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2022年河北省中考数学专题练7-二次函数
一．选择题（共16小题）
1．（2020 河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（　　）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
2．（2021 丰润区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x
C．当x时，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
3．（2021 河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B． C． D．
4．（2021 开平区一模）如图，已知抛物线y＝ax（x+t）（a≠0）经过点A（﹣3，﹣3），t≠0，当抛物线的开口向上时，t的取值范围是（　　）
A．t＞3 B．t＞﹣3 C．t＞3或t＜﹣3 D．t＜﹣3
5．（2021 河北模拟）对于题目，“线段与抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）有唯一公共点，确定a的取值范围”．甲的结果是，乙的结果是，则（　　）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
6．（2021 清苑区模拟）对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
7．（2021 路北区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（　　）
A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4
8．（2021 路北区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论：
甲：abc＞0；
乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；
丙：3a+c＞0．
则下列判断正确的是（　　）
A．甲和丙都错 B．乙和丙都对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错
9．（2021 遵化市模拟）如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3≤m≤0 B．﹣3≤m≤﹣1 C．﹣1≤m≤2 D．﹣1≤m≤0
10．（2021 古冶区一模）关于抛物线y＝x2+bx+1，有以下结论：①当b＝﹣1时，抛物线过原点；②抛物线必过点（0，1）；③顶点的纵坐标最大值为1；④若当x＝1时，y＞0，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是﹣2＜b≤4．错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
11．（2021 石家庄一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（　　）
A．3≤t≤4 B．5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6 D．3≤t≤4或5≤t≤6
12．（2021 柳南区校级模拟）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝15，则点P的个数为0；
乙：若b＝9，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（　　）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
13．（2021 商河县一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B．下列结论正确的有（　　）个．
①m的取值范围是m＞0；
②抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）；
③若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是m；
④若抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，在5＜x＜6这一段位于x轴上方，则m的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2021 张家口一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（　　）
A．水流运行轨迹满足函数yx2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
15．（2021 迁西县模拟）如图，抛物线y（x﹣6）2﹣2与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、O，若直线yx+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3≤m＜﹣2 B．m＜﹣2 C．﹣5≤m＜﹣2 D．m＜﹣2
16．（2021 衡水模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题）
17．（2021 承德一模）如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An作x轴的垂线交二次函数yx2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝　 　，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝　 　．
18．（2021 石家庄模拟）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：min）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为　 　；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为　 　．
