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高中数学同步指导试卷苏教版（2019）必修第二册平面向量
一、单选题
1．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若向量满足，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．已知是边长为4的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知两个单位向量，，且它们的夹角为，点C在以O为圆心，1为半径的上运动，则·的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．－
5．在三角形ABC中，已知AB＝2，AC＝1，，，，若CD与BE交于O点，则AO的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
8．已知向量，若向量在方向上的投影为，则（ ）
A． B． C．或13 D．3
二、多选题
9．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
10．下列关于平面向量的说法中正确的是 （ ）
A．已知均为非零向量，则存在唯一的实数，使得
B．若且，则
C．若点为的重心，则
D．若与是单位向量，则
11．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（ ）
A．在方向上的投影为0 B．
C． D．
12．已知的重心为，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积是面积的
C．若，，则
D．若，，则当取得最小值时，
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为______．
14．已知平面向量，，不共线且两两所成的角相等，，则___________.
15．已知平面向量 的夹角为，且，，则与的夹角等于___________.
16．有下列三个命题：
①若，，则；
②的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；
③若且，则．
其中正确的命题有______．
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，向量，，的方向如图所示，且，，，分别求它们的坐标．
18．如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求，的大小.
19．已知，，当与满足下列条件时，分别求.
(1)与的夹角为；
(2)；
(3)与的夹角为；
(4).
20．已知都是空间向量，且，求．
21．设，是夹角为的单位向量，若，，求与的夹角．
22．如果A，B，C是空间中的三点，且，那么这三个点是否一定共线？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：
,
解得.
故选：.
2．D
【解析】
【分析】
根据求出，根据即可求投影.
【详解】
，
故在方向上的投影.
故选：D.
3．A
【解析】
【分析】
建立坐标系，用坐标表达数量积，求出答案.
【详解】
连接AE，则正六边形中，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立直角坐标系，则，，设，则，
.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
可以O为原点，OB为x轴建立坐标系，将C点设为，利用坐标法进行求解.
【详解】
以为坐标原点建立如图坐标系，
则由已知得.
由点在以为圆心，1为半径的上运动可设，.
∴
，
由知，，
∴，
因此当时，有最小值.
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
应用基底法，结合B，O，E共线、C，O，D共线分别得到关于的线性表达式，由平面向量基本定理列方程求参数，再由向量数量积的运算律求的模长即可.
【详解】
因为AB＝2，AC＝1，，则．
设，，因为与不平行，所以，为一组基向量，
因为B，O，E共线，，所以，
因为C，O，D共线，，所以，
所以，则，解得，
所以，
所以，
所以AO的长为，
故选：B．
6．B
【解析】
【分析】
利用共线向量定理求解.
【详解】
因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以，则，
因为，
所以，
因为A，B，C不共线，
所以，解得，
故选：B
7．B
【解析】
【分析】
根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】
A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，
故未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
根据题意得，进而且，再解方程即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以向量在方向上的投影为，
所以且，即且
所以.
故选：B
9．ABC
【解析】
【分析】
根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当时可判断C；根据单位向量的定义可判断D，进而可得答案.
【详解】
对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
对于B，零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，
则对于非零向量，必有，但与的方向不一定相同或相反，故B错误；
对于C，若，则零向量与任意向量平行，
所以对任意向量与，均有，，故此时与不一定平行，故C错误；
对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量，其单位向量为，故D正确.
故选：ABC.
10．AC
【解析】
【分析】
由平面向量共线定理、向量数量积的定义和运算律、重心的向量表示可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于A，由平面向量共线定理可知A正确；
对于B，若则，，无法得到，B错误；
对于C，取中点，则，
为的重心，，，C正确；
对于D，，则未必成立，D错误.
故选：AC.
11．AB
【解析】
【分析】
根据向量投影、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
平行四边形中，，
所以，
所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以A正确；
，，．所以B正确；
，所以C不正确；
因为，所以，所以D不正确.
故选：AB
12．AC
【解析】
【分析】
利用平面向量的基底表示，结合重心的性质，判断选项AB，利用余弦定理计算角，根据平面向量的基底表示计算向量的数量积，从而判断选项CD.
【详解】
设的中点为，则，则，即，由重心性质可知成立，故A正确；
，则，即，所以为边上靠近点的三等分点，则的面积是面积的，故B错误；
在中，由余弦定理得，则，故C正确；
由余弦定理得，所以
，则当时，取得最小值，此时，，故D错误.
故选：AC
【点睛】
一般计算平面向量的数量积时，如果不能采用定义或者坐标公式运算时，可利用向量的基底表示，根据向量的线性运算法则将所求向量表示为已知向量的和或差进行计算.
13．
【解析】
【分析】
由向量共线定理的推论可知：，，根据已知条件及平面向量基本定理列方程组求参数值即可.
【详解】
由题设，可得如下示意图，且，
且，
且，
所以，可得，即，
所以，可得.
故答案为：.
14．0
【解析】
【分析】
由向量的数量积的定义和向量的模的计算公式可得答案.
【详解】
解：由题意三个平面向量，，两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是，
又同
，
故答案为：0.
15．##
【解析】
【分析】
由题可得，，再利用夹角公式即得.
【详解】
∵平面向量 的夹角为，且，，
∴，，
，
∴，
所以与的夹角等于.
故答案为：.
16．①③
【解析】
【分析】
①根据题设有即可判断；②根据相等向量的定义判断；③应用向量的加法及零向量的性质判断.
【详解】
①由题设，，即，正确；
②的等价条件是模长相等且方向相同，与起止点的位置无关，错误；
③由题设，，正确.
故答案为：①③
17．，，
【解析】
【分析】
分别设，，，利用向量坐标表示的定义，进行正交分解即可求得.
【详解】
设，则，故.
设，则，故.
设，则，故.
18．重力为，沿着斜面向上的摩擦力为.
【解析】
【分析】
沿水平方向和垂直方向建立直角坐标系，利用坐标法进行计算即可.
【详解】
建立如图的坐标系，
由，可得：.
设，，则， .
因为
所以，解得：.
所以重力为，沿着斜面向上的摩擦力为.
19．(1)；
(2)；
(3)；
(4)当同向时，，当反向时，.
【解析】
【分析】
（1）根据数量积的定义求解即可；
（2）根据数量积的定义求解即可；
（3）根据数量积的定义求解即可；
（4）分同向、反向两种情况求解即可.
(1)
(2)
(3)
(4)
因为
所以当同向时，
当反向时，
20．
【解析】
【分析】
将两边平方展开可得的值，再计算的值，进而可得的值.
【详解】
，
因为，，
所以，
所以，
可得.
21．
【解析】
【分析】
根据数量积公式求出及，，利用向量夹角公式求出答案.
【详解】
由题意得：，从而，
，，设与的夹角为，从而，解得：，所以与的夹角为.
22．三个点一定共线，证明见解析.
【解析】
【分析】
由向量数乘的几何意义知，再根据有公共点，即可判断三点是否一定共线.
【详解】
由，知：，
又有公共点，
所以A，B，C共线，即这三个点一定共线.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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