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2022届高三数学压轴题专练——圆锥曲线
1．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点F作长轴的垂线，交椭圆于点P，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)假设直线与椭圆C交于A，B两点．若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求的面积S的取值范围．
2．如图，已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上位于第一象限的点，M，N是轴上的两个动点(点位于轴上方)，满足且，线段PN交轴于点.
(1)若，求点的坐标；
(2)若四边形为矩形，求点的坐标；
(3)求证:为定值.
3．已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
4．已知椭圆的长轴长为4，离心率为
(1)求椭圆的程；
(2)设椭圆的左焦点为F，右顶点为G，过点G的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，且轴，过点S的另一直线与椭圆交于M，N两点，若，求直线MN的方程．
(3)圆锥曲线问题的关键一步是条件的翻译，所以请同学们不用解答，翻译下面的条件，转化为数学表达式：
①若直线与双曲线交于A、B两点，与其渐近线交于C、D两点，求证：AC=BD.
②椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为，过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q，设L的斜率为K，若，求斜率K的值.
③椭圆的左顶点为A，过点A作直线与椭圆交于另一点B，若直线交轴于点C，且，求直线的斜率.
5．设点、分别是椭圆C：的左、右焦点，且，点M、N是椭圆C上位于轴上方的两点，且向量与向量平行.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求直线的方程.
6．已知椭圆的一个焦点为，离心率为，点P为圆上任意一点，为坐标原点．
(1)记线段OP与椭圆C的交点为Q，求的取值范围；
(2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点（其中点位于第一象限），设点是抛物线上的一点，且满足，连接，.
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标.
8．如图，抛物线（）的焦点为椭圆的的右焦点，为椭圆的右顶点，为坐标原点.过的直线交抛物线于，两点，射线，分别交椭圆于，两点.
(1)求抛物线的方程，并证明点在以为直径的圆的内部；
(2)记，的面积分别为，，若，求直线的方程.
9．分别是椭圆的左、右焦点，，M是E上一点，直线MF2与x轴垂直，且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B，C，D是椭圆E上的四点，AC与BD相交于点F2，且AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.
10．已知椭圆的左、右焦点分别为和，椭圆上任意一点，满足的最小值为，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
11．曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．
（1）求的方程；
（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．
12．已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．等轴双曲线是离心率为的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．
（1）在等轴双曲线上有三点，，，其横坐标依次是，，．设，，分别为，，的中点，试求的外接圆圆心的横坐标．
（2）双曲线的渐近线为和，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于，，，过，，分别作直线、直线、直线的垂线，，．
（i）当为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．
（ii）当不为等轴双曲线时，记，，分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义，，．证明：．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
15．O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．
(1)求的方程；
(2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．
16．已知曲线：（）
（1）若曲线是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；
（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点 ，直线与直线交于点.求证：，，三点共线.
17．1.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1
(1)求椭圆的方程；
(2)直线交椭圆于A，B两点，且AB被直线平分.
①若的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；
②椭圆的左右焦点分别是，，，的重心分别是，，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求面积的取值范围.
18．如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点.
(1)求证：点A，B的纵坐标之积为定值；
(2)若抛物线上存在关于直线l对称的两点M，N，直线AM，AN分别交x轴于点D，E，求△BDE的面积的取值范围.
19．已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程；
（3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．
20．已知过抛物线的焦点F，抛物线上的点到准线的距离为3．
(1)求该抛物线E的方程；
(2)过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于M，N和P，Q四点．其中，设线段和的中点分别为A，B，过点E作垂足为D．证明：存在定点T，使得线段长度为定值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用离心率及列出方程组，求出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立后用韦达定理表达出弦长及面积，利用求出的的取值范围，求出面积的取值范围.
