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人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练（含答案）
1．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，CD，点E是CD的中点．求证：四边形ABCE是平行四边形．
2．如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．
3．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
4．如图， ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．求证：DC＝DF．
5．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长．
6．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
7．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．
求证：（1）△ADE≌△FCE；
（2）BE⊥AF．
8．如图，在平行四边形ABCD中，，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：；
（2）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的2倍的所有角．
9．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分別为、．求证：四边形是正方形．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
11．已知：在菱形中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接，．求证：；
12．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF⊥AE于点F，点G在AE上，且∠ABG＝∠E．求证：AG＝DF．
13．如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F．
(1)求证：四边形AEDF是正方形．
(2)当时，求正方形AEDF的边长．
14．如图，矩形ABCD中，E、F分别为边AD和BC上的点，BE＝DF，求证：DE＝BF．
15．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，求证：DE＝BF．
16．已知：如图， ABCD中，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE交CD于点O．
(1)求证：CO=DO；
(2)取AB中点F，连接CF，△COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？请说明理由．
17．在中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．
18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点
(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；
(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．
19．已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
20．已知：如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥EC，
∵点E是CD的中点，
∴，
∵，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE是平行四边形．
2．
证明：∵
∴∠B=∠DEF，
∵，
∴∠ACB=∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，
∵，
∴四边形ABED是平行四边形．
3．
证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
4．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠F＝∠EBA，
∵E是AD边的中点，
∴DE＝AE，
在△DEF和△AEB中，
∵，
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴DF＝AB，
∴DC＝DF．
5．
(1)
证明：∵ABCE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
(2)
解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB＝45°，
∴，
在△ACG中，∠AGC＝90°，
∴，
∵，
∴CG＝AG＝ ，
∵∠B＝30°,
∴ ,
∴ ,
在Rt△BCG中， ，
∴ ．
6．
证：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
7．
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠FAB．
∴∠AFB＝∠FAB．
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∴BE⊥AF．
9．
证明：∵平分，，，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形．
10．
（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
11．
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点，，分别为，，的中点，
∴
在和中，，
∴；
12．
证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
13．
证明：∵，
∴
∵
∴四边形AEDF是矩形
∵
∴
在和中
∴
∴四边形AEDF是正方形．
(2)
解：∵，，
∴，
设
得
解得：
∴正方形AEDF的边长是．
14．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴AE＝CF，
∴DE＝BF．
15．
证明：四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
，
．
16．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠E，
∵CE=BC，
∴CE=AD，
又∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△EOC（AAS），
∴CO=DO；
(2)
解：当CO=EO，∠COE=90°时，四边形AOCF是正方形；
理由如下：
∵CO=DO，
∴CO=CD，
又∵F是AB的中点，
∴AF=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴AF=CO，AF//CO，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵△AOD≌△EOC，
∴AO=EO，
∵CO=EO，
∴AO=CO，
∴平行四边形AFCO是菱形，
∵∠COE=90°，
∴菱形AFCO是正方形．
17．
证明：在中，，
∴∠FAO=∠BEO，
∵O为AE的中点，
∴AO=EO，
∵∠AOF=∠BOE，
∴△AOF≌△BOE，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
(2)
解：过点O作OG⊥BC于G，
∵点E为BC的中点，且BC＝8，
∴BE=CE=4，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠OBE=30°，∠BOE=90°，
∴OE=2，∠OEB=60°，
∴GE=1，，
∴GC=5，
∴OC．
．
18．
证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
又∵AB∥CD，AB＝AD，
∴AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，
∴CD＝13，AO＝CO＝12，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴EF∥BD（中位线），
∵AC、BD是菱形的对角线，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∵四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴，
∴EG＝BD＝10．
19．
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，，
．
(2)
证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在四边形中，，
四边形是矩形．
20．
证明：在中，，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AF＝CE．
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD=∠BEC，
∴．
答案第1页，共2页
答案第10页，共11页

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