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2022年重庆市中考数学模拟试题（2）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．1 C．﹣ D．﹣1
2．（4分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．8.9×106 B．8.9×105 C．8.9×107 D．8.9×108
4．（4分）如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n个图形中小黑点的个数应该是（　　）
A．4n+1 B．3n+2 C．5n﹣1 D．6n﹣2
5．（4分）如图，PA为⊙O切线，连接OP，OA．若∠A＝50°，则∠POA的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣5 B．4﹣3＝1 C．×＝ D．÷＝9
7．（4分）下列解方程过程正确的是（　　）
A．2x＝1系数化为1，得x＝2
B．x﹣2＝0解得x＝2
C．3x﹣2＝2x﹣3移项得3x﹣2x＝﹣3﹣2
D．x﹣（3﹣2x）＝2（x+1）去括号得x﹣3﹣2x＝2x+1
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A1B1O位似，位似中心是原点O，若△A1B1O与△ABO的相似比为，已知B（﹣9，﹣3），则它对应点B'的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
9．（4分）如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33
10．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．2 B．3 C．7 D．8
11．（4分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△AB′D，连接CB′，若BD＝CB′＝2，AD＝3，则△AB′C的面积为（　　）
A． B．2 C． D．2
12．（4分）如图，矩形OABC在以O为原点的平面直角坐标系中，且它的两边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与AB相交于点E，若BD＝2CD，且△ODE的面积为4，则k的值为（　　）
A． B．3 C．4 D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）计算：（π﹣3）0+|﹣1|＝　 　．
14．（4分）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝　 　．
15．（4分）不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数﹣4，﹣2，3，5．从盒子中随机抽取一个小球，数记为a，再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为b，则使得点（a，a+b）在第一象限的概率为　 　．
16．（4分）如图，已知正方形的边长为2cm，以对角的两个顶点为圆心，2cm长为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案，则树叶型图案的面积为　 　cm2．（结果保留π）
17．（4分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为　 　．
18．（4分）2021新春佳节之际，某商家推出收费印制巴蜀中学logo的新春礼品，礼品主要包含三种：对联，门神和红包，如果印制对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元；如果印制对联2副、门神1副、红包1个，需付人民币22元，某人想印制16副对联、10副门神、22个红包共需付人民币　 　元．
三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；
（2）（+a）÷．
20．（10分）2020年3月，有关部门颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某地教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的一周劳动次数为：
2 2 2 3 3 3 3 3 3 3
3 4 4 5 5 5 6 6 7 7
八年级20名学生的一周劳动次数条形统计图如图．
七、八年级抽取的学生的一周劳动次数的平均数、众数，中位数、5次及以上人数所占百分比如表所示：
年级 平均数 众数 中位数 5次及以上人数所占百分比
七年级 3.95 a 3 35%
八年级 3.95 3 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）若规定：每名学生的劳动次数的绝对差＝|劳动次数﹣平均数|，则七年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和　 　八年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（3）若一周劳动次数3次及以上为合格，该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，估计该校七年级和八年级一周劳动次数合格的学生总人数是多少．
21．（10分）已知：四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．
（1）若∠D＝80°，求∠AEB的度数；
（2）求证：AF＝EC．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把表补充完整，并在图中补全该函数图象：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y＝ … ﹣1.5 　 　 ﹣2.5 0 2.5 　 　 1.5 …
