资源简介

2022年中考数学备考专项二次函数抛物线及解析式测试题（一）
1．已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．
（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．
2．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2的函数关系式；
（2）点A（4，y1）和点B（m，y2）在抛物线C2上，若y2＜y1，结合图象求m的取值范围；
（3）若抛物线C2的顶点为C，点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线C2于点Q．当线段PQ最长时，求点P的坐标．
3．已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．
4．在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）．
（1）当时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若抛物线经过点，求k的值；
（3）若抛物线经过点和点，且，求k的取值范围；
（4）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．
5．抛物线（a，c为常数，）与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，其中．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）该抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接．
①试判定的形状，并说明理由；
②在直线上是否存在点M，使直线与直线所成的锐角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m是常数）与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），（x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为P．
（1）当抛物线的对称轴为直线x＝1时，
①求抛物线顶点P的坐标；
②求△ABC的面积；
（2）当点A、B位于点（1，0）两侧时，
①求点A的坐标；
②若，函数值满足随的增大而增大，求的取值范围．
7．已知函数（为常数）．
（1）若点在此函数图象上，求的值．
（2）当时，
①求此函数图象与轴的交点的横坐标．
②若此函数图象与直线有三个交点，求的取值范围．
（3）已知矩形的四个顶点分别为点，点，点，点，若此函数图象与矩形无交点，直接写出的取值范围．
8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
（1）求b，c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．
10．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．
（1）求抛物线l1，l2的表达式；
（2）当抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（Ⅰ）抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ）或；（Ⅲ）点M的坐标为，点N的坐标为
【详解】
（Ⅰ）当时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线的解析式为
∵
∴抛物线的顶点坐标为；
（Ⅱ）当时，由抛物线经过点，可知
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为：
当时，
∴抛物线的顶点D的坐标为；
过点D作轴于点G
在中，，，
∴
在中，，，
∴．
∵，即，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为或．
（Ⅲ）当时，将点向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得．
作点F关于x轴的对称点，得点的坐标为
当满足条件的点M落在线段上时，最小，
此时，．
过点作轴于点H
在中，，，
∴．
又，即．
解得：，（舍）
∴点的坐标为，点的坐标为．
∴直线的解析式为．
当时，．
∴，
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
2．（1）y＝x2﹣4x+3；（2）0＜m＜4；（3）点P的坐标为（3，1）．
【详解】
解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（﹣1，2），
∴把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2的顶点为（2，﹣1），
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；
（2）点A坐标为（4，3），它关于直线x＝2对称的点为（0，3），
∵抛物线C2的函数关系式为 y＝x2﹣4x+3,
∴抛物线C2的对称轴为直线
∴抛物线C2上的点离对称轴越远其函数值越小，
∵y2＜y1，
∴0＜m＜4；
（3）点A的坐标为（4，3），点C的坐标为（2，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣5．
设点P的坐标为（t，2t﹣5），则点Q的坐标为（t，t2﹣4t+3），
∴PQ＝﹣t2+6t﹣8．
∴当t＝时，PQ最长．
当t＝3时，2t﹣5＝1，
∴点P的坐标为（3，1）．
3．（1）k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E；（2）3
【详解】
解：（1）∵直线经过，
∴把代入直线，可得，解得：；
∵抛物线（b，c为常数，）经过，
∴把代入抛物线，可得，即．
∵当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴顶点E的坐标为，把E代入直线，
可得，
∴，
解得：．
∵，
∴，
∴，
∴顶点E的坐标为．
（2）∵点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为，
∴．
∵在抛物线（b，c为常数，）上，
∴，即．
∴，
