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对数的运算性质
我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数的运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？
[问题]　(1)算一算：log28与log22＋log24；log28与log82
(2)猜一猜，对数可能有哪些性质？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM．
对数运算中的常见公式及推广
(1)loga＝logaM(M>0，n∈N*，n>1，a>0，且a≠1)；
(2)loga＝－logaM(M>0，a>0，且a≠1)；
(3)loga＝logaM(M>0，n，p∈N*，p，n>1，a>0，且a≠1)；
(4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a>0，且a≠1)．　　　
在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？
提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．log84＋log82＝________．
解析：log84＋log82＝log84×2＝log88＝1.
答案：1
3．log510－log52＝________．
解析：log510－log52＝log5＝log55＝1.
答案：1
知识点二　换底公式
logaN＝(a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)．
换底公式的推论
logambn＝logab，logab＝
1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
提示：logab＝，logab＝.
2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logMm＝logNM吗？
提示：log Nn Mm＝＝＝·＝logNM.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由换底公式可得logab＝.(　　)
(2)log2M＋log3N＝log6(MN)．(　　)
(3)log23·log32＝1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2.＝________．
解析：＝log39＝2.
答案：2
3．log29·log32＝________．
解析：log29·log32＝·＝＝2.
答案：2
4．log48＝________．
解析：log48＝log＝log22＝.
答案：
对数式的运算
[例1]　(链接教科书第84页例4)求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
(2)lg；
(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[解]　(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
(2)lg ＝lg 100＝lg 100＝×2＝.
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　
[跟踪训练]
1．已知ab>0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg＝lg a－lg b；③lg＝lg；④lg(ab)＝，其中正确的是________．
解析：①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1.只有③式成立．
答案：③
2．log354－log32＋log23·log34.
解：原式＝log3＋log24＝5.
对数换底公式的应用
[例2]　(链接教科书第85页例8)计算：(1)log29·log34；
(2).
[解]　(1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝log×log 9
＝×＝×＝－.
利用换底公式求值的思想与注意点
　[跟踪训练]
1．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．
C．25 D．
解析：选D　log5·log36·log6x＝－log53·log36·log6x＝－log5x，则log5x＝－2，则x＝5－2＝.故选D.
2．log23×log34×log45×log52＝________．
解析：log23×log34×log45×log52
＝×××
＝1.
答案：1
对数的综合应用
[例3]　(链接教科书第85页例6)已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
[解]　因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝
＝.
[母题探究]
1．(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)
解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.
2．(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？
解：因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log3645＝＝
＝＝.
求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点
(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；
(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；
(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．
[跟踪训练]
已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值．
解：由logxm＝24得logmx＝，由logym＝40得logmy＝，由logxyzm＝12得logm(xyz)＝，则logmx＋logmy＋logmz＝.
所以logmz＝－－＝，所以logzm＝60.
利用对数运算解决实际问题
[例4]　在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1　　　　　　　　 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
[解析]　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，
代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，
所以lg ＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
[答案]　A
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：
(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；
(2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算．　
[跟踪训练]
有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨，2020年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解析：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2019年开始增加的年份的数量(n∈N*)，
由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×，由400×＝4 000，两边取以10为底的对数并化简可得n(lg 3－lg 2)＝1，
∴n(0.477 1－0.301 0)＝1，即0.176 1n＝1，又n∈N*，
∴n＝6，∴2 019＋6＝2 025.故从2025年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨．
答案：2025
1．计算2log63＋log64的结果是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．log62
C．log63 D．3
解析：选A　2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选A　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M＞0，a＞0，且a≠1)知(3)与(5)正确．
3．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)
A. B．9
C．18 D．27
解析：选B　∵log34·log48·log8m＝··＝＝2，∴lg m＝2lg 3，∴m＝9.
4．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________．
解析：由a2＝(a＞0)得a＝，
所以log＝log＝2.
答案：2
5．(2021·南通第一中学月考)已知a, b是方程log3x3＋log273x＝－的两个根，试给出关于a, b的一个结论________．
解析：根据换底公式有＋＝－，即＋＝－.令1＋log3x＝t，则＋＝－，解得t＝－1或t＝－3.所以1＋log3x＝－1或1＋log3x＝－3，解得x＝或x＝.故a＋b＝.