(1)
由题意可知：，又，
可得，
∴椭圆C的方程为：
(2)
由，得
联立得
显然，设，，则，
且
∴
=
由，解得，∴
∴
∴
∴当时，，当时，
∴．综上，
【点睛】
直线与椭圆相结合，求三角形面积的范围问题，通常处理思路是设出直线方程，与椭圆方程联立后运用韦达定理表达出弦长或者三角形面积等，利用基本不等式或二次函数等知识求范围.
2．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）结合椭圆的定义求得点的坐标.
（2）利用向量垂直列方程，化简求得点的坐标.
（3）利用向量垂直列方程，化简求得为定值.
(1)
椭圆，，，
，
设，且在第一象限，，.
则.
(2)
设，
由于，所以.
①，
由于，
所以
②，
由于四边形为矩形，，
所以③，
由于四边形为矩形，，
所以④，
③-④并化简得，
，
由于，所以，代入②得：
，，代入③得：
，由于，故解得，所以.
(3)
令（），
由①②得，
，
，将代入得
，，
，，
，由于，所以.
所以为定值.
【点睛】
本小题破题关键在于利用向量运算表示垂直，构建各个量之间的等量关系式，进而化简得出题目的所求.
3．(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）设出点P的坐标，进而代入椭圆方程，再求出两条直线斜率的乘积，最后得到答案；
（2）设出点的坐标，根据以MN为直径的圆过点A，得到，设出直线的方程并代入椭圆方程，然后利用根与系数的关系求得答案.
(1)
，设，且，则，所以 .
(2)
设，根据题意，设直线MN的方程为，
联立及，得，
，
，（*）
若以MN为直径的圆过点A，则，即
将,带入整理得：；
带入（*），化简整理得5，解得，或（舍）满足，故存在，使得以MN为直径的圆过恒过定点A.
【点睛】
本题的破题点在于对的应用，当得到时便可以判断，此题应当与根与系数的关系联系紧密，平常注意对此类问题的总结.
4．(1)；
(2)或；
(3)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出椭圆C的长短半轴长即可作答.
(2)根据给定条件求出点H，S的坐标，推得，再由面积定理导出，
然后分直线MN斜率存在与不存在讨论即可推理计算作答.
(3)分析各问题，探讨出解决相应问题的关键条件并用数学表达式写出即得.
(1)
因椭圆的长轴长为4，离心率为，则，即，半焦距为，有，解得，于是得，
所以椭圆的程是.
(2)
由(1)知，，由得，因轴，且交y轴正半轴于，则有，
又，则，即，，
因，即，则有，
当直线MN斜率不存在时，直线MN方程为，必有点，，不符合题意，
因此，直线MN斜率存在，设直线MN的方程为：，
由消去y并整理得：，设，
则有，由可得，即，
于是得，由解得：，即，
所以直线MN的方程为或.
(3)
①方程组与消去y后所得一元二次方程两根和相等，得线段AB与线段CD中点重合即可.
②设，依题意得，，
则有，由直线得，，
因，即得：，
所以有：，直线L的斜率不为0时，设L的方程为，求出，再讨论直线L的斜率为0的情况.
③直线的斜率存在，设的方程为：，可得，由求出点B的横坐标，
由弦长公式求出，由计算即可.
【点睛】
思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x(或y)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
5．（1）；（2）4；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由，可求出，从而可求出；
（2）设，根据向量的数量积求出点的坐标，由三角形面积公式可得的面积；
（3）向量与向量平行，不妨设，设，根据坐标之间的关系，求得的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线的方程
【详解】
解：（1）因为点、分别是椭圆C：的左、右焦点，
所以，所以
因为，所以，
所以椭圆C的方程为，
（2）由（1）可得，由点是椭圆C上位于轴上方的点，可设，
所以，
因为，所以，
解得，，
所以,
所以的面积为,
（3）因为向量与向量平行，所以设，
因为，所以，可得，
设，则，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
则，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以， ，
所以，则，
所以，
因为向量与向量平行，所以所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，即为
【点睛】
关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程及其性质，向量的运算，斜率计算公式等知识与基本方法，解题的关键是由向量与向量平行，可设，从而可得，，可得，，由此可求得，代入前面的式子可求得的值，进而可得答案，考查计算能力，属于难题
6．(1)
(2)直线PB与椭圆C相切，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件先求得椭圆方程，从而可确定椭圆上一点的横坐标的取值范围，表示出的表达式，结合椭圆的范围求得答案；
（2）设直线PA的方程，和椭圆方程联立，整理得出判别式等于零，化简得
，根据圆的对称性可表示出直线PB的方程，联立椭圆方程，得到，根据 的结果可证明，即证明了直线PB与椭圆C的位置关系.