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值2.5；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣2.5．
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．
（3）已知函数y＝2x+0.5的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程＝2x+0.5的解（保留一位小数，误差不超过0.2）．
23．（10分）阅读理解：
对于任意一个三位数正整数n，如果n的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的新“陌生数”，把这6个陌生数的和与111的商记为M（n）．例如n＝123，可以得到132、213、231、312、321这5个新的“陌生数”，这6个“陌生数”的和为123+132+213+231+312+321＝1332，因为1332÷111＝12，所以M（123）＝12．
（1）计算：M（125）和M（361）的值；
（2）设s和t都是“陌生数”，其中4和2分别是s的十位和个位上的数字，2和5分别是t的百位和个位上的数字，且t的十位上的数字比s的百位上的数字小2；规定：．若13M（s）+14M（t）＝458，则k的值是多少？
24．（10分）五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
26．（8分）如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．
（1）在图1中画出图形：
①求∠CEF的度数；
②探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP的面积最大值为　 　．
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2022年重庆市中考数学模拟试题（2）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．1 C．﹣ D．﹣1
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴在0，1，﹣，﹣1四个数中，最小的数是﹣1．
故选：D．
2．（4分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
3．（4分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．8.9×106 B．8.9×105 C．8.9×107 D．8.9×108
【答案】C
【解析】89 000 000这个数据用科学记数法表示为8.9×107．
故选：C．
4．（4分）如图，第1个图形中小黑点的个数为5个，第2个图形中小黑点的个数为9个，第3个图形中小黑点的个数为13个，…，按照这样的规律，第n个图形中小黑点的个数应该是（　　）
A．4n+1 B．3n+2 C．5n﹣1 D．6n﹣2
【答案】A
【解析】设第n（n为正整数）个图形中小黑点的个数为an个．
观察图形，可知：a1＝5＝4×1+1，a2＝9＝4×2+1，a3＝13＝4×3+1，…，
∴an＝4n+1．
故选：A．
5．（4分）如图，PA为⊙O切线，连接OP，OA．若∠A＝50°，则∠POA的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】∵PA是⊙O的切线，
∴∠OPA＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠POA＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣5 B．4﹣3＝1 C．×＝ D．÷＝9
【答案】C
【解析】A、＝5，故此选项错误；
B、4﹣3＝，故此选项错误；
C、×＝，故此选项正确；
D、÷＝3，故此选项错误；
故选：C．
7．（4分）下列解方程过程正确的是（　　）
A．2x＝1系数化为1，得x＝2
B．x﹣2＝0解得x＝2
C．3x﹣2＝2x﹣3移项得3x﹣2x＝﹣3﹣2
D．x﹣（3﹣2x）＝2（x+1）去括号得x﹣3﹣2x＝2x+1
【答案】B
【解析】A、2x＝1系数化为1，得，故本选项不合题意；
B、x﹣2＝0解得x＝2，正确，故本选项符合题意；
C、3x﹣2＝2x﹣3移项得3x﹣2x＝﹣3+2，故本选项不合题意；
D、x﹣（3﹣2x）＝2（x+1）去括号得x﹣3+2x＝2x+2，故本选项不合题意；
故选：B．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A1B1O位似，位似中心是原点O，若△A1B1O与△ABO的相似比为，已知B（﹣9，﹣3），则它对应点B'的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【解析】∵△ABO与△A1B1O位似，位似中心是原点O，△A1B1O与△ABO的相似比为，B（﹣9，﹣3），
∴它对应点B'的坐标是：（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
9．（4分）如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33
【答案】A
【解析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，
∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，
∵坡面DE的坡度为1，
∴＝1，
∴DM＝EM＝1＝FC，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，
∵tan∠DAF＝≈0.75，
设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，
在Rt△ABC中，
∵tan∠B＝，
∴tan37°＝≈0.75，
解得x＝≈6.29（米），
故选：A．
10．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的和为（　　）
