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专题八 概率与统计 第一讲 排列组合与二项式定理 习题1
1.在大约一千五百年前的魏晋南北朝时期，我国的天文历算家已经能够求解复杂的一次同余式，掌握了按一定程序计算一次同余式的方法.在同余问题中，设a，b，m都为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为，例如，若，，则b的值可以是( )
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
2.为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城·生态志愿行”为主题的生态活动日.现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有( )
A.50种 B.60种 C.70种 D.80种
3.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有( )
A.6种 B.8种 C.20种 D.24种
4.6名学生和2位老师排成一排毕业留影，要求两位老师站最中间，学生甲、乙不相邻，则不同的站法种数为( )
A.1056 B.960 C.864 D.768
5.将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给3人，每人至少1张.如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( )
A.24 B.18 C.12 D.6
（多项选择题）
6.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲乙不相邻的排法种数为72种
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
7.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角判断下列说法正确的是( )
A.
B.已知，则
C.已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为
D.
8.在的展开式中，含x的系数为_____________（用数字作答）.
9.已知二项式的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则_________，常数项为_____________.
10.设，其中是关于x的多项式，.
（1）求a,b的值；
（2）若，求除以81的余数.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由二项式定理系数的性质得，
结合二项式定理可得
，
据此可得a除以9的余数为7，在所给的选项中，只有2023除以9的余数为7，
则b的值可以是2023，故选C.
2.答案：A
解析：携带工具方案有两类：第一类：1个勾子，1个夹子，3把铁锹，所以携带工具的方案数有(种)；
第二类：1个勾子，2个夹子，2把铁锹，所以携带工具的方案数有(种)，
所以不同的安排方案有(种)，故选A.
3.答案：B
解析：由题意知，当甲第一个出场时，不同演讲的方法有(种)；
当甲第二个出场时，不同演讲方法有(种)，
所以所求的不同演讲方法有(种)，故选B.
4.答案：A
解析：老师站最中间有(种)站法，
老师站最中间且学生甲、乙相邻有(种)站法，
不同的站法种数为(种)，故选A.
5.答案：B
解析：4张电影票分3份，其中两张连续，则共有，，三种分法，每一种分法分给3个人共种分法，所以不同的分法共有种.
6.答案：ABCD
解析：对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确，
对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故正确，
对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有种，故正确，
对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确．
故选：ABCD．
7.答案：AD
解析：本题考查二项式定理及杨辉三角的应用.A选项：等式为标准二项展开式的结果，故A正确；B选项：将看成，则，令，则，故B错误；C选项：第3项与第9项的二项式系数相等，可转化为，则，令，则所有项的系数和为，故C错误；D选项：根据杨辉三角得，，，，同理可得，故D正确.
8.答案：15
解析：本题考查利用二项展开式的通项求特定项的系数.由二项式定理可得展开式的通项为，令，得，所以含x的系数为.
9.答案：6；15
解析：由展开式中各项的二项式系数之和为，得，所以的展开式的通项，令，得，故展开式中的常数项为.
10.答案：（1）由已知等式，得,
,
,
,
,.
（2），即，，
,
所求的余数为28.专题八 概率与统计 第一讲 排列组合与二项式定理 习题2
1.某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一、高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为( )
A.48 B.144 C.288 D.576
2.有5名同学站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学不能相邻，则不同的站法有( )
A.8种 B.16种 C.32种 D.48种
3.若用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有多少个( )
A.120 B.132 C.144 D.156
4.已知集合A，若对任意，有，就称A是具有“伙伴关系”的集合.在集合的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为( )
A.15 B.16 C. D.
5.从10名排球队员中选出7人参加比赛，则不同的选法种数为( )
A.150 B.120 C.160 D.110
（多项选择题）
6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是( )
A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
7.若的展开式中最中间的一项是，则( )
A. B.展开式中所有项的二项式系数之和为64
C.展开式中的所有项的系数和为 D.展开式中的常数项为
8.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．
其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是_________.
9.某诗词大会亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有____种。（用数字作答）
10.某一天的课程表要排政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么课程表共有多少种不同的排法
答案以及解析
1.答案：C
解析：分两类进行讨论.
第一类，高一年级同学相邻且高二年级同学不相邻，
把高一年级两个同学“捆绑”看作一个元素，与高三年级两个同学进行排列，有种不同排法，把高二年级两个同学插入4个空位中的2个（插空法），有种不同方法，故第一类有种站法；
第二类，高二年级同学相邻且高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法.
由分类加法计数原理知，共有种站法，故选C.
2.答案：B
解析：首先将甲排在中间，因为乙、丙两名同学不能相邻，所以两人必须站在甲的两侧，
选出一人排在左侧，有种方法，
另外一人排在右侧，有种方法，
余下两人排在余下的两个空中，有种方法，
所以不同的站法有种.