(1)
由题意知，，
所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为．
由题意，得．
设，则，
所以.
因为，所以当时，；当时，，
所以;
(2)
直线PB与椭圆C相切．
证明如下：
由题意可得，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，所以,
当直线轴时，此时直线过椭圆长轴的顶点,直线PA的方程为，
则直线PB的方程为，显然直线PB与椭圆C相切．
同理，当直线轴时，直线PB也与椭圆C相切．
当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，
设点，直线PA的斜率为k，则，直线PB的斜率为，
所以直线方程为：，直线方程为：,
由，消去y，
得,
因为直线PA与椭圆C相切，
所以，
即①．
同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，,
消去y得: ,
得②.
因为点P为圆上任意一点，
所以，即③．
将③代入①式，得．
将③代入②式，得
所以此时直线PB与椭圆C相切，
综上所述，直线PB与椭圆C相切．
【点睛】
本题考查了椭圆标准方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的证明，解答的关键在于理顺解题思路，明确将直线方程和椭圆方程联立，然后利用判别式的化简进行证明结论，难点在于化简的过程运算量较大，计算较困难，需要有耐心和细心.
7．(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线焦点坐标直接可得抛物线方程；
（2）设直线，联立方程组可得，再根据点坐标确定点及点到直线的距离，可求，，结合基本不等式，可得的最小值与点的坐标.
(1)
由抛物线焦点，可得，
所以抛物线方程为，准线方程为，
(2)
设直线，点，，
联立，得，
即，
所以，
且，
又，
，的方程为，即点，
点到直线的距离，
又，，，
所以，
，
又，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时点为，
即的最小值为，此时点的坐标为.
【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
8．(1)，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由椭圆方程可得焦点坐标以及椭圆的方程，再由直线与椭圆联立，可得，又，即可得证；
（2）设直线方程，联立方程组，再设直线，方程，再联立可得坐标，再根据面积关系解方程.
(1)
解：椭圆，可得，右焦点，，
所以，解得，抛物线：，
设直线的方程为，点，，
联立，得，
，，
，
，
故，
所以点在以为直径的圆的内部；
(2)
解：由（1）得直线的方程为，直线的方程为，
联立，设，，
解得，
同理可得，
又，
即，
故，
即，
即，
解得，
故直线方程为：.
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
9．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，求得四边形的面积，结合基本不等式求得四边形的面积的最小值.
(1)
依题意，
由于轴，且，
则，
结合得，
所以椭圆的方程为.
(2)
设四边形的面积为.
当直线的斜率不存在时，，
.
当直线的斜率为时，同理可求得.
当直线的斜率存在且不为时，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，
所以
，
直线的方程为，
同理可求得.
所以
，
当且仅当时等号成立，且.
综上所述，四边形的面积的最小值为.
【点睛】
求解椭圆中四边形面积的最值问题，关键步骤有两个，第一个是求得面积的表达式，这一步求弦长时需要很强的运算能力.第二个是求面积的最值，可考虑利用基本不等式、二次函数的性质、三角换元法来进行求解.
10．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过通经长，求得，通过的最小值为，求得，再结合，最终求得，，得到椭圆方程；（2）先考虑斜率不存在的情况，求出，再考虑当斜率存在时，利用韦达定理求得：，结合，求得，最终求得范围.
