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4.1.1 认识三角形 教案
课题 4.1.1 认识三角形 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形;2. 会按角的大小对三角形进行分类;3.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题.
重点 探索并推导三角形内角和180°。
难点 理解三个内角的关系，学会解决实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题你能在下面的图中找出三角形吗？观察下面的屋顶框架图，你能发现什么？将屋顶的框架图抽象成一个几何图形（1）你能从上图中找出 4 个不同的三角形吗？（2）这些三角形有什么共同的特点？【想一想】什么是三角形？三角形有三条边、三个内角和三个顶点.【想一想】如何表示三角形？如图中顶点是 A，B，C 的三角形，记作“△ABC ” ．【想一想】三角形的边可以怎么表示？如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c。 思考自议引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点),体会用符号表示三角形的必要性,培养学生的观察分析能力及归纳总结能力. 学生能很好的找出生活中的三角形实例,如教师用的三角板、人字架房屋、自行车的大梁、埃及金字塔等,这些充分体现了学生走进生活、感受数学的高涨热情.
讲授新课 提炼概念基本要素：三角形的边：边AB、BC、CA；三角形的顶点：顶点A、B、C；三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C.特别规定：三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.三、典例精讲动动手1、剪一张三角形纸片，然后将三角形的三个角剪下来拼在一起，你会得到什么结论？【结论】三角形三个内角的和等于180°小明只撕下三角形的一角，也得到了上面的结论，他是这样做的：剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.如图： 将∠1撕下，按图下所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合。 【思考】①∠1的另一条边b与∠3的另一条边a平行吗？为什么？提示：内错角相等，两直线平行。如图所示，将∠3与∠2的公共边延长，它与b所夹的角为∠4。【思考】②∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？ 提示：两直线平行，同位角相等。现在，你能确定这个三角形的内角和了吗？【总结】三角形三个内角的和等于180°议一议 （1）图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由。下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较。现在你们能确定这些都是什么三角形了吗？【归纳总结】我们可以按照三角形内角的大小把三角形分为三类：【思考】直角三角形的两个锐角之间有什么关系？提示：∠A+∠B=180°-∠C=90°【总结】直角三角形的两个锐角互余。 归纳：三角形三个内角的和等于 180° ． 能运用该法则准确进行有理数的加法运算. 在这一环节中一方面充分利用学生已有的知识和经验,另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.
课堂检测 四、巩固训练1.如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）A．5° B．10° C．30° D．70°B2.如图，以CD为公共边的三角形是_____________________；∠EFB是__________的内角；在△BCE中，BE所对的角是__________，∠CBE所对的边是________；以∠A为公共角的三角形有_________________．3、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（1）30°和60° （2）40°和70° （3）50°和20°直角三角形锐角三角形钝角三角形4.如图，AC、BD相交于点O，∠A与∠B的和等于∠C与∠D的和吗？为什么？答：∠A+ ∠B= ∠C+∠D. 解：∵ 在△AOB中， ∠A+∠B+∠AOB=180°，即∠A+∠B=180°－∠AOB 且 在△COD中， ∠C+∠D+∠COD=180° (三角形内角和) 即∠C+∠D=180°－∠COD. 又 ∵∠AOB=∠COD（对顶角相等） ∴∠A+∠B= ∠C+∠D5、如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D。（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的斜边和直角边。（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？ （1）3个 △ACB △ADC △BDC （2）∠1+∠A=90° 因为∠1+∠2=90° ∠1+∠A=90° 所以∠2=∠A
课堂小结 本节课你学到了什么 1.三角形的有关概念.2.三角形三个内角的和等于180 .3.三角形按角的大小分类：（1）锐角三角形：三个内角都是锐角；（2）直角三角形：有一个内角为直角；（3）钝角三角形：有一个内角为钝角.4.直角三角形的两个锐角互余.
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北师大版 七年级下
4.1.1 认识三角形
情境引入
图片中有一种共同的平面图形，你发现了吗？
合作学习
导入新课
观察下面的屋顶框架图：
（1）请你从图4-1中找出4个不同的三角形。
（2）请大家讨论这些三角形有什么共同特点。
讨论1：观察右边三角形的形成过程，说一说什么叫三角形
A
B
C
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
讨论2：三角形中有几条线段 有几个角
有三条线段，三个角
“三角形” 可以用符号“△”表示，如图中顶点是 A，B，C 的三角形，记作___________．
边c
边b
边a
顶点C
角
角
角
顶点A
顶点B
“△ABC ”
边：线段AB，BC，CA是三角形的边,可用小写字母分别表示为__________.
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角形的角.
c，a，b
提炼概念
基本要素：
三角形的边：边AB、BC、CA；
三角形的顶点：顶点A、B、C；
三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C.
特别规定：
三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.
请问你知道其中的道理吗？
典例精讲
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
例 做一做：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
C
B
A
E
D
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
归纳概念
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
（1）讨论：下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.
小明
小颖
（2）下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较.
