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初中数学辅导讲义
解二元一次方程组
知识点解析
一．二元一次方程
定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程. 易出题型
判定条件 1.两个未知数——“二元”
2.含有未知数的项的次数为1——“一次”
3.是整式方程——分母中不能含有字母． 选择、填空
方程的解 使二元一次方程两边相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解．
用大括号联立表示 选择、填空
一般情况下，二元一次方程有无数组解，特殊情况下，求非负整数解，正整数解 选择，应用
二．二元一次方程组
定义 由几个方程组成的一组方程叫做方程组.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫做二元一次方程组．注：也是二元一次方程组 选择、填空
方程组的解 二元一次方程组中方程的公共解叫做二元一次方程组的解. 选择、填空、解答
三．解二元一次方程组
1、代入消元法
定义 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法．
步骤 1．变形：选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用另一个未知数的代数式表示出来，写成 或 的形式；2．代入：将 代入另一个方程中，得到一个一元一次方程；3．求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值；4．回代：把未知数的值代入 中求出的值；5．联立：把这个方程组的解写成 的形式． 选择、解答
2、加减消元法
定义 将二元一次方程组中的两个方程相加（或相减，或进行适当变形后再加减），消去一个未知数，得到一元一次方程，通过求解一元一次方程，再求得二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法．
步骤 1．变形：方程的两边乘以适当的数，使方程组里的某一个未知数的系数的绝对值相等；2．加减：两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程；3．求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值；4．回代：将求出的未知数的值代入方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数；5．联立：把这个方程组的解写成 的形式． 选择、解答
3、两种方法的区别
解方程组两种方法的区别
不同点 相同点
代入消元 ①直接代入，将①代入②得
②系数绝对值有1，将①变形得，将③代入②
③系数绝对值无1，找系数绝对值最小，将②变形得③，将③代入① 变形消元后均解一元一次方程，然后回代求另一个未知数，最后解联立。
加减消元 ①系数绝对值相等 ，将①+②得
同号减，异号加
②系数绝对值倍数关系，将②×2得，③-①
小×倍数
③系数绝对值无关系 将①×2得，③+④
变一组未知数系数 将②×5得
成最小公倍数
做题思路：一般情况下，本章节重点就是消元解方程组，所以遇到不能理解的题，首先要做的就是消元解关于方程组，然后再按照题干要求解题。
典型例题及重点题练习
类型一、方程的定义
例1、下列方程中是二元一次方程的是（ ）
B. C. D.
【变式】已知方程是关于x、y的二元一次方程，则______，______
例2、下列各组数值是二元一次方程的解的是（　　）
B. C. D.
【变式】1.下列说法正确的是（　　）
A.方程只有两个解，这两个解分别是和
B.方程中，可以取任意数值
C.是方程的一组解
D.方程可能无解
【变式】2.已知是方程的一个解，那么a的值是（　　）
A.1 B.3 C.-3 D.-1
例3、二元一次方程的非负整数解共有（ ）对．
1 B. 2 C. 3 D.4
类型二、方程组的定义
例4、下列方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
①②③④⑤⑥⑦
A.①③⑤ B. ①②④ C.③⑥⑦ D.③④⑦
【变式】若方程组是关于的二元一次方程组，则代数式的值是________(注：任何一个非零数的零次方等于1)
例5、下列各组数是二元一次方程组，的解的是（ ）
A. B. C. D.　　
【变式】请你写出一个二元一次方程组，使它的解为，这个方程组是_________________（答案不唯一）．
例6、如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
A.10,4 B.4,10 C.3,10 D.10,3
【变式】马虎与粗心两位同学解方程组时，马虎看错了解方程组得；粗心看错了解方程组得；试求常数的值
类型三、代入消元解方程组
例7、由方程可得到用x表示y的式子是　 　．
【变式】若，则x与y之间的关系式为_________
例8、解方程组：
① ② ③
类型四、加减消元解方程组
例8、若方程组可直接用加减法消去，则的关系为（ ）
A.互为相反数 B.互为倒数 C.绝对值相等 D.相等
例10、解方程组：
① ② ③
类型五、综合题型
例11、已知，则____________,______________
例12、若和是同类项，则的值为（ ）
B. C. D.
例13、已知，且a+b=9，那么a﹣b=　　　　　　
例14、已知方程组和有相同的解，则，的值为（ ）
A. B. C. D.
【变式】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. B. C. D.
例15、嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“口”印刷不清楚.
（1）他把“口”猜成2，请你解二元一次方程组;
（2）张老师说：“你猜错了！我看到该题的标准答案是一对相反数.”通过计算说明原题中“口”是数字几？
例16、小明和小亮解同一道方程组，急性子小明把方程（1）中的a看错了，得到方程组的解为，爱马虎的小亮把方程（2）中的b看错了，得到方程组的解为，一旁的学习委员小丽说，我可以知道这个方程组的解，你能说说小丽是怎么样求出这个方程组的解吗？方程组的解是多少？
例17、已知满足的方程组，则=__________，=__________
【变式】解方程组
例18、解方程组
例19、已知关于的方程组，是否对于任意实数，的值始终不变？若是，请求出这个不变的值；若不是，请说明理由。
【变式】关于的方程组，是否有解？若有，请解出方程组；若没有，请说明理由。
例20、对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说该方程组的解具有“邻好关系”.
（1）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由.
（2）若方程组的解具有“邻好关系”，求的值.
（3）未知数为的方程组其中都是正整数，该方程组的解能否具有“邻好关系”？如果能，请求出的值及方程组的解；如果不能，请说明理由.

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