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】A
【解析】不等式组整理得：，
由解集为x≤a，得到a＜5，
分式方程去分母得：y﹣a+2y﹣5＝y﹣2，即2y＝a+3，
解得：y＝，
由y为正整数解，且y≠2得到a＝﹣1，3，
满足条件的整数a的和为2．
故选：A．
11．（4分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿AD翻折，得到△AB′D，连接CB′，若BD＝CB′＝2，AD＝3，则△AB′C的面积为（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】C
【解析】∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
由翻折的性质可知：∠ADB＝∠ADB′，DB＝DB′，
∴BD＝CB′＝2，
∴CD＝DB′＝CB′＝2，
∴△CDB′是等边三角形，
∴∠CDB′＝∠DCB′＝60°，∠BDB′＝120°，
∴∠ADB＝∠ADB′＝120°，
∴∠ADC＝∠CDB′＝60°，
∴∠ADC＝∠DCB′，
∴AD∥CB′，
∴S△ACB′＝S△CDB′＝×22＝，
故选：C．
12．（4分）如图，矩形OABC在以O为原点的平面直角坐标系中，且它的两边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与AB相交于点E，若BD＝2CD，且△ODE的面积为4，则k的值为（　　）
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【解析】∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝2CD，
∴D（a，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴＝k，
设E的坐标为（a，），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△COD﹣S△OAE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣ a （b﹣）＝4，
∴ab﹣k＝4，
解得：k＝3，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）计算：（π﹣3）0+|﹣1|＝________．
【答案】2．
【解析】原式＝1+1
＝2．
14．（4分）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝________．
【答案】13．
【解析】设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝1980°，
解得n＝13．
15．（4分）不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数﹣4，﹣2，3，5．从盒子中随机抽取一个小球，数记为a，再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为b，则使得点（a，a+b）在第一象限的概率为________．
【答案】．
【解析】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中使得点（a，a+b）在第一象限的结果数为5，
所以使得点（a，a+b）在第一象限的概率＝．
16．（4分）如图，已知正方形的边长为2cm，以对角的两个顶点为圆心，2cm长为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案，则树叶型图案的面积为________cm2．（结果保留π）
【答案】（2π﹣4）．
【解析】观察图形可知：S树叶形图案＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣22＝（2π﹣4）（cm2），
17．（4分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示，则E点坐标为________．
【答案】（，）．
【解析】由图可得，
小丽的速度为：36÷2.25＝16（km/h），
小明的速度为：36÷1﹣16＝20（km/h），
故点E的横坐标为：36÷20＝，纵坐标是：（20+16）×（﹣1）＝，
18．（4分）2021新春佳节之际，某商家推出收费印制巴蜀中学logo的新春礼品，礼品主要包含三种：对联，门神和红包，如果印制对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元；如果印制对联2副、门神1副、红包1个，需付人民币22元，某人想印制16副对联、10副门神、22个红包共需付人民币________元．
【答案】170．
【解析】设印制1副对联需要x元，1副门神需要y元，1个红包需要z元，
依题意得：，
①×4+②×2得：16x+10y+22z＝170．
三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．（10分）计算：
（1）（x+y）2+y（3x﹣y）；
（2）（+a）÷．
【答案】见解析
【解析】（1）（x+y）2+y（3x﹣y），
＝x2+2xy+y2+3xy﹣y2，
＝x2+5xy；
（2）（+a）÷，
＝（+）×，
＝×，
＝﹣．
20．（10分）2020年3月，有关部门颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某地教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的一周劳动次数为：
2 2 2 3 3 3 3 3 3 3
3 4 4 5 5 5 6 6 7 7
八年级20名学生的一周劳动次数条形统计图如图．
七、八年级抽取的学生的一周劳动次数的平均数、众数，中位数、5次及以上人数所占百分比如表所示：
年级 平均数 众数 中位数 5次及以上人数所占百分比
七年级 3.95 a 3 35%