可知点D在第四象限，且在直线的右侧．
∵，
∴可取点，
如图，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∴，得，
则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，
在Rt△MDH中，可知，
∴，．
∵点，
∴，解得：．
∵，
，
∴
解得：．
此时，，符合题意，
∴ ．
4．（1），；（2）；（3）；（4）或
【详解】
解：（1）当时，，
，
∴此抛物线顶点坐标为；
（2）把，代入抛物线解析式，得，
解得：；
（3）依题意，有，
，
，
，
解得：；
（4）∵，
将抛物线向右平移1个单位长度得到的新解析式为，
①当时，时对应的抛物线部分位于对称轴右侧，
∴当时y有最小值，，
，
解得（舍），（舍）；
②当时，顶点为图象最低点，
∴当时y有最小值，，
，
解得：；
③当时，时对应的抛物线部分位于对称轴左侧，
∴当时y有最小值，，
，
解得（舍），，
综上，或．
5．（1）；（2）①的为直角三角形，见解析；②存在，， ．
【详解】
解：（1）根据题意，得 解得
∴ 抛物线的解析式为；
（2）① 为直角三角形，理由如下，
∵ 点，是抛物线与轴的交点，点在抛物线的对称轴上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ 的为直角三角形．
② 由，
解得或，
∴ ，
由，，得直线的解析式为，
如图，当时，
得 ，
∴ ，
设点的坐标为，
过点作轴，轴，垂足分别为，，
∴ ，
∴ ．解得，
∴ 点的坐标为；
当时，设点的坐标为，
由，，得，
由，得该抛物线的对称轴为直线，
由平移得，解得，
∴ 点的坐标为，
综上，所求点的坐标为，．
6．（1）①（1，-4）；②6（2）①A（-1，0）②m≤2
【详解】
（1）①∵抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m的对称轴为直线x＝-=1
∴
解得m=3
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3=-（x-1）2﹣4
∴顶点P点坐标为（1，-4）；
②令y=0，即x2﹣2x﹣3=0
解得x1=-1，x2=3
∴AB=4
令x=0，即y=-3
∴C（0，-3）
∴OC=3
∴△ABC的面积为；
（2）①令y=0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m=0
∴（x+1）（x-m）=0
解得x1=-1，x2=m
∵点A、B位于点（1，0）两侧时，x1＜x2
∴A（-1，0）
②∵抛物线的对称轴为x=-==
∵，函数值满足随的增大而增大即可求出m的取值．
∴≤
解得m≤2
∴m≤2．
7．（1）或；（2）①或；②或；（3）或或
【详解】
（1）将代入中，得，解得或．
（2）当时，函数为，
①令，解得或．（不合题意，舍去）
令，解得或．（不合题意，舍去）
综上，或．
②对于函数，其图象开口向上，顶点为；
对于函数，其图象开口向下，顶点为，与轴交于点．
综上，若此函数图象与直线有三个交点，则需满足或．
（3）对称轴为；对称轴为．
①当时，若使得图像与矩形ABCD无交点，需满足当时，，解不等式得或，在此基础上若使图像与矩形ABCD无交点，需满足当时，，
解得或，
综上可得：．
②当时，若使得图像与矩形ABCD无交点，需满足时，；当时，；得，
在此基础上若使图像与矩形ABCD无交点，需满足时，；时，；
求得；
综上：．
③当时，若使函数图像与矩形ABCD无交点，需满足时，且；
求解上述不等式并可得公共解集为：．
综上：若使得函数与矩形ABCD无交点，则或或．
8．（1）b=2，c=15；（2）m=-5，n=4
【详解】
解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
∴，
∴b=2，
∴y=-x2+2x+c，
把（1，16）代入得，16=-1+2+c，
∴c=15；
（2）存在，理由如下，
分三种情况：
a、n≤1，有：-m2+2m+15=4m①，-n2+2n+15=4n②，m＜n③，
解得m=n，不合题意；
b、m≥1，有：-m2+2m+15=4n①，-n2+2n+15=4m②，m＜n③，
①-②得：（n-m）（m+n）=6（n-m），n-m＞0，
∴m+n=6，
代入①解得：m=3，n=3；
不合题意，
c、若m＜1，n＞1，
∵此时函数的最大值为16，
∴4n=16，
∴n=4，
∴当x=m时，-m2+2m+15=4m，
解得m1=-5，m2=3（舍去），
当x=n时，-n2+2n+15=4m，
∴-16+8+15=4m，
解得m=（舍去），
综上所述：m=-5，n=4．
9．（1），顶点坐标为；（2）；（3）或
【详解】
（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c
解得，
抛物线的解析式为：，
，
顶点坐标为，
（2）的抛物线的对称轴为，开口向下，如图，
0＜x＜3时，，
（3）设P（x，y），
△PAB的高为|y|，
A（﹣1，0），B（3，0），
，
，
解得，
当时，
，
此时方程无解，
当时，
，
解得，
或．
10．（1）抛物线l1的表达式为；抛物线l2的表达式 ；（2）2≤x≤4；（3）线段MN的最大值是12．
【详解】
解：（1）由题意可知，抛物线l1的对称轴为直线.
∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），且AB＝6，
∴A（1，0），B（7，0）.
把A（1，0）代入，解得.
∴抛物线l1的表达式为.
把C（5，n）代入，解得.
∴C（5，4）.
∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，.
∴设抛物线l2的表达式为.
把A（1，0），C（5，4）代入，得，解得.
∴抛物线l2的表达式为．
（2）观察图象可知，两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
顶点E（2，-），顶点F（4，）
所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2于点P（m，0），M，N，
∴M（m，），N（m，）.
① 如图1，当1≤m≤5时，
∴当m＝3时，MN的最大值为4；
② 如图2，当5﹤m≤7时，
5﹤m≤7在对称轴m＝3右侧，
MN随m的增大而增大.
∴当m＝7时，MN的最大值是12.
综上所述，线段MN的最大值是12.
答案第1页，共2页
答案第13页，共14页

展开更多......

收起↑