19．（2021 桥西区模拟）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的函数图象为C2．
①则C2对应的函数表达式为　 　，
②直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围　 　．
20．（2020 邯山区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M．
①若抛物线经过（0，4），则b＝　 　．
②若AB＝6，则OM的长为　 　．
21．（2020 长安区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），则下列结论：
①abc＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④4a+2b+c＜0．
其中正确结论的序号是　 　．
22．（2020 秦皇岛一模）如图，将抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q．
（1）点P的坐标为　 　；
（2）图中阴影部分的面积为　 　．
23．（2020 复兴区二模）如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C10．
（1）请写出抛物线C4的解析式：　 　；
（2）若P（19，a）在第10段抛物线C10上，则a＝　 　．
24．（2020 曲阳县模拟）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0　②a+b+c＞0　③2a﹣b＝0④c﹣a＝3，其中正确的有　 　．（填序号）
三．解答题（共9小题）
25．（2021 河北）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必写x的取值范围]
26．（2021 河北模拟）某商家销售某种商品，已知该商品的进货单价由两部分构成：一部分为每件商品的进货固定价16元，另一部分为进货浮动价．据市场调查，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数解析式为y＝﹣5x+120，而该商品的日销售量y（件）与每件的进货浮动价z（元）的关系如下表所示．
每件的进货浮动价z（元） 0.1 0.125 0.2 0.25
日销售量y（件） 100 80 50 40
（1）请你建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品的日销售量y与每件的进货浮动价z之间的关系；
（2）运用（1）中的函数模型判断，该商品的销售单价定为多少元时，每天销售产品的总利润最大？
27．（2021 路北区一模）如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，直线l：x＝2t与抛物线、x轴分别相交于Q、P两点．
（1）t＝1时，Q点的坐标为 　 　；
（2）当P、Q两点重合时，求t的值；
（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；
（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数．
28．（2021 开平区一模）如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为y，篮球水平运动的距离为x，已知y﹣3.5与x2成正比例，
（1）当x时，y＝2.5，根据已知条件，求y与x的函数解析式；
（2）直接写出篮球在空中运行的最大高度．
（3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？
29．（2021 滦南县二模）如图，抛物线（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OB的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P．
（1）当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（2）当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值．
（3）把L在直线MP右侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最低点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足﹣6≤x0≤﹣4，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．
30．（2021 路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测，图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2，求利润y关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉，其中投入x（x＞0）万元种植花卉，那么他至少获得多少利润？
（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上，该园林专业户应怎样投资？
31．（2021 河北模拟）某农场计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本y（万元）由三部分组成，分别是农机成本，管理成本，其他成本；其中农机成本固定不变为100万元，管理成本（万元）与x成正比例，其他成本（万元）与x的平方成正比例，在生产过程中，获得如下数据：
x（单位：亩） 10 30
y（单位：万元） 160 340
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知每亩的平均成本为11.5万元，求农场计划种植新型农作物的亩数是多少？
（3）设每亩的收益为Q（万元）且有Q＝kx+b（k、b均为常数），已知当x＝50时，Q为12.5万元，且此时农场总利润最大，求k、b的值．【注：总利润＝总收益﹣总成本】
32．（2021 桥东区二模）如图，抛物线G：x2+kx+4（k为常数）与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，直线L：y＝6，L交y轴于点C，交G于点M，N（M在N的左侧）．
（1）当k＝1时，①直接写出抛物线G的对称轴和顶点坐标，并求AB的长；②当0≤x≤5时，求yx2+kx+4的最大值和最小值的差．
