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二分法与求方程近似解
8．1.1　函数的零点
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系 数学抽象、直观想象、数学运算
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理 直观想象、逻辑推理
路边有一条河，小明从A点走到了B点．
[问题]　观察图①②，推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数的零点
1．零点的概念
把使函数y＝f(x)的值为的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、方程的根、图象与x轴的交点之间的关系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，就是它的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数零点存在定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
1．函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点．
3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点．(　　)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．(　　)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)<0.(　　)
(4)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的实数解．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．函数f(x)＝log2x的零点是(　　)
A．1　　　　 B．2
C．3 D．4
答案：A
3．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1，＋∞) B．
C. D．
答案：B
4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
答案：3
求函数的零点
[例1]　(链接教科书第216页练习2题)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
求函数y＝f(x)零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点；
(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝的所有零点构成的集合为(　　)
A．{1}　　　　 B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0，1}
解析：选C　当x≤0时，f(x)＝x＋1＝0 x＝－1，当x>0时，f(x)＝log2x＝0 x＝1，所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{－1，1}．
2．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝________．
解析：因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，
所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解，
所以解得所以mn＝4.
答案：4
函数零点所在区间问题
[例2]　(链接教科书第215页例1)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
[解析]　法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0，1)内有零点．
法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1)．
[答案]　C　
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；
(2)利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；
(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　　　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(e，＋∞)
解析：选B　∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2，3)内有零点．
2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C　易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以所以0判断函数零点的个数
[例3]　 (1)函数f(x)＝的零点个数是________；
(2)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
[解析]　(1)①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝或x＝－.因为x≤0，所以x＝－.
②当x>0时，法一(函数单调性法)：f(x)＝2x－6＋ln x.
而f(1)＝2×1－6＋ln 1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln 3＝ln 3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点．而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增．故函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)内有且只有1个零点．综上，函数f(x)共有2个零点．
法二(数形结合法)：由f(x)＝0，得2x－6＋ln x＝0，
即ln x＝6－2x.
如图，分别作出函数y＝ln x和y＝6－2x的图象．
显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解．
综上，函数f(x)共有2个零点．
(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，
在(m，＋∞)为增函数．
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|.
因为m＞0，所以m2－3m＞0，解得m＞3.
[答案]　(1)2　(2)(3，＋∞)
判断函数y＝f(x)零点个数的方法
(1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断；
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．　　　
[跟踪训练]
1．(2021·河南郑州质检)已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　如图，作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
2．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3　0
二次函数实数根的分布问题
[例4]　已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：
(1)两个零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内．
[解]　(1)由已知并结合二次函数的图象，得解得2≤a＜，
故实数a的取值范围是.
(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)＝5－2a＜0，
解得a＞，
因此实数a的取值范围是.
(3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在定理，得
解得＜a＜，
因此实数a的取值范围是.
二次函数零点的分布，一般有两种题型
(1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下三个方面考虑：
①对应一元二次方程根的判别式；
②区间端点函数值的正负；
③对应二次函数的图象——抛物线的对称轴x＝－在区间内．
(2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点函数值的正负．　
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，0)　　　 B．(－3，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，3)
解析：选A　已知函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则即解得－3＜a＜0.
2．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
解：原方程可化为：x2＋x＋＋2＝0，
令f(x)＝x2＋x＋＋2，则f(4)＜0，
即16＋＋＋2＜0，即＜－13，
解得－＜m＜0.故实数m的取值范围是.
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B．，1
C.，－1 D．－，1
解析：选B　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
2．(2021·安徽调研测试)已知a，b，c，d都是常数，且a>b，c>d.若f(x)＝2 021＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)
A．a>c>d>b B．a>d>c>b
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选A　由题意设g(x)＝(x－a)·(x－b)，则f(x)＝2 021＋g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b，由题意知f(x)＝0的两根c，d就是g(x)＝－2 021的两根，画出g(x)(开口向上)以及直线y＝－2 021的大致图象，如图所示，则g(x)的图象与直线y＝－2 021的交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b.又a>b，c>d，且c，d在区间(b，a)内，所以由图得，a>c>d>b，故选A.
