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专题16 相交线与平行线
一、单选题
1．（2021·江苏九年级）如图，把一块直角三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据平角的定义即可得．
【详解】
解：如图，由题意得：，，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角的和差，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．（2021·湖南九年级）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＞∠4+∠5 B．∠2＝∠3+∠5 C．∠1＝∠2 D．∠2＜∠5
【答案】C
【分析】
根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
A．∵∠1是△OBC的外角，∴∠1＝∠4+∠5，故本选项不符合题意；
B．∵∠2是△AOD的外角，∴∠2＝∠3+∠A，故本选项不符合题意；
C．∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，正确．
D．∵∠2是△OBC的外角，∴∠2＞∠5，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
3．（2021·河南九年级）如图，直线与相交，，（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】
直接根据对顶角相等以及邻补角性质解题即可．
【详解】
解：，
又，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对顶角及邻补角的性质，关键是掌握对顶角相等，邻补角相加等于．
4．（2021·浙江九年级期末）如图，三根木条相交形成，，，（为锐角）固定木条b，c，转动木条a，则可能和相等的角是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质进行判断即可．
【详解】
解：固定木条b，c，转动木条a，
当a与b平行时，则有
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”是解答此题的关键．
5．（2021·陕西九年级）如图，已知直线ABCD，若∠B＝50°，∠D＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】C
【分析】
由题意直接根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△MDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣30°＝20°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意掌握两直线平行，内错角相等．
6．（2021·广东九年级）如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质求出，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可．
【详解】
解：，
∴，
，且为△DEF的外角，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行的性质以及外角的性质，解题的关键在于应用外角的性质来求角度．
7．（2021·云南昆明市·）如图，将木条，与钉在一起，，若要使木条与平行，则的度数应为（ ）
A．40° B．50° C．90° D．130°
【答案】B
【分析】
根据两直线平行，同位角相等即可得出答案．
【详解】
解：要使木条与平行，且和为同位角，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
8．（2021·河北）如图，与的关系是（ ）
A．互为对顶角 B．互为同位角 C．互为内错角 D．互为同旁内角
【答案】B
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】
解：由图可得，∠1与∠2的关系是同位角，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同位角判定，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2021·江苏九年级）如图，，分别与，交于点，．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出，然后利用三角形外角性质即可得到的度数．
【详解】
解：∵∥，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形的外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补得到是解答本题的关键．
10．（2021·北京朝阳区·）如图，∠B=43°，∠ADE=43°，∠AED=72°，则∠C的度数为（ ）
A．72° B．65° C．50° D．43°
【答案】A
【分析】
由同位角相等判定两直线平行，然后利用平行线的性质求解．
【详解】
解：∵∠B=43°，∠ADE=43°，
∴∠B=∠ADE
∴DE∥BC
∴∠C=∠AED=72°
故选：A
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，题目比较简单，掌握相关性质定理正确推理是解题关键．
二、填空题
11．（2021·吉林九年级）命题“同位角相等”是_______(填“真”或“假”，）命题
【答案】假
【分析】
两直线平行，同位角相等，如果没有前提条件，并不能确定同位角相等，由此可作出判断．
【详解】
解：两直线平行，同位角相等，
命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．
故答案为：假．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，属于基础题，同学们一定要注意一些定理成立的前提条件．
12．（2021·黑龙江九年级）如图，直线，直线与、分别相交于点、，如果，那么是______度．
【答案】．
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，即可解决问题．
【详解】
解：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等；平行线的性质必须熟练掌握．
13．（2021·云南文山·九年级）如图，直线a、b被直线c所截，，，那么_______．
【答案】60
【分析】
根据：两直线平行，内错角相等．可得结论.