（2）是否存在k，使CM＝1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）当xk时，抛物线G的最高点到L的距离为1，请直接写出此时k的值．
33．（2021 鸡泽县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标：　 　，若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
2022年河北省中考数学专题练7-二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
2．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），
∴抛物线对称轴为直线x，
∴当x时，y随x增大而减小，
∴﹣1＜x＜2时，y＜0，
故选：D．
3．【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，
∴顶点（1，﹣3），抛物线的对称轴为直线为x＝1，
∵抛物线与x轴交于点A，B．
∴抛物线开口向上，
∵线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，
∴这些整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∵m＞0，
∴当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3≤0，
∴m，
当x＝5时，y＝25m﹣10m+m﹣3＞0，
∴m，
∴m，
故选：B．
4．【解答】解：将A（﹣3，﹣3）代入y＝ax（x+t）得，﹣3＝a（9﹣3t），
∴a
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴0，
∴t﹣3＞0，
∴t＞3．
故选：A．
5．【解答】解：如图，点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（3，0），
①a＞0时，抛物线开口向上，经过定点（0，0），
抛物线与直线x＝﹣1交点坐标为C（﹣1，a+2a2），与直线x＝3交点坐标为（3，9a﹣6a2），
当点C在点A下方，点D在点B上方时满足题意，
即，
解得0＜a＜1，
当点C在点A上方，点D在点B下方时也满足题意，
，
解得a，
②a＜0时，抛物线开口向下，经过定点（0，0），
当点C与点A重合或在A上方时满足题意，
即，
解得a．
综上所述，0＜a＜1或a或a．
故选：D．
6．【解答】解：y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
A、a＝4＞0，则该抛物线的开口向上，故选项A不符合题意，
B、与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B不符合题意，
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意，
D、图象的对称轴是直线x＝1，故选项D不符合题意，
故选：C．
7．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴2，
解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1≤x≤3的范围内有公共点，
∴3≤t≤4．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
8．【解答】解：由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
故甲结论是错误的；
根据图象判断，当y＝﹣2时，对应的x值有两个，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；
故乙同学结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，
∴1，即2a＝﹣b，
令x＝﹣1，则y＝a﹣b+c＝3a+c，
由图象可知当x＝﹣1时，y＞0即3a+c＞0，
故丙同学结论正确．
故选：B．
9．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点M（m，﹣m+1），
∵A（﹣3，0），C（0，2），顶点M在矩形OABC内部或其边上
∴，
解得：﹣1≤m≤0．
故选：D．
10．【解答】解：①当b＝﹣1时，y＝x2﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，抛物线不过原点，
故①不正确；
②当x＝0时，y＝02+b×0+1＝1，
∴抛物线必过（0，1），
故②正确；
③y＝x2+bx+1＝（x）21，
顶点纵坐标为：1，
∵b2≥0，
∴0，
∴1≤1，
∴顶点纵坐标最大值为1，
故③正确；
④当x＝1时，y＞0，
得：12+b+1＞0，
解得：b＞﹣2，
当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
得：2，
解得：b≤4，
∴b的取值范围是﹣2＜b≤4，
故④正确．
故选：A．
11．【解答】解：把A（4，2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得2＝﹣（4﹣t）2+t，
解得t＝3或t＝6；
把B（4，4）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得4＝﹣（4﹣t）2+t，
解得t＝4或t＝5；
∴当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是3≤t≤4或5≤t≤6，
故选：D．
12．【解答】解：∵点P（a，b），
当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，
∵Δ＝36﹣4×15＜0，
∴点P的个数为0；
当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，
∵Δ＝36﹣4×9＝0，
∴a有两个相同的值，
∴点P的个数为1；
当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，
∵Δ＝36﹣4×3＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点P的个数为2；