答案：a＋b＝(答案不唯一)
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8对数
新课程标准解读 核心素养
理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 数学抽象、数学运算
4．2.1　对数的概念
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
[问题]　(1)依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？
(2)如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　对数的概念
1．对数的概念
一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和0没有对数；
(2)loga1＝(a>0，且a≠1)；
(3)logaa＝(a>0，且a≠1)；
(4)logaaN＝(a>0，a≠1，N>0)．
对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样．(　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为________．
答案：logaM＝2
3．把对数式loga49＝2写成指数式为________．
答案：a2＝49
4．log3＝0，则x＝________．
答案：3
5．若6log6(5x＋1)＝36.则x＝________．
解析：由6log6(5x＋1)＝36得5x＋1＝36，解得x＝7.
答案：7
指数式与对数式的互化
[例1]　(链接教科书第81页例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　　　　(2)＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
[解]　(1)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(2)∵＝16，∴log16＝－2.
(3)∵log27＝－3，∴＝27.
(4)∵log64＝－6，∴()－6＝64.
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　
[跟踪训练]
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)logx＝6；
(3)43＝64；(4)3－3＝.
解：(1)因为log216＝4，所以24＝16.
(2)因为logx＝6，所以()6＝x.
(3)因为43＝64，所以log464＝3.
(4)因为3－3＝，所以log3＝－3.
对数的计算
[例2]　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[解]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂；
(2)已知指数与幂，用指数式求底数；
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．　
[跟踪训练]
求下列各式中的x值：
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)x＝log27.
解：(1)由logx27＝，可得x＝27，
∴x＝27＝＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2.
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
对数的性质
[例3]　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625.
[母题探究]
1．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
2．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3 log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由3log3(log4(log5x))＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值；
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　　
[跟踪训练]
计算：2＋2log31－3log77＋3ln 1＝________．
解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
答案：0
1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与9＝3
C．8＝与log8＝－
D．log77＝1与71＝7
解析：选ACD　log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A、C、D正确．
2．在b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)∪(5，＋∞)　　 B．(2，5)
C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4)
解析：选C　由对数的定义知解得23．已知a＝(a>0)，则loga＝(　　)
A．2 B．3
C. D．
解析：选B　由a＝，得a＝＝，所以loga＝log＝3.
4．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________．
解析：∵log5x＝2，∴x＝52＝25.
∵logy8＝3，∴y3＝8，
∴y＝2，∴x＋y＝27.
答案：27
5．已知x＝log23，求的值．
解：法一：∵23x＝(2log23)3＝33＝27，
2－3x＝(2x)－3＝(2log23)－3＝3－3＝，
2x＝2 log23＝3，2－x＝＝，
∴原式＝＝.
法二：∵x＝log23，∴2x＝3，
∴＝＝
＝＝.
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6指数幂的拓展
牛顿(Newton 1643—1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将，，，…写成a，a，a，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程．
[问题]　你能归纳出指数幂的运算性质吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n均为正整数)
负分数指数幂 规定：a＝＝(a>0，m，n均为正整数)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂为，0的负分数指数幂没有意义
2．指数幂的运算性质
(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；
(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．
实数指数幂中底数的取值范围
幂指数 定义 底数的取值范围
整数指数 正整数指数 a∈R
零指数 a0＝1 a≠0且a∈R
负整数指数 a－n＝(n∈N*) a≠0且a∈R
有理数指数 正分数指数 a＝(m，n∈N*，且m，n互质) n为奇数 a∈R
n为偶数 a≥0
负分数指数 a＝(m，n∈N*，且m，n互质) n为奇数 a≠0且a∈R
无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0
1．为什么分数指数幂的底数规定a>0
提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；若n为奇数，则a，a有意义．
②当a＝0时，a0无意义．
2．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？
提示：①ar÷as＝ar－s；②＝.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)＝x(x>0)．(　　)
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)
(3)0的任何指数幂都等于0.(　　)
(4)化简式子[(－)2]的结果是.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．计算：(0.008 1)－×－10×(0.027)＝________．
解析：原式＝－3×－3＝－.
答案：－
根式与分数指数幂的互化
[例1]　(链接教科书第78页例3)用根式或分数指数幂表示下列各式：a，a(a>0)，，(a>0), (a>0)．
[解]　a＝；a(a>0)＝；＝a＝a2；
(a>0)＝＝a； (a>0)＝ ＝ ＝a.
