 B．-5 C．7 D．-6
3．（2021·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
4．（2021·安徽亳州·八年级月考）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y=x2+2 B． C．y=kx+b D．
5．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）一次函数的图像过点下列关于的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
考向2. 一次函数的图象
【典例精析】
【例】（2019 杭州 中考真题）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）
A． B．C．D．
【变式训练】
变式2-1. （2020 嘉兴 中考真题）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
变式2-2. （2020 杭州 中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
变式2-3. （2021 西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　）
A．B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021 临安区期末）在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝3x﹣k的图象大致是（　　）
A．B．C． D．
2．（2021 潍坊期末）能表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数且m≠0）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·湖南长沙市·中考真题）下列函数图象中，表示直线的是（ ）
A． B． C． D．
考向3. 一次函数的性质
【典例精析】
【例】（2021 西湖区校级月考）已知一次函数y＝（3﹣m）x+2m﹣9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数．（1）求m的值．（2）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．
【变式训练】
变式3-1. （2021·辽宁中考真题）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式3-2. （2020·广东广州市·中考真题）一次函数的图象过点，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式3-3.（2020·江苏南通市·中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【考点巩固训练】
1．（2021·山东中考真题）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
2．（2021·广西柳州市·中考真题）若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．y随x的增大而增大 D．时，
3．（2021·四川眉山市·中考真题）一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是______．
4．（2021·辽宁营口市·中考真题）已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B． C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2
5．（2021 海宁市二模）已知：实数x满足2a﹣3≤x≤2a+2，y1＝x+a，y2＝﹣2x+a+3，对于每一个x，p都取y1，y2中的较大值．若p的最小值是a2﹣1，则a的值是（　　）
A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．1或2 D．2或﹣3
6．（2021·湖北中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一 二 三象限
C．函数，y随x增大而增大 D．函数，y随x增大而减小
考向4. 用待定系数法确定一次函数的解析式
【典例精析】
【例】（2021·安徽中考真题）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【变式训练】
变式4-1. （2021·上海金山·二模）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
变式4-2. （2021·湖北蔡甸·二模）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表：
… 0 1 2 …
… 4 1 …
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
变式4-3. （2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【考点巩固训练】
1．（2021·山西太原·二模）已知点在直线上，点在直线上，与关于轴对称．则和的交点坐标为__________．
2．（2021·天津南开·三模）若一次函数（b为常数）的图象过点，且与的图象平行，这个一次函数的解析式为_______．
3．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海浦东新·模拟预测）如果一次函数的图象平行于直线y＝2x，且与y轴相交于点（0，﹣5），那么这个一次函数的解析式是_____．
5．（2021·辽宁大连市·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边BC上，点F在边的延长线上，设，，当时，y关于x的函数解析式为___．
考向5. 一次函数的图象变换
【典例精析】
【例】（2021·湖北黄石市·中考真题）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1， 3)，则的值为______．
【变式训练】
变式5-1. （2021 婺城区期末）将直线y＝3x向左平移2个单位所得的直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3（x﹣2） D．y＝3（x+2）
变式5-2. （2021·四川苍溪·一模）将一次函数的图象绕原点顺时针旋转90°，所得图象对应的函数解析式是______．
变式5-3.（2021 龙湾区一模）如图，点P（﹣2，3）向右平移n个单位后落在直线y＝2x﹣1上的点P′处，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点巩固训练】
1．（2021·天津中考真题）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_____．
2．（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．
3．（2021 上虞区期末）把函数y＝x的图象向上平移3个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是（　　）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
4．（2021 西湖区一模）把直线y＝﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是 　．
5．（2021 嘉兴二模）如图，已知直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，将这条直线平移，与x轴，y轴分别交于点C，D．若DC＝DB，则直线CD的函数表达式为　 1　
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