故甲、乙对，丙错，
故选：C．
13．【解答】解：①∵抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣3与x轴交于点A、B，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，
∴m＞0，故①正确；
②∵y＝mx2﹣2mx+m﹣3＝m（x2﹣2x+1）﹣3＝m（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），故②正确；
③由②知，抛物线的对称轴为直线为x＝1，
∵线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为﹣1，0，1，2，3，
∵m＞0，
∴当x＝3时，y＝9m﹣6m+m﹣3≤0，
∴m，
当x＝4时，y＝16m﹣8m+m﹣3＞0，
∴m，
∴m，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线为x＝1，且m＞0，抛物线在5＜x＜6这一段位于x轴上方，
∴由抛物线的对称性得，抛物线在﹣4＜x＜﹣3这一段位于x轴上方，
∵抛物线在﹣3＜x＜0这一段位于x轴下方，
∴当x＝﹣3时，y＝9m+6m+m﹣3＝0，
∴m，故④正确，
故选：D．
14．【解答】解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+k，
将（0，1），（20，11）分别代入，得：，解得：，
∴y（x﹣20）2+11
x2+x+1，
故A错误；
∵坡度为1：10，
∴直线OA的解析式为y＝0.1x，
当x＝40时，y＝0.1×40＝4，
令y＝4，得x2+x+1＝4，
∴x2﹣40x+120＝0，
解得x＝20±240，
∴B错误；
设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，
则hx2+x+1﹣0.1xx2x+1，
∴对称轴为x18，
∴hmax＝9.1，故C正确；
将喷灌架向后移动7米，则图2中x＝30时抛物线上的点的纵坐标值等于x＝37时的函数值，
当x＝37时，y372+37+1＝3.775，
在图2中，当x＝30时，点B的纵坐标为：0.1×30+2.3＝5.3，
则点A的纵坐标为5.3﹣2.3＝3＜3.775，故D错误．
故选：C．
15．【解答】解：∵抛物线y（x﹣6）2﹣2（x﹣4）（x﹣8）与x轴交于点A、B，
∴B（4，0），A（8，0）．
∴抛物线向左平移4个单位长度．
∴平移后解析式y（x﹣2）2﹣2．
当直线yx+m过B点，有2个交点，
∴0m．
解得m＝﹣2．
当直线yx+m与抛物线C2相切时，有2个交点，
∴x+m（x﹣2）2﹣2．
整理，得x2﹣5x﹣2m＝0．
∴△＝25+8m＝0．
∴m．
如图，∵若直线yx+m与C1、C2共有3个不同的交点，
∴m＜﹣2．
故选：B．
16．【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x，
∴，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故②正确；
③∵对称轴为直线x，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根，
故③正确；
④∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④共3个．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
17．【解答】解：当x＝1时，yx2，则P1（1，），所以S11；
当x＝2时，yx2＝2，则P2（2，2），所以S21×（2）；
当x＝3时，yx2，则P3（3，），所以S31×（2），
同样方法可得S4，
所以Sn．
故答案为，．
18．【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故答案为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，3.75分钟．
19．【解答】解：（1）函数y＝x2﹣4x的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y＝﹣x2﹣4x；
故答案为y＝﹣x2﹣4x；
（2）由图象可知，直线y＝a（a为常数）分别与C1、C2围成的两个封闭区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）个数之比为4：15时，a的取值范围﹣2＜a＜﹣1或1＜a＜2．
故答案为﹣2＜a＜﹣1或1＜a＜2．
20．【解答】解：①抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，
抛物线过点（0，4），则c＝4，
故b2﹣16＝0，解得b＝±4（舍去正值），
故b＝﹣4，
故答案为﹣4；
②抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，
设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，
则：A（m，h）、B（n，h），
由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，
则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，
AB＝6＝n﹣m，
解得：h＝9，
即OM＝9，
故答案为9．
21．【解答】解：①∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴ab＜0，
∴abc＜0，所以此选项正确；
②∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
所以此选项正确；
③∵对称轴为直线x＝1，
∴1，b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
所以此选项正确；
④∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以此选项错误；
其中正确结论的序号是①②③；
故答案为：①②③．
22．【解答】解：（1）∵把抛物线yx2平移得到抛物线m，且抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），
∴抛物线m的解析式为y（x﹣0）（x+6）x2+3x（x+3）2．