八年级 3.95 3 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）若规定：每名学生的劳动次数的绝对差＝|劳动次数﹣平均数|，则七年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和________八年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（3）若一周劳动次数3次及以上为合格，该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，估计该校七年级和八年级一周劳动次数合格的学生总人数是多少．
【答案】见解析
【解析】（1）由表格可得，a＝3，
由统计图可得，b＝（3+4）÷2＝3.5，c＝×100%＝40%，
即a，b，c的值分别为3，3.5，40%；
（2）由题意可得，
七年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和是：|2﹣3.95|×3+|3﹣3.95|×8+|4﹣3.95|×2+|5﹣3.95|×3+|6﹣3.95|×2+|7﹣3.95|×2＝26.9，
八年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和是：|2﹣3.95|×4+|3﹣3.95|×6+|4﹣3.95|×2+|5﹣3.95|×4+|6﹣3.95|×3+|7﹣3.95|×1＝27，
∵26.9＜27，
∴七年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和＜八年级这20名学生的劳动次数的绝对差的总和，
故答案为：＜；
（3）600×+800×
＝30×17+40×16
＝510+640
＝1150（人），
答：估计该校七年级和八年级一周劳动次数合格的学生总人数是1150人．
21．（10分）已知：四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．
（1）若∠D＝80°，求∠AEB的度数；
（2）求证：AF＝EC．
【答案】见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝80°，
∴∠D+∠BAD＝180°，AD∥BC，
∴∠BAD＝100°，∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝50°，
∴∠AEB＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF，
又∵AD＝BC，
∴AF＝EC．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把表补充完整，并在图中补全该函数图象：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y＝ … ﹣1.5 ________　 ﹣2.5 0 2.5 ________ 1.5 …
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值2.5；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣2.5．
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．
（3）已知函数y＝2x+0.5的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程＝2x+0.5的解（保留一位小数，误差不超过0.2）．
【答案】见解析
【解析】（1）补充完整下表为：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y＝ ﹣1.5 ﹣2 ﹣2.5 0 2.5 2 1.5 …
画出函数的图象如图：
（2）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值2.5；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣2.5，说法正确；
③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，说法正确．
（3）由图象可知：方程＝2x+0.5的解为x＝﹣1.4或x＝0.2或x＝1．
23．（10分）阅读理解：
对于任意一个三位数正整数n，如果n的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的新“陌生数”，把这6个陌生数的和与111的商记为M（n）．例如n＝123，可以得到132、213、231、312、321这5个新的“陌生数”，这6个“陌生数”的和为123+132+213+231+312+321＝1332，因为1332÷111＝12，所以M（123）＝12．
（1）计算：M（125）和M（361）的值；
（2）设s和t都是“陌生数”，其中4和2分别是s的十位和个位上的数字，2和5分别是t的百位和个位上的数字，且t的十位上的数字比s的百位上的数字小2；规定：．若13M（s）+14M（t）＝458，则k的值是多少？
【答案】见解析
【解析】（1）M（125）＝（521+512+215+251+125+152）÷111＝16，
M（361）＝（316+361+136+163+613+631）÷111＝20；
（2）∵s和t都是“陌生数”，a＝100x+42，b＝205+10y，
∴M（s）＝（200x+42+24+20x+402+204+2x+420+240）÷111＝2x+12，
M（t）＝（205+10y+502+10y+250+x+520+y+100y+25+100y+52）÷111＝2y+14．
∵13M（s）+14M（t）＝458，
∴13（2x+12）+14（2y+14）＝26x+28y+352＝458，
∴13x+14y＝53，
又∵x＝y+2，
∴
解得，
∴＝＝．
24．（10分）五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
【答案】见解析
【解析】（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