故选B.
3.答案：B
解析：先排0,2,4，再让1,3,5插入排0,2,4后形成的四个空中，总的排法有种，
其中先排0,2,4时，若0在排头，将1,3,5插在后三个空的排法有种，由于0在首位不能构成六位数，故总的六位数的个数为.
4.答案：A
解析：具有“伙伴关系”的元素组有-1,1,,2,,3,共四组.它们中任一组、二组、三组、四组均可组成具有“伙伴关系”的集合，所以具有“伙伴关系”的集合的个数为.故选A.
5.答案：B
解析：不同的选法种数为.故选B.
6.答案：ABC
解析：每人有四项工作可以安排，所以5人都安排一项工作的不同方法数为，故选项A中说法错误；每项工作至少有1人参加，则有一项工作安排2人，其他三项工作各1人，所以共有种不同方法数，选项B中是每项工作先安排1人，还剩下1人在四项工作中选择，这样会有重复，比如：“甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，戊安排翻译”与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，甲安排翻译”重复计算了，故选项B中说法错误；选项C中是先分组后分配，代表的是5人分成3人、1人、1人三组，代表的是5人分成2人、2人、1人三组，然后三组人分配三项工作，乘，然而在分组的过程中都有重复，比如：3人、1人、1人分组中，先选择了甲、乙、丙三人一组，剩下丁、戊分两组只有一种分法，而不是种分法，故选项C中说法错误；选项D分两类考虑，第一类：司机安排1人，方法数为，另外4人分3组，方法数为（4人选2人为1组，另外2人分2组只有一种分法），然后3组人安排除司机外的三项工作，方法数为，则不同安排方案的种数是，第二类：司机安排2人，方法数为，剩下3人安排另外三项工作，方法数为，则不同安排方案的种数是，由分类加法计数原理得，共有种不同的安排方案，故选项D中说法正确.故选ABC.
7.答案：BCD
解析：因为的展开式中存在最中间的一项，所以n必然为偶数，且最中间的一项为.所以解得故A错误；展开式中所有项的二项式系数之和为故B正确；令得展开式中所有项的系数和为故C正确；因为二项展开式的通项公式为令得所以展开式中的常数项为故D正确.故选BCD.
8.答案：36
解析：把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，把“民俗调查”安排在周一，有，∴满足条件的不同安排方法的种数为，答案为36
9.答案：144
解析：分两步完成:(1)将《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟)《关山月》进行全排列有种排法,若《蜀道难》排在《游子吟》的前面,则有种排法;(2)将《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中,有种排法,由分步乘法计算原理,知满足条件的排法有种。
10.答案：根据要求,课程表安排可分为4种情况:
(1) 体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节, 有种排法;
(2) 数学排在第一节但体育不排在最后一节,有种排法;
(3) 体育排在最后一节但数学不排在第一节,有种排法;
(4) 数学排在第一节,体育排在最后一节,有种排法,
故总的排法有: (种).(共43张PPT)
专题八 概率与统计
第一讲 排列组合与二项式定理
高考考点 考点解读

两个计数原理 1.与涂色问题、几何问题、集合问题等相结合考查
2.与概率问题相结合考查
（一）考点解读
高考考点 考点解读

排列、组合的应用 1.以实际生活为背景考查排列、组合问题
2. 与概率问题相结合考查
（一）考点解读
高考考点 考点解读

二项式定理的应用 1.考查二项式展开式的指定项或指定项的系数
2.求二项式系数和二项展开式的各项系数和
（一）考点解读
（二）核心知识整合
考点1：两个计数原理
[典型例题]
D
[解析]
[典型例题]
C
[解析]
『规律总结』
[跟踪训练]
B
[解析]
[跟踪训练]
D
[解析]
考点2：排列、组合的应用
[典型例题]
B
[解析]
[解析]
[典型例题]
B
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
C
[解析]
考点3：二项式定理的应用
[典型例题]
D
[解析]
[典型例题]
C
[解析]
『规律总结』
『规律总结』
[跟踪训练]
A
[解析]
[跟踪训练]
A
[解析]
[解析]
Thanks专题八 概率与统计
第一讲 排列组合与二项式定理
（一）考点解读
高考考点 考点解读
两个计数原理 1.与涂色问题、几何问题、集合问题等相结合考查2.与概率问题相结合考查
排列、组合的应用 1.以实际生活为背景考查排列、组合问题2. 与概率问题相结合考查
二项式定理的应用 1.考查二项式展开式的指定项或指定项的系数2.求二项式系数和二项展开式的各项系数和
（二）核心知识整合
考点1：两个计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．两个计数原理的比较
名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题
不同点 运用加法运算 运用乘法运算
分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解
[典型例题]
1.如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为( )
A.24 B.80 C.72 D.96
[答案]：D
[解析]　至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：第一种，种植4种农作物，有种种植方法；第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，有①③，②④，①④这三种情况，每一种情况都有种种植方法.