∴P．
故答案是：；
（2）把x＝﹣3代入x2得y，
∴Q（﹣3，），
∵图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，S△POQ9×3．
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
23．【解答】解：（1）∵一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，
∴C1，过（0，0），（2，0）两点，
∴抛物线C2的解析式二次项系数为：﹣1，且过点（2，0），（4，0），抛物线C3的解析式二次项系数为：1，且过点（4，0），（6，0），抛物线C4的解析式二次项系数为：﹣1，且过点（6，0），（8，0），
∴抛物线C4的解析式为y＝﹣（x﹣6）（x﹣8）；
故答案为：y＝﹣（x﹣6）（x﹣8）；
（2）∵一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（2，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C10．
∴C10与x轴的交点坐标为（18，0），（20，0），且图象在x轴上方，
∴C10的解析式为：y10＝﹣（x﹣18）（x﹣20），
把（19，a）代入得，a＝﹣（19﹣18）×（19﹣20）＝1．
故答案为：1．
24．【解答】解：∵图象和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故②错误；
∵1，
∴2a﹣b＝0，故③正确；
∵y（x+1）2+3x2x，
∴c﹣a（）＝3，故④正确；
故答案为：③④．
三．解答题（共9小题）
25．【解答】解：（1）图形如图所示，由题意台阶T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），
对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，
令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），
∴点A的横坐标为﹣2，
当x＝4.5时，y＝9.75＞7，
当x＝6时，y＝0＜7，
当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12，
解得x＝﹣1或5，
∴抛物线与台阶T4有交点，设交点为R（5，7），
∴点P会落在台阶T4上．
（2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，
∴，
解得或（舍弃），
∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38，
对称轴x＝7，
∵台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），
∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．
（3）对于抛物线C：y＝﹣x2+14x﹣38，
令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，
∴抛物线C交x轴的正半轴于（7，0），
当y＝2时，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10，
∴抛物线经过（10，2），
Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，
∴当点D与（7，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8，
当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，
∴点B横坐标的最大值比最小值大2．
26．【解答】解：（1）根据表中数据，该商品每件的进货浮动价z与日销售量y的积为一个固定常数10，
∴日销售量y和每件的进货浮动价z为反比例函数关系，即y，
∴销售量y与每件的进货浮动价z之间的关系y；
（ 2）设每天销售产品的总利润为w元，
由题意可得w＝y（x﹣16﹣z）＝（﹣5x+120）（x﹣16）＝﹣5（x﹣20）2+70，
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，W有最大值，
∴该商品的销售单价定为20元时，每天销售产品的总利润最大．
27．【解答】解：（1）当t＝1时，x＝2，
∴直线l的解析式为：x＝2，
把x＝2，t＝1代入抛物线L的解析式得：y＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2，
∴Q点的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）；
（2）∵P、Q两点重合，
∴直线与抛物线交于x轴，
∴交点为（2t，0），
∴﹣（2t﹣t）2+t+2＝0，
解得：t＝2或t＝﹣1；
（3）∵抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，
∴当Q点达到最高时，则直线与抛物线交于顶点，
∴抛物线顶点坐标为（2t，﹣t2+t+2），
∵﹣t2+t+2＝﹣（t）2，
∴当t时，Q点达到最高，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x）2；
（4）∵1≤t≤2时，
∴分三种情况讨论，
当t＝1时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，
令y＝0，则﹣（x﹣1）2+3＝0，
解得：x＝1±，
∴“可点”在x轴上有3个，抛物线上有3个，共有6个，
当t＝2时，抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，
令y＝0，则﹣（x﹣2）2+4＝0，
解得：x＝0或4，
∴“可点”在x轴上有5个，抛物线上有3个，共有8个，
当1＜t＜2时，抛物线与x轴的交点在1和4之间，
当L过（3，0）时，“可点”在x轴上有4个，抛物线上有3个，共有7个，
综上所述，“可点”的个数为6或7或8．
28．【解答】解：（1）由题意可设y﹣3.5＝kx2，
∵当x时，y＝2.5，
∴2.5﹣3.5＝k×（）2，
解得：k，
∴y与x的函数解析式为yx2+3.5；
（2）∵y﹣3.5与x2成正比例，
∴y﹣3.5＝kx2，
∴y＝kx2+3.5，
∵抛物线开口向下，
