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2022年河南省中考数学专题练8-三角形
一．选择题（共14小题）
1．（2022 郑州一模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）
A．3 B． C．3 D．2
2．（2021 河南模拟）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，∠ACB＝90°，点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D．若∠ABP＝15°，AC＝6，则AD的长为（　　）
A． B．8 C．6 D．6
3．（2021 栾川县三模）如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（2021 宛城区一模）在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为（　　）
A．65° B．75° C．105° D．115°
5．（2021 梁园区校级一模）如图所示，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为75°，则图中∠α的度数为（　　）
A．160° B．150° C．140° D．130°
6．（2021 柘城县模拟）如图，直线MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在PQ上，直角顶点C落在MN上，若∠BCM＝10°，则∠PAB的度数为（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
7．（2021 河南模拟）在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．（2021 淇滨区模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，CD平分∠BCA交AB于点D，DE⊥AC于点E，若DE＝1，则线段AB的长度为（　　）
A．3 B． C． D．
9．（2021 平顶山模拟）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第n个图中所有等腰直角三角形的面积和为（　　）
A．4n B．8n C．4n D．32
10．（2021 焦作模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）
A．45° B．40° C．30° D．25°
11．（2021 安阳二模）如图，直线l1∥l2，一个含45°角的直角三角板如图所示放置，点A在直线l2上，直角顶点C在直线l1上，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．60° C．65° D．75°
12．（2021 南阳模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
13．（2021 河南模拟）如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现在有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取），按如图所示方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（　　）
A．3，4，5 B．2，2，4 C．3，3，6 D．2，4，6
14．（2021 祥符区二模）如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A、B、C都在网格格点的位置上，则△ABC的边AB上的高为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
15．（2021 濮阳二模）如图，在△ABC中，已知AB＝4，AD⊥BC，垂足为D．BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　 　．
16．（2021 南阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（5，0），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 　 　．
17．（2021 河南模拟）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，CD＝AE＝2，连接AD，BE，点F，G分别是BE，AD的中点，连接FG，则线段FG的长为 　 　．
18．（2021 淇滨区模拟）如图，在四边形ABCD中，CD平分对角线AC与BC边延长线的夹角，AD⊥DC，点E为AB中点，若AC＝3，BC＝5，则线段DE的长为 　 　．
19．（2021 商丘四模）如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为 　 　．
20．（2021 梁园区二模）如图，在△ABC中，点M为BC上一个动点，过点M作MN⊥BC，垂足为点M，交AC于点N，点D为点C关于点M的对称点（点D不与点B、C重合）．连接DN，AD，若AB＝AC＝5，BC＝8，CM≤4，当△ABD为等腰三角形时，CM的长为 　 　．
21．（2021 河南模拟）如图，点C是长度为8的线段AB上一动点，如果AC＜BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD，△BCE，连接DE，设AC＝x，△CDE的面积为y，那么y关于x的函数关系式是 　 　．
22．（2021 巩义市二模）点P是等边三角形ABC内部一点，过点P作三边的垂线，分别记为PH1，PH2，PH3，设△ABC的边长为a．若PH1＝1，PH2＝3，PH3＝5，则a＝　 　；若a＝2，则PH1+PH2+PH3＝　 　．
23．（2021 河南模拟）如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一个顶点重合，两个直角三角形的斜边AE∥BC，则∠CAD的度数是　 　．
24．（2021 商城县一模）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，则GH的长度为　 　．
三．解答题（共10小题）
25．（2021 河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线． 简述理由如下： 由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线． ……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 　 　（填序号）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF1．点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC＝OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE＝30°时，直接写出线段OC的长．
26．（2021 息县模拟）小华在学习中遇到这样一个问题：
如图1，已知在等腰三角形ABC中，BC＝AC＝7cm，D为BC的中点，动点P在边AC上运动，连接PB，PD．当△PBD为等腰三角形时，求线段AP的长．记AP长为x（cm），BP长为y1（cm），DP长为y2（cm）．小华根据学习函数的经验进行了如下的探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
y1/cm 4.0 3.8 3.9 4.3 4.8 5.4 6.2 7.0
y2/cm 4.5 3.6 2.8 2.2 1.9 2.1 2.7 m
①填空：m＝　 　；
②当x＝3.5时，无需测量即可得到y2的值 　 　，依据是 　 　．
（2）在平面直角坐标系xOy中，已画出了函数y1的图象，如图2所示，请画出函数y2的图象．
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△PBD为等腰三角形时，线段AP长度的近似值．（结果保留一位小数）
27．（2021 武陟县模拟）小航在学习中遇到这样一个问题：
如图，点F是线段AB上一动点，线段AB＝8cm，AB的垂直平分线交AB^于C，取线段CD的中点O，连接FO并延长交AB^于E，连接AE．若△AEF是等腰三角形，求线段AF的长度．
如小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点F在线段AB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AF，EF，AE的长度，得到下表的几组对应值：
AF/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
EF/cm 6.7 5.6 4.5 3.5 m 3.5 4.5 n 6.7