(1)
过作垂直于椭圆长轴的弦长为3
因为，所以把代入到中，得：
所以，即
因为为椭圆上一点，根据椭圆的定义得：，设，则有，化为：①
则②
把①式代入②得，，因为，所以当时，取得最小值，即，化简得：，结合与，解得：，
∴椭圆的方程为
(2)
点坐标为，点坐标为
当过的直线斜率不存在时，不妨设，
此时
当过的直线斜率存在时，设为
将其代入椭圆方程中，得：
设，
则，
则
∵，∴
纵上所述，
【点睛】
（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
11．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设点，根据条件建立等式，化简即可；
（2）设出直线和点，将代入C，消元后根据根与系数的关系得到两根间的关系，设出直线AF与BF的斜率然后求和，化为两根关系结合根与系数的关系化简，进而得到答案.
【详解】
（1）设，由题意：，
化简得：，即C的方程为：.
（2）设直线，，将代入C得：，
∴
设直线AF与BF的斜率分别为，则
.
∴，则，∴直线平分，而三角形内心在的角平分线上，∴内切圆的圆心在定直线上.
【点睛】
本题可以事先将直线分别取几个特殊的位置，进而判断圆心的位置，得到结论后发现只需要证明AF与BF的斜率满足即可，进而将代入C用根与系数的关系解决.
12．(1)；
(2)存在，N（0，1）.
【解析】
【分析】
（1）根据焦距求出c，再将点P的坐标代入椭圆方程，进而求得答案；
（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在，根据得到点N在以AB为直径的圆上，得到，进而设出直线方程并代入椭圆方程并化简，然后结合根与系数的关系解决问题.
(1)
由焦距为2得，又因为P（，－）在椭圆上，所以，即，又因为，所以，所以椭圆C的方程为：．
(2)
假设在y轴上存在定点N，使得恒成立，设N（0，），A（，），B（，）.
①当直线l的斜率存在时，设l：，由整理得，，，．
因为，所以，而点M为线段AB的中点，所以，则点N在以AB为直径的圆上，即．
因为，
所以
，
∴解得，即存在N（0，1）满足题意.
②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），点N（0，1）满足.
综上，存在定点N（0，1），使得恒成立.
【点睛】
本题需要解决两个问题：首先，说明什么，千万不要硬去求角的三角函数值，而应找到线段关系或者角的关系；其次，在知道之后，最好通过平面向量来解决问题，进而会发现接下来需要通过根与系数的关系来处理.
13．
【解析】
略
14．(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据焦距求出，利用面积最大值，得到求出，从而得到，求出椭圆方程；（2）分直线的斜率存在和斜率不存在，结合题干条件得到，进而求出直线方程.
(1)
∵
∴，
又的面积最大值，则，所以，
从而，，故椭圆的方程为：；
(2)
①当直线的斜率存在时，设，
代入③整理得，
设、，则，
所以，
点到直线的距离
因为，即，
又由，得，所以，.
而，，即，
解得：，此时；
②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或.
【点睛】
圆锥曲线中，有关向量的题目，要结合条件选择不同的方法，一般思路有转化为三角形面积，或者线段的比，或者由向量得到共线等.
15．(1)的方程为：，的方程为：
(2)1
【解析】
【分析】
（1）先根据求出，再代入所列出的方程中，求出，；（2）设出直线，联立后用弦长公式求出的长，再求出P，Q两点的坐标，利用点到直线距离公式，表示出，点直线距离，用表达出四边形面积，分离常数后求得面积的最小值
(1)
因为，，，
所以①
因为，所以②
由①得：，解得：，代入②式中，
解得：，
所以的方程为：，的方程为：
(2)
，因为直线不垂直于y轴
所以设方程为：
联立 得：
设，，
则，，，
则，
因为点M在直线上，所以，
直线：
联立得：
解得：，显然，故
当时，，
当时，
则，
，点直线距离分别是：
，
因为，点直线两侧，故
显然，所以
所以
则
则四边形面积
当时，四边形面积取得最小值，此时
此时方程为：，符合题意，故四边形面积的最小值为1
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
16．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据曲线是焦点在轴点上的椭圆列不等式组，由此求得的取值范围.