∴k＜0，
∴篮球在空中运行的最大高度为3.5米；
（3）此次投篮不能成功，理由：
以最高点所在竖直线为y轴，地面水平线为x轴建立如图所示坐标系，
设y＝kx2+3.5，将A（﹣2.5，1.8）代入得：
k，
∴yx2+3.5，
把x＝4﹣2.5＝1.5代入yx2+3.5得：
y1.52+3.5＝2.888≠3.05，
∴（1.5，3.05）在抛物线yx2+3.5上，
∴此次投篮不能成功．
29．【解答】解：（1）当t＝1时，令y＝0，得：，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝4；
∵抛物线，
∴抛物线L的对称轴为直线x＝﹣1，
∵M为OB中点，
∴
∴直线MP与L对称轴之间的距离为；
（2）∵抛物线的对称轴为：直线xt﹣2，
抛物线L与x轴交点为A（t，0），B（t﹣4，0）
∴线段OB的中点
由题意得：，
解得：t＝2或﹣2，
∵t＞0，
∴t＝2．
（3）∵
∴当，即t≤0时，不合题意，舍去
当，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）；
（4）满足条件的t的取值范围不存在．
如图∵﹣6≤x0≤﹣4，，
∴，
∴，
即抛物线L与双曲线在，D（﹣6，﹣1）之间的一段有一个交点，
①由，解得：t＝﹣1或﹣3，
②由，解得：或，
随着t的逐渐减小，抛物线L的位置随着A（t，0）向左平移，
当t＝﹣1时，L左侧过点C；
当时，L左侧过点D，即；
当时，L左侧离开了点C，而右侧未到达点D，
即L与该段无交点，舍去；
当t＝﹣3时，L右侧过点C，
当时，L右侧过点D，即．
由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在．
综上所述，或．
30．【解答】解：（1）设l1：y＝kx，∵函数y＝kx的图象过（1，2），
∴2＝k 1，k＝2，
故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0），
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设l2：y＝ax2，
由图2，函数y＝ax2的图象过（2，2），
∴2＝a 22，解得：a，
故l2中y与x的函数关系式是：yx2（x≥0）；
（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉，则投入（10﹣x）万元种植树木，
，
∵a0，0＜x≤10，
∴当x＝2时，w的最小值是18，
他至少获得18万元的利润．
（3）根据题意，当w＝20时，，
解得：x＝0（不合题意舍），x＝4，
∴至少获得20万元利润，则x＝4，
∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大，
∴w＞20，只需要x＞4，
所以保证获利在20万元以上，该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．
31．【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+100，把（10，160）、（30，340）代入得，
，
解得，
∴y＝0.1x2+5x+100；
（2）由题意得，11.5x＝0.1x2+5x+100，
解得x1＝25，x2＝40，
答：农场计划种植新型农作物的亩数是25亩或40亩；
（3）设总收益为W元，则W＝x（kx+b）﹣（0.1x2+5x+100）＝（k﹣0.1）x2+（b﹣5）x﹣100，
当x时，W有最大值，即50，
∵x＝50时，Q＝12，5＝50k+b，
解得k＝0.05，b＝10．
32．【解答】解：（1）①当k＝1时，则抛物线G：x2+x+4，
∵x2+x+4（x﹣1）2，
∴抛物线G的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，）；
当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4）；
当y＝0时，则x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（4，0），
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB．
②如图1，设直线x＝5与抛物线G交于点D，
∵0，且0＜1＜5，
∴当x＝1时，y最大；
∵当x＝0时，y＝4，当x＝5时，y（5﹣1）2，且4，
∴y最小，
∴y最大﹣y最小（）＝8，
∴yx2+kx+4的最大值和最小值的差为8．
（2）存在．
如图2，∵直线y＝6交y轴于点C，
∴C（0，6），
当y＝6时，则x2+kx+4＝6，整理得x2﹣2kx+4＝0，
解得x1＝k，x2＝k，
∴M（k，6），
由CM＝1得k1，
解得k．
（3）设直线xk交抛物线G于点M，抛物线G的顶点为点R，
∵x2+kx+4（x﹣k）2k2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为（k，k2+4），
当xk时，y（k）2+kk+4k2+4，
∴M（k，k2+4）．
当k＜0时，如图3，则k＞k，
∵当x＞k时，y随x的增大而减小，
∴当xk时，抛物线G的最高点为点M，
∴|k2+4﹣6|＝1，
即k2+4﹣6＝1或k2+4﹣6＝﹣1，
由k2+4﹣6＝1，解得k1，k2（不符合题意，舍去），
由k2+4﹣6＝﹣1，解得k1，k2（不符合题意，舍去）；
当k≥0时，如图4，则k＜k，
∴当xk时，抛物线G的最高点为抛物线的顶点R，
∴|k2+4﹣6|＝1，
即k2+4﹣6＝1或k2+4﹣6＝﹣1，
由k2+4﹣6＝1，解得k1，k2（不符合题意，舍去），
由k2+4﹣6＝﹣1，解得k1，k2（不符合题意，舍去），
综上所述，k的值为或或或．
33．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）存在，理由如下：
作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x（小于0，舍去）或x，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC＝S△PFC+S△PFBPF OEPF BEPF （OE+BE）PF OB（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．

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