3．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是(　　)
A．f(3)<0
B．函数f(x)在定义域内是增函数
C．f(3)>0
D．函数f(x)在定义域内是减函数
解析：选D　因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数．
4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1)
C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析：选A　因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2，4)内必有根．
5．已知函数f(x)＝2x－x2，则方程f(x)＝0在区间[－1，0]内________解．(填“有”或“无”)
解析：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝20－02＝1＞0，
且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
答案：有
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9用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学抽象、直观想象、数学运算
某电视台曾有一档娱乐节目：主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价1 000元，主持人说高了；接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看，猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想．
[问题]　你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　二分法
1．二分法的概念
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断；(2)在区间端点的函数值满足f(a)f(b)<0
方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
2．用二分法求方程的一个近似解的操作流程
以上操作过程中，如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一个精确解．
1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．
2．二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断．　
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．(　　)
(2)精确度ε就是近似值．(　　)
(3)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是________．
①f(x)＝3x；　②f(x)＝x2＋1；　③f(x)＝ln x.
答案：②
3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：(0，0.5)　f(0.25)
二分法概念的理解
[例1]　(1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
(2)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1，4]　　　　　 B．[－2，1]
C. D．
[解析]　(1)A中，函数无零点．B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，故选C.
(2)∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
[答案]　(1)C　(2)D
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　
[跟踪训练]
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
解析：选D　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是(　　)
①y＝3x2－2x＋5；②y＝③y＝＋1，x∈(－∞，0)；④y＝x2＋4x＋8.
A．①③ B．②
C．④ D．②④
解析：选C　由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值.
用二分法求方程的近似解
[例2]　(链接教科书第218页例4)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
[解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
[母题探究]
(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．　
[跟踪训练]
用二分法求方程x2－2x＝1的一个正实数近似解．(精确度0.1)
解：设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.
∴在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0 x0∈(2.375，2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0 x0∈(2.375，2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2－2x＝1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
二分法的实际应用
乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味．乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．
现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．
[问题探究]
1．当a＝12，b＝3时，该如何称？
提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：
(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．
2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．
提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．
[迁移应用]
将“a个乒乓球”改为“从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？
解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中，然后检查这一段中间的1个接点，若仍正确，则可断定故障在其另一侧的3个接点中，最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．
1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝x3－1　　　　 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
解析：选C　因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点或零点是
解析：选D　由已知及二分法求函数零点的原理，可知，f(0)·f <0，又的中点为，∴下一步可能f(0)·f <0或f ·f <0或f ＝0，故D正确．
3．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　　)
A．(2，2.25) B．(2.25，2.5)
C．(2.5，2.75) D．(2.75，3)
解析：选C　因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)内，故选C.
4．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
答案：a2＝4b
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8函数与数学模型
8．2.1　几个函数模型的比较
新课程标准解读 核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数函数”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 数学抽象、数学建模
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．
[问题]　你知道指数函数与幂函数哪个函数增长的快吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　几类不同增长的函数模型
1．几类增长函数模型
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，小于直线上升的速度，即增长速度平缓；
(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(x>0，n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的大致图象，如图所示．
从图中可以观察出，当0x2>log2x；当22x>log2x；当x>4时，2x>x2>log2x.由此我们得到下面的结论：在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，且a越大，y＝ax的函数值的增长就越快；
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，且a越小，y＝loga x的函数值的增长就越快；
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x>1时，n越大，y＝xn的函数值的增长就越快．　
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　)
(2)函数y＝100x比y＝2x增长的速度更快些．(　　)
(3)当a＞1，k＞0时，对 x∈(0，＋∞)，总有logax＜kx＜ax成立．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)
A．y＝ax＋b　　　　 B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
解析：选B　由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　)
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
答案：D
几类函数模型增长差异的比较
[例1]　已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)
A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x
B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x
C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x
D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2
[解析]　从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．
[答案]　B
不同增长的函数模型的特点
对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键．线性函数模型的增长是匀速的；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律．　
[跟踪训练]
四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2　　　　 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：选D　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.
几类函数模型的比较与应用
[例2]　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
不同函数模型的变化规律
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．
[跟踪训练]
函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x).
函数模型的选择问题
[例3]　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
[解]　根据题意可列方程组
解得
所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型；
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论；
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．　
[跟踪训练]
某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？
解：A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券．
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x　　　　 B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
解析：选B　D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x＞0，xn＞logax
C．对任意的x＞0，ax＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
解析：选D　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)＞g(x)．　
答案：f(x)＞g(x)
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6函数的实际应用
新课程标准解读 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律 数学建模
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．
某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关．当该网球中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数f(x)＝400来刻画．
[问题]　(1)为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
(2)生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
1．斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的？
提示：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
2．在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？
提示：当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．
1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx　　　　　 B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
解析：选B　在坐标系中描出各点(图略)，知模拟函数为y＝a＋bx.