三角形按角分类:
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
三个内角都是锐角
直角三角形
有一个内角是直角
钝角三角形
有一个内角是钝角
根据三角形内角的大小，我们可以把三角形分为哪几类呢？
A
B
C
【思考】下图是什么三角形？怎么表示？
通常，我们用符号“___________ ”表示“直角三角形 ABC ” ．
把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边 ．
斜边
直角边
直角边
Rt△ABC
【思考】直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
A
B
C
因为∠A＋∠C＝90°，所以直角三角形的两个锐角互余.
课堂练习
1.如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）
A．5°
B．10°
C．30°
D．70°
B
2.如图，以CD为公共边的三角形是_____________________；∠EFB是__________的内角；在△BCE中，BE所对的角是__________，∠CBE所对的边是________；以∠A为公共角的三角形有_________________
____________．
△CDF与△BCD
△BEF
∠BCE
CE
△ABD，△ACE
和△ABC
3、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？
（1）30°和60°
（2）40°和70°
（3）50°和20°
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
4.如图，AC、BD相交于点O，∠A与∠B的和等于∠C与∠D的和吗？为什么？
B
A
O
C
D
答：∠A+ ∠B= ∠C+∠D.
解：∵ 在△AOB中，
∠A+∠B+∠AOB=180°，
即∠A+∠B=180°－∠AOB
且 在△COD中，
∠C+∠D+∠COD=180° (三角形内角和)
即∠C+∠D=180°－∠COD.
又 ∵∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴∠A+∠B= ∠C+∠D
5、如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D。
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的斜边和直角边。
（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？
A
B
C
D
1
2
（1）3个 △ACB △ADC △BDC

（2）∠1+∠A=90°
因为∠1+∠2=90°
∠1+∠A=90°
所以∠2=∠A
课堂总结
三角形
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形.
三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
作业布置
教材课后配套作业题。
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4.1.1 认识三角形 学案
课题 4.1.1 认识三角形 单元 第4单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形;2. 会按角的大小对三角形进行分类;3.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题.
重点 探索并推导三角形内角和180°。
难点 理解三个内角的关系，学会解决实际问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】你能从图中找出4个不同的三角形吗？观察你找出的这些三角形有什么共同的特点？【想一想】什么样的图形是三角形？三角形的定义________________________________________________________三角形的组成1.三角形有_____条边2.三角形有_____个角3.三角形有_____个顶点三角形的表示方法“三角形” 可以用符号“_____”表示如图中顶点是 A，B，C 的三角形，记作“__________ ” ．三角形的边表示方法三角形中三边可表示为____________________顶点A所对的边BC也可表示为_____，顶点B所对的边AC表示为_____，顶点C所对的边AB表示_____，。
新知讲解 提炼概念基本要素：三角形的边：边AB、BC、CA；三角形的顶点：顶点A、B、C；三角形的内角(简称为三角形的角）：∠ A、 ∠ B、 ∠ C.特别规定：三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c.典例精讲 【做一做】将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，你能得到什么？将 ∠1 撕下，按上图所示进行摆放，其中∠1 的顶点与∠2 的顶点重合，它的一条边与∠2 的一条边重合．此时 ∠1 的另一条边 b 与∠3 的一条边a 平行吗？为什么？____________________________________________________________________将∠3 与∠2 的公共边延长，它与 b 所夹的角为∠4．∠3 与∠4 的大小有什么关系？为什么？____________________________________________________________________你能得出什么结论？_____________________________________________________________________________________________________________________________________________议一议（1）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.（2）下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较.我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：【思考】下图是什么三角形？怎么表示？ 通常，我们用符号“___________ ”表示“直角三角形 ABC ” ．把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边 ．【思考】直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？因为∠A＋∠B＝90°，所以直角三角形的两个锐角____________.
课堂练习 巩固训练答案引入思考如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c。提炼概念1.如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）A．5° B．10° C．30° D．70°2.如图，以CD为公共边的三角形是_____________________；∠EFB是__________的内角；在△BCE中，BE所对的角是__________，∠CBE所对的边是________；以∠A为公共角的三角形有_________________．3、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（1）30°和60° （2）40°和70° （3）50°和20°4.如图，AC、BD相交于点O，∠A与∠B的和等于∠C与∠D的和吗？为什么？答：∠A+ ∠B= ∠C+∠D. 5、如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D。（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的斜边和直角边。（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？ 典例精讲 例【归纳总结】我们可以按照三角形内角的大小把三角形分为三类：巩固训练 1.B2.3.直角三角形锐角三角形钝角三角形4.解：∵ 在△AOB中， ∠A+∠B+∠AOB=180°，即∠A+∠B=180°－∠AOB 且 在△COD中， ∠C+∠D+∠COD=180° (三角形内角和) 即∠C+∠D=180°－∠COD. 又 ∵∠AOB=∠COD（对顶角相等） ∴∠A+∠B= ∠C+∠D5.（1）3个 △ACB △ADC △BDC （2）∠1+∠A=90° 因为∠1+∠2=90° ∠1+∠A=90° 所以∠2=∠A
课堂小结 本节课你学到了什么 1.三角形的有关概念.2.三角形三个内角的和等于180 .3.三角形按角的大小分类：（1）锐角三角形：三个内角都是锐角；（2）直角三角形：有一个内角为直角；（3）钝角三角形：有一个内角为钝角.4.直角三角形的两个锐角互余.
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