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
此题考察的是平行线的性质，掌握平行线的性知识解题的关键．
14．（2021·江苏九年级）如图，直线，是等边三角形，若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】
根据等边三角形的性质可得，利用三角形的外角性质求出，再根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、等边三角形的性质，掌握上述性质定理是解题的关键．
15．（2021·云南昭通·）如图，已知直线c与直线a，b分别交于点A，B，且∠2=65°，若直线，则∠3的度数为________．
【答案】115°
【分析】
根据两直线平行同位角相等得出，再根据和互补，即可得出答案．
【详解】
∵，
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等，属于基础知识题．
三、解答题
16．（2021·陕西师大附中九年级）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
【答案】见解析
【分析】
根据AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS证明△ABD≌△EDC，即可得结论．
【详解】
解：证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD．
【点睛】
此题考查了平行线的性质和三角形全等的证明，解题的关键是根据题意找到证明三角形全等需要的条件．
17．（2021·湖北九年级）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，求证：DE∥AF
【答案】见解析
【分析】
根据垂直的定义可得∠CDA=∠BAD=90°，然后根据等式的基本性质可得∠EDA=∠FAD，再根据内错角相等，两直线平行即可证出结论．
【详解】
证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA=∠BAD=90°
∵∠1＝∠2
∴∠CDA－∠1=∠BAD－∠2
∴∠EDA=∠FAD
∴DE∥AF
【点睛】
此题考查的是垂直的定义和平行线的判定，掌握垂直的定义和内错角相等，两直线平行是解决此题的关键．
18．（2021·云南）如图，已知，且，求证：
【答案】见解析
【分析】
根据可得，，根据邻补角结合已知条件，可知，进而证明，由三角形全等的性质即可得证
【详解】
证明：
又
在和中
（AAS）
【点睛】
本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，三角形全等的性质与判定，找到角之间的关系证明是解题的关键．
19．（2021·湖北武汉·九年级）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，∠E＝∠F，求证：CE∥DF．
【答案】见解析．
【分析】
根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质得到，然后根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
20．（2021·江苏九年级）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）通过证明△ADB≌△EBC得到，利用线段和差即可得证；
（2）根据等边对等角得到，再利用平行线的性质得到，根据角的和差即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
在△ADB和△EBC中，
，
∴△ADB≌△EBC，
∴，
∴，
∴；
（2）∵△ADB≌△EBC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2021·湖北九年级）如图，D是AE上的点，AE∥BC，∠1＋∠2 ＝180°．求证：∠A ＝∠C．
【答案】证明见解析；
【分析】
先根据平行线的判定，由题意知∠1+∠2=180°，可知AB∥CD，又因为AE∥BC，可知四边形ABCD为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解；
【详解】
证明∵∠1+∠2=180°，
∴AB∥CD，
又∵AE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、平行四边形的性质与判定，正确掌握知识点是解题的关键；
22．（2021·浙江）已知，和中，，．试探究：
（1）如图1，与的关系是______；
（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
【分析】
（1）两直线平行，同位角相等，进行等量代换即可．
（2）两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，等量代换即可．
（3）观察第一问和第二问的条件和结果，就可以得出真命题．
【详解】
证明：如下图：
设DE交BC于点G
∵
∴
又∵
∴
∴
（2）如下图：设BC与DE交于点G
∵，
∴
又∵
∴，
∵
∴．
（3）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，能够根据直线平行，找到角的等量关系是解题的切入点．
23．（2021·湖北九年级）如图，已知，．求证
【答案】见解析
【分析】
根据平行线的性质和判定可以解答本题．
【详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线判定与性质，掌握平行线判定与性质是解题关键．专题16 相交线与平行线
一、单选题
1．（2021·江苏九年级）如图，把一块直角三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．75°
2．（2021·湖南九年级）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＞∠4+∠5 B．∠2＝∠3+∠5 C．∠1＝∠2 D．∠2＜∠5
3．（2021·河南九年级）如图，直线与相交，，（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（2021·浙江九年级期末）如图，三根木条相交形成，，，（为锐角）固定木条b，c，转动木条a，则可能和相等的角是（ ）
A． B． C． D．不存在
5．（2021·陕西九年级）如图，已知直线ABCD，若∠B＝50°，∠D＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（2021·广东九年级）如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·云南昆明市·）如图，将木条，与钉在一起，，若要使木条与平行，则的度数应为（ ）
A．40° B．50° C．90° D．130°
8．（2021·河北）如图，与的关系是（ ）
A．互为对顶角 B．互为同位角 C．互为内错角 D．互为同旁内角
9．（2021·江苏九年级）如图，，分别与，交于点，．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·北京朝阳区·）如图，∠B=43°，∠ADE=43°，∠AED=72°，则∠C的度数为（ ）
A．72° B．65° C．50° D．43°
二、填空题
11．（2021·吉林九年级）命题“同位角相等”是_______(填“真”或“假”，）命题
12．（2021·黑龙江九年级）如图，直线，直线与、分别相交于点、，如果，那么是______度．
13．（2021·云南文山·九年级）如图，直线a、b被直线c所截，，，那么_______．
14．（2021·江苏九年级）如图，直线，是等边三角形，若，则的度数为__________．
15．（2021·云南昭通·）如图，已知直线c与直线a，b分别交于点A，B，且∠2=65°，若直线，则∠3的度数为________．
三、解答题
16．（2021·陕西师大附中九年级）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．
17．（2021·湖北九年级）如图，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1＝∠2，求证：DE∥AF
18．（2021·云南）如图，已知，且，求证：
19．（2021·湖北武汉·九年级）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，∠E＝∠F，求证：CE∥DF．
20．（2021·江苏九年级）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2021·湖北九年级）如图，D是AE上的点，AE∥BC，∠1＋∠2 ＝180°．求证：∠A ＝∠C．
22．（2021·浙江）已知，和中，，．试探究：
（1）如图1，与的关系是______；
（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
23．（2021·湖北九年级）如图，已知，．求证

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