2．已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．
解析：由得
所以y＝－2×(0.5)x＋2，
所以3月份产量为
y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
二次函数模型的应用
[例1]　(链接教科书第226页例5)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
[解]　(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0≤x＜m.
(2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－·＋，0≤x＜m，则当x＝时，y取得最大值，ymax＝.
所以鱼群年增长量的最大值为.
二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．
[跟踪训练]
如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
解析：若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系(图略)，则抛物线的对称轴为直线x＝1.
设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5，
当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2.
∴y＝2(x－1)2＋0.5.
∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米．
答案：0.5
幂函数模型的应用
[例2]　美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
[解]　(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝(x>0)．
将(1，1)，(4，2)代入y＝kxa，
得∴
∴生产B芯片的毛收入y＝(x>0)．
(2)由>，得x>16；由＝，得x＝16；
由<，得0∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大．
(3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片．公司所获净利润f(x)＝＋－2＝－(－2)2＋9，故当＝2，即x＝4千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元．
幂函数模型的应用求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式；
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．
[跟踪训练]
在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R(cm3/s)与管道半径r(cm)的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量R的函数解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．
解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，
∴k＝，∴流量R的函数解析式为R＝·r4.
(3)∵R＝·r4，
∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s).
指数型模型的应用
[例3]　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解]　(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
指数函数模型的应用
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式；
(2)解答数学应用题应过的三关：
①理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么；
②建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题；
③数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
[跟踪训练]
设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
解析：将(1 000，90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝100ex，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
答案：81
对数型模型的应用
[例4]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
[解]　(1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，
即log3－log3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
解：(1)将θ＝8 100代入函数解析式，
得v＝log381＝×4＝2(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.
(2)令v＝0，得log3＝0，即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
[跟踪训练]
我们知道：人们对声音的大小有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度用I W/m2表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10·lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12 W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围为多少．
解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，所以LI1＝10·lg 1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102，所以LI2＝10·lg 102＝20，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，则＝104，所以LI3＝10·lg 104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．
(2)由题意知，0≤L1<50即0≤10·lg<50，所以1≤<105，即10－12≤I<10－7.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，同时应小于10－7 W/m2.
分段函数模型的应用
[例5]　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
[解]　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，
由已知得 解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值.
综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
分段函数模型的应用
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型；
(2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 　　　　
[跟踪训练]
沪苏合作的长三角(东台)康养小镇项目正式落户江苏盐城东台，该项目由盐城市政府、东台市政府和上海地产集团合作共建，选址在东台沿海经济区，总占地17.1平方公里，其中一期9.7平方公里，规划人口15万人，总投资700亿元，定位于长三角区域康养服务一体化示范区、跨行政区康养政策协同试验区．此消息一出，众多商家目光投向东台．某商家经过市场调查，某商品在过去100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量近似地满足g(t)＝－t＋(1≤t≤100，t∈N)．前40天价格为f(t)＝t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－＋52(41≤t≤100，t∈N)．
(1)试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求出该商品的日销售额的最大值．
解：(1)根据题意，得S＝f(t)·g(t)＝
化简得S＝
(2)当1≤t≤40且t∈N时，Smax＝S(10)＝S(11)＝；
当41≤t≤100且t∈N时，S随t的增大而减小，
∴Smax＝S(41)＝714.
又∵>714，∴Smax＝S(10)＝S(11)＝＝808.5.
故该商品的日销售额的最大值为808.5元．
1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)
A．310元　　　 B．300元
C．290元 D．280元
解析：选B　由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1，800)，(2，1 300)代入得a＝500，b＝300.故y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
2．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(　　)
A．6 s B．4 s
C．3 s D．2 s
解析：选A　令h＝30t－5t2＝0，得t＝0(舍去)或t＝6.
3．科学研究发现，发生地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若它们释放的能量分别为E1和E2，则E1和E2的关系为(　　)
A．E1＝32E2 B．E1＝64E2
C．E1＝1 000E2 D．E1＝1 024E2
解析：选C　lg E1＝4.8＋1.5×9， ①
lg E2＝4.8＋1.5×7， ②
①－②得lg E1－lg E2＝3，
即lg ＝3，
故＝103＝1 000.
4．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．
解析：当0所以f(x)＝
答案：f(x)＝
5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为________．
解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得n＝ln ，当k秒后甲桶中的水只有升，即f(k)＝，即·kln ＝ln ＝2ln ，得k＝10，故m＝10－5＝5.
答案：5
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