（2）联立直线与椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得直线的方程，求得点坐标，通过证明共线来证得三点共线.
【详解】
（1）由于曲线：是焦点在轴点上的椭圆，
所以.
（2）当时，椭圆方程为，，所以.
由消去并化简得，
由得，
设，
则，
直线的方程为，
由，故，
所以，
要证三点共线，
需证，
即证，
即证，
由可知
成立，
所以三点共线.
【点睛】
求解直线和圆锥曲线相交有关的问题，可利用根与系数关系，设而不求，整体代换来进行求解.
17．(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）根据离心率和焦点弦求出椭圆方程；（2）①用点差法先求k，然后利用面积求解出，进而求出结果；②利用重心坐标公式，用含b的式子表达出，两点坐标，再利用原点O落在以CD为直径的圆外部得到，代入后解出的范围，进而求解出面积的取值范围
(1)
∵离心率为
∴
∵过焦点且垂直于长轴的弦长等于1
结合，解得：，
∴椭圆方程为：
(2)
①令，，AB中点坐标.
∴，
两式相减得：

其中，
∵AB被直线平分
∴AB中点坐标在直线上，即
∴直线方程l为：
与椭圆联立：
解得：
其中，
设原点到直线l的距离为d
则
∴
∴，解得：
∴
即的方程为：
②∵
∴
∵，的重心分别是，
，
，
∴，
又因为在以为直径的圆外
∴，即
∴，即
又
当时，取得最大值为1；且
综上：
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
18．(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）分过点的直线l斜率存在与不存在两种情况去证明；
（2）先求得△BDE的面积的的解析式，再求其取值范围即可解决.
(1)
过点的直线l斜率不存在时，方程为，令，，则A，B的纵坐标之积为.
过点的直线l斜率存在时，方程可设为，令，
由可得，，则
综上，点A，B的纵坐标之积为定值.
(2)
由题意可知直线MN斜率存在且不为0，
直线MN的方程可设为，令，
由，可得，
则，
设，，则中点为，代入
得，即，代入，得
由 ，即，可得，则
由 ，，可得，则
则
故△BDE的面积为
又，则
故△BDE的面积的取值范围为
【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
19．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率、点的坐标求得，从而求得椭圆的方程.
（2）利用弦长公式列方程，结合根与系数关系求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
（3）根据的斜率是否存在进行分类讨论，结合判别式、点到直线距离公式求得，求得矩形面积的表达式，结合二次函数的性质求得面积的取值范围.
【详解】
（1）由已知可得：，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）因为，，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：，，，
联立方程，消去y整理可得：
，
所以，，
所以，
化简可得：，所以，
则直线l的方程为：；
（3）当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为，
当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为，
联立方程消去y整理可得：
，
所以，解得，
所以，同理可得，
所以矩形ABCD的面积，
令，所以，又，所以，
则，
当，即时，取得最大值为；
所以，
所以，
综上，矩形ABCD的面积的取值范围为．
【点睛】
直线和椭圆相切，可利用判别式为零列方程，求得参数间的等量关系式.
20．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得抛物线的准线方程为，结合题意得到方程，即可求解；
（2）设，，联立方程组，结合根与系数的关系，以及重点坐标公式求得的坐标，进而求得点，得到点的轨迹方程，即可得到结论.
(1)
解：由抛物线，可得准线方程为，
因为点到准线的距离为3，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
(2)
证明：设，，
由，整理得，
可得，即，
同理可得，
又由，所以，
则直线的方程为
，
可得直线的方程为，
由，可得，即，
所以，即，
可化为，
即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以存在定点，使得线段的长度为定值.
答案第1页，共2页
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