，
解得，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，利润为w元，
w＝（180﹣100）a+（250﹣150）b＝80a+100b，
∵某商店拟用1000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，
∴100a+150b＝1000且a≥1，b≥1，
∴2a+3b＝20（a≥1，b≥1），
∴或或，
∴当a＝1，b＝6时，w＝80×1+100×6＝680，
当a＝4，b＝4时，w＝80×4+100×4＝720，
当a＝7，b＝2时，w＝80×7+100×2＝760，
由上可得，当a＝7，b＝2时，w取得最大值，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风2台．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+2上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2①；
（2）将△ABC以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴A′（0，﹣1），B′（0，4），C′（﹣2，0），
如图1，当点D1在AC上、点E1在A′C′上时，
设直线A′C′的解析式为y＝kx+b，将点A′（0，﹣1），C′（﹣2，0）代入得，解得，
∴直线A′C′的解析式为：y＝﹣x﹣1②，
联立①②并解得：或；
∴E1（2﹣，）；
当点D2在AB上、点E2在A′B′上时，即y轴与抛物线的交点 E2（0，2） ，
当点D3在BC上、点E3在B′C′上时，与抛物线没有交点，
∴E1（2﹣，）或 E2（0，2）；
（3）存在，理由：
由点A、B、C的坐标得，AB2＝25，BC2＝4+16＝20，AC2＝1+4＝5，
则AB2＝BC2+AC2，
故△ABC为以AB为斜边的直角三角形，tan∠ABC＝；
以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则△CMN为直角三角形，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
点N在BC上，故设点N（n，﹣n+2），设点M（m，0）；
①当∠MCN为直角时，
此时点M与点A重合，不符合题意，
②当∠CMN为直角时，如图2，
过点N作NG⊥x轴于点G，
∵∠GMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，
∴∠MCO＝∠NMG，
∴Rt△NGM∽Rt△MOC，
当∠MCN＝∠ABC时，
tan∠ABC＝，即两个三角形的相似比为1：2，
则NG＝OM，MG＝OC＝1，
即﹣n+2＝m且n﹣m＝1，
解得：n＝，
故点N的坐标为（，）；
当∠MNC＝∠ABC时，
同理可得：n＝4（舍去）；
③当∠MNC为直角时，如图3，
过点N作x轴的垂线，垂足为点H，过点C作CG⊥NH交NH的延长线于点G，
当∠CMN＝∠ABC时，
同理可得：△CGN∽NHM且相似比为，
则CG＝NH，即n＝×（﹣n+2），解得：n＝，
故点N的坐标为（，）；
当∠MCN＝∠ABC时，
则MC＝MB，而MN⊥BC，则点N是BC的中点，
由中点公式得，点N（2，1）；
综上，点N的坐标为：（2，1）或（，）或（，）．
四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
26．（8分）如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．
（1）在图1中画出图形：
①求∠CEF的度数；
②探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP的面积最大值为________．
【答案】见解析
【解析】（1）如图1所示：延长BE，
①∵等边△ABC中，点D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，
∴BE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∵∠CEF＝∠FEH+∠HEC＝∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB＝2∠ABE+2∠EBC，
∴∠CEF＝2∠ABC＝120°；
②AB＝AF+AE，
理由如下：
如图1﹣1，在AB上截取BM＝AF，连接ME，过点E作EN⊥AB于N，
∵BM＝AF，∠AFE＝∠EBM，BE＝EF，
∴△BME≌△FAE（SAS），
∴AE＝EM，
又∵EN⊥AB，
∴AN＝MN＝AM，
∵∠BAD＝30°，
∴AE＝2NE，AN＝NE，
∴AN＝AE，
∴AM＝AE，
∴AB＝BM+AM＝AF+AE；
（3）如图2，
∵△ABC是等边三角形，AB＝4，点G为AC的中点，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CG＝CD＝2，
∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，
∴CM＝CN＝CG＝CD＝2，∠MCN＝∠ACB＝60°，
∴∠ACN＝∠BCM，
∴△BCM≌△ACN（SAS），
∴∠CAN＝∠CBM，
∴点A，点B，点C，点P四点共圆，
∴∠BPC＝∠BAC＝60°，
∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，
∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，
∴当BM与⊙C相切于点M时，△BCP的面积有最大值，如图所示，过点P作PH⊥BC于H，
∵BM是⊙C的切线，
∴∠BMC＝90°＝∠PMC，
又∵∠BPC＝60°，
∴∠PCM＝30°，
∴CM＝PM＝2，
∴MP＝，
∵BM＝＝＝2，
∴BP＝BM+MP＝，
∵sin∠PBC＝，
∴PH＝＝，
∴△BCP的面积最大值＝×4×＝，
故答案为．
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