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．　
[跟踪训练]
1．(多选)下列结论中正确的有(　　)
A．(－2)＝(－2)
B．[(－2)×(－3)]＝(－2)(－3)
C．当a>0时，(ar)s＝(as)r
D.＝()
解析：选CD　对于A选项，(－2)>0，而(－2)无意义，错误；对于B选项，左侧＝，右侧无意义，错误．C、D均正确．
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；(2)a3·；(3) .
解：(1)＝＝a.
(2)a3·＝a3·a＝a＝a.
(3) ＝＝b·＝b·(－a－2)＝－ba.
指数幂的运算
[例2]　(链接教科书第80页习题5题)计算下列各式：
(1)＋2－2×－0.010.5；
(2)0.064－＋[(－2)3]＋16－0.75.
[解]　(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．　
[跟踪训练]
求值：(1)－＋(0.2)－2×－(0.081)0；
(2)π0－＋×.
解：(1)原式＝－＋25×－1＝－＋2－1＝－.
(2)原式＝1－16＋2＝－13.
条件求值问题
[例3]　(链接教科书第80页习题8题)已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解]　(1)将a＋a＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，求a2－a－2的值．
解：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
(1)a±2ab＋b＝(a±b)2；
(2)a－b＝(a＋b)(a－b)；
(3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)；
(4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．
[跟踪训练]
已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值．
解：＝＝.①
∵a＋b＝12，ab＝9，②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6.③
将②③代入①，得＝＝－.
1．将5写为根式，正确的是(　　)
A.　　　　　　　　 B．
C. D．
解析：选D　5＝.
2．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．∪
C. D．
解析：选D　∵(1－2x)＝，∴1－2x>0，得x<.
3．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)得(　　)
A．－b2 B．b2
C．－b D．b
解析：选A　原式＝＝－b2.
4．计算：(1)＋0.002－10(－2)－1＋π0；
(2)8－＋－(－1)0.
解：(1)＋0.002－10(－2)－1＋π0＝－3＋10－10－20＋1＝－22.
(2)根据分数指数幂的定义，得8＝(23)＝22＝4，＝22＝4，＝＝＝.从而原式＝4－4＋－1＝.
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6指数
新课程标准解读 核心素养
通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质 数学抽象、数学运算
4．1.1　根式
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个二次根式的诞生．
[问题]　若x2＝2，这样的x有几个？它们叫做2的什么？怎样表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　n次方根
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x称为a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x在实数范围内不存在
2．根式
(1)定义：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数；
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①()n＝；
②＝
注意与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.
正数a的n次方根一定有两个吗？
提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) ＝3－π.(　　)
(2)81的4次方根是±3.(　　)
答案：(1)×　(2)√
2．(多选)若xn＝a(x≠0)，则下列说法中正确的有(　　)
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
答案：BD
3．若有意义，则x的取值范围是________；若有意义，则x的取值范围是________．
答案：　R
4．计算：(1)－32的5次方根；
(2)()2；()3; ；
(3) .
解：(1)－32的5次方根为－2.
(2)()2＝5；
()3＝－2；
＝＝2.
(3) ＝(a－b)2.
根式的概念
[例1]　(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________；
(2)已知x7＝6，则x＝________．
[解析]　(1)∵(±4)2＝16，
∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
[答案]　(1)±4　　(2)
判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　
[跟踪训练]
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．16的4次方根是2
B.的运算结果是±2
C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
解析：选CD　16的4次方根应是±2；＝2，所以正确的应为C、D.
2．已知m10＝2，则m等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．±
解析：选D　∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.
利用根式的性质化简与求值
[例2]　(链接教科书第76页例1)化简与求值：
(1) ；
(2)
(3) ；
(4) ＋.
[解]　(1) ＝－5.
(2) ＝＝＝3.
(3)∵a≤，∴1－2a≥0，
∴＝＝＝.
(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x∴ ＋＝
根式化简的思想和注意点
(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的；
(2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．
[跟踪训练]
计算 ＋4＝________．
解析：原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29.
答案：29
带条件的根式的化简
[例3]　化简 － (－3[解]　原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3当－4当0≤x－1<2，即1≤x<3时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.
∴ － ＝
带条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简；
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
[跟踪训练]
若nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
解析：选C　原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.
1．a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D　当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
解析：选B　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.
3．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
解析：选C　原式＝|2－a|＋|3－a|，∵24．若x≠0，则|x|－＋＝________．
解析：∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1.
答案：1
5. 求 － ＋ 的值．
解：原式＝ － ＋ ＝－＋＝.
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