则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有（种）.故选D.
2.从6人中选出4人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为( )
A.94 B.180 C.240 D.286
[答案]：C
[解析] 第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法；
第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有种选法.
由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为，
故选：C.
『规律总结』
两个计数原理的应用技巧
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
[跟踪训练]
1. 某班的数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同的课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析]　 将12名同学平均分成四组，共有种不同的分法，分别研究四个不同课题，共有种不同的分法每组选出一名组长，共有种不同的选法，故不同的分配方案的种数为,故选B.
2.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域A,B,C,D,E涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A.120种 B.260种 C.340种 D.420种
[答案]：D
[解析] 分四步：①区域A涂色方案有5种；②区域B涂色方案有4种；③区域C涂色方案有3种；④对于区域D,E，若D与B颜色相同，则区域E涂色方案有3种，若D与B颜色不同，则区域D,E涂色方案均有2种，所以区域D,E涂色方案共有（种）.故不同的涂色方案有（种）.故选D.
考点2：排列、组合的应用
1．必记公式
(1)排列数公式：
(2)组合数公式：
[典型例题]
1.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的概率为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析]　 “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有（种）排法，其中“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类：
①“数”排在第一节，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则有（种）排法；
②“数”排在第二节，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则有（种）排法.
故“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的排法共有（种），所以“数”排在前两节，“礼”和“乐”相邻排课的概率，故选B.
2.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是( )
A.342 B.346 C.432 D.428
[答案]：B
[解析] 可坐的座位一共有20个，2个人坐的方法数为，还需排除2人左右相邻的情况，把可坐的20个座位排成一排，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为.
故选：B.
『规律总结』
解答排列组合问题的常用方法
排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：
(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏；
(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决；
(3)元素相邻，可以看作是一个整体的方法；
(4)元素不相邻，可以利用插空法；
(5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉；
(6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来；
(7)定序问题缩倍法；
(8)“小集团”问题先整体后局部法．
[跟踪训练]
1. 某教师一天上3个班级的课，每班1节，如果每班一天共9节课，上午5节、下午4节，并且该教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有( )
A.474种 B.77种 C.462种 D.79种
[答案]：A
[解析] 从9节课中任意安排3节，有种排法，其中上午连排3节，有种排法，下午连排3节，有种排法，则这位教师一天的课的所有排法有（种），故选A.
2. 某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为( )
A.12 B.24 C.48 D.720
[答案]：C
[解析] 先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有种不同的排法，再排2本语文书，有种不同的排法，最后排2本英语书，有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有种不同的排法.故选C.
考点3：二项式定理的应用
1.二项式定理：
①定理内容：=
②通项公式：．
2．重要性质及结论
(1)组合数的性质：
①C＝；
②C＝；
③C＋C＋…＋C＝；
④C＋C＋…＋C＝．
(2)二项式系数的有关性质：
①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
②若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，
奇数项系数和为，
偶数项系数之和为．
[典型例题]
1.的展开式中含的项的系数为( )
A.120 B.30 C.-30 D.-120
[答案]：D
[解析]　 ：，的展开式中没有含的项，
，的展开式通项，
令，，所以含的项为，故选D.
2.若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项为( )
A.90 B.-90 C.180 D.-180
[答案]：C
[解析] 因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以，
则的展开式的通项公式，
令，解得，所以该二项展开式中的常数项为.
故选C.
『规律总结』
1.项式定理有关的题型及解法
类型 解法
求特定项或其系数 常采用通项公式分析求解
系数的和或差 常用赋值法
近似值问题 利用展开式截取部分项求解
整除(或余数)问题 利用展开式求解
2．解决与二项式定理有关问题的五个关注点
(1)Tr＋1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项．
(3)公式中a，b的指数和为n，a，b不能颠倒位置．
(4)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混．
(5)二项式系数最大项与展开式系数最大项不同．
[跟踪训练]
1. .已知的展开式中的系数为-240，则该二项展开式中的常数项为( )
A.-640 B.-320 C.640 D.320
[答案]：A
[解析] 的展开式的通项公式为，
令，得；令，得，舍去.
故的展开式中的系数为，得.令，得，舍去；令，得.故的展开式中的常数项为.
故选：A.
2. 已知（a为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为( )
A.-79 B.79 C.-81 D.81
[答案]：A
[解析] 因为（a为常数）的展开式中各项系数之和为1，所以在中，令，可得，解得.的展开式的通项，令，解得，令，解得，故的展开式中的系数为，故选A.

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