AE/cm 6.7 6.5 6.2 5.7 5.0 4.2 3.6 3.2 2.9
填空：m的值为 　 　，n的值为 　 　；
（2）将线段AF的长度作为自变量x，EF和AE的长度都是x的函数，分别记为yEF和yAE，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yAE的图象，如图所示，请在同一坐标系中画出函数yEF的图象．
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△AEF为等腰三角形时，线段AF长度的近似值（结果保留一位小数）．
28．（2021 武陟县模拟）问题发现
如图1，在△ABC和△BED中，AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°．点D是△ABC的外角∠ACF的平分线上一点，连接AE．
填空：①的值是 　 　；
②直线AE与直线CD相交所成的较小角的度数是 　 　；
（2）类比探究
如图2，在△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠EDB＝60°，点D是△ABC的外角∠ACF的平分线上一点，连接AE．请判断的值及直线AE与直线CD相交所成的角的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若AC＝2，请直接写出当△ACD是直角三角形时AE的长．
29．（2021 祥符区二模）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE且∠ABC＝∠ADE＝α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且∠ACE+∠ABE＝90°．
【观察猜想】
（1）如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为 　 　，线段EA，EB，EC的数量关系为 　 　．
【探究证明】
（2）如图②，当α＝90°时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC，请直接写出△BDE的面积．
30．（2021 梁园区二模）等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点P为AB上一个动点，连接CP，以CP为斜边在CP左侧作等腰直角三角形MCP，∠CMP＝90°．
（1）如图1，当点M恰好落在线段AC上时，PM与AM的数量关系为 　 　；
（2）点P在如图2位置时，PM与AM的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）如图3，平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，2），点C为x轴上任意一点，连接BC，以BC为斜边在BC左侧作等腰直角三角形BCD，连接AD，当△DAB为等边三角形时，直接写出此时点C的坐标．
31．（2021 三门峡一模）如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于E，D是AB边上一动点，连接CD画交AE于点P，连接BP．已知AB＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．小华根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.00
y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51 0.00
并在平面直角坐标系xOy中画出了y1的图象，如图2所示：
①请在同一平面直角坐标系中画出函数y2的图象．
②表格中空缺的数据约为 　 　．
（2）继续在同一坐标系中，画出所需要的函数图象，并结合函数图象直接写出：当AP＝2BD时，AP长度的近似值约为 　 　cm（结果保留两位小数）
（3）小华继续探究，得到：当BP平分∠ABC时，BD的长度是一个确定的值，请直接写出此时BD的长度．
32．（2021 梁园区校级一模）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，M、N分别是AC、AB的中点，过B作BD⊥MN于D，E是直线MN上一动点，作Rt△BEF使∠BEF＝90°，∠EBF＝45°，连接FN．
【观察猜想】
如图2所示，当E与N重合时，的值为 　 　；
【问题探究】
如图1所示，当点E与N不重合时，请求出的值及直线FN与MN所夹锐角的度数并说明理由；
【问题解决】
如图3所示，当点A、E、F在同一直线上时，请直接写出的值．
33．（2021 南阳模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，若AC＝BC，当点E在边AC上，AE＝4，BF＝2时，EF＝　 　；
（2）如图2，若AC＝BC，当点E在AC的延长线上时，设AE＝m，BF＝n，求EF的长（用含m，n的式子表示）；
（3）如图3，若AC≠BC，当点E在CA的延长线上时，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
34．（2021 内乡县二模）如图1，Rt△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝90°，AC＝2，D为边AB上任意一点，BE∥AC，连接CD并延长与BE相交于点E．设AD＝x，BE＝y．
（1）用含x的式子表示BD的长是 　 　；y与x之间的函数关系是 　 　；自变量x的取值范围是 　 　．
（2）请根据你得出的函数解析式自行探究并完成下表：
x … 1 1.5 2 2.5 3 …
y … 6 　 　 2 1.2 　 　 …
（3）在图2所示的平面直角坐标系中描出上表中各组点的位置并用平滑曲线画出函数的图象．
（4）写出该函数的一条性质：　 　；若点D在某个位置可使BE的长比AD的长多1，则此时AD的长为 　 　．
2022年河南省中考数学专题练8-三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积6，DF＝AC＝3，
∵图中阴影部分面积为4，
∴，
∴，
解得：DC，
即平移的距离是，
故选：B．
2．【解答】解：由题意可得，MN∥PQ，
∴∠DAB＝∠ABP＝15°，
∵∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝60°﹣15°＝45°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴ADAC．
故选：C．
3．【解答】解：∵BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBD，∠ACD＝2∠ECD，AE平分∠FAC，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ECD＝∠EBC+∠BEC，
∴2∠ECD＝2∠EBD+∠BAC，2∠ECD＝2∠EBD+2∠BEC，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE∠FAC＝55°．
故选：C．
4．【解答】解：∠DBA＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣30°＝15°，
∴∠α＝∠A+∠DBA＝90°+15°＝105°，
故选：C．
5．【解答】解：如图．
由题意得：∠B＝60°，∠BAE＝90°，∠C＝45°，∠CAE＝75°．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣75°＝15°．
∴∠AGF＝∠B+∠BAC＝60°+15°＝75°．
∴∠AGF＝∠C+∠CFG＝45°+∠CFG＝75°．
∴∠CFG＝75°﹣45°＝30°．
∴∠α＝180°﹣∠CFG＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
6．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵∠BCM＝10°，
∵∠BDM＝∠B+∠BCM，
∴∠BDM＝10°+45°＝55°，
∵MN∥PQ，
∴∠PAB＝∠BDM＝55°．
故选：D．
7．【解答】解：如图所示：
由作图可知，∠1＝∠3，∠2＝∠4，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝∠CAB＝45°．
故选：B．
8．【解答】解：过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵DE⊥AC，CD平分∠ACB，
∴DE＝DF，
∵DE＝1，
∴DF＝1，
在Rt△ADE和Rt△BFD中，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴AD＝2DE＝2，DB，
∴AB＝AD+DB＝2，
故选：B．
9．【解答】解：设第一个等腰三角形边长为a，第二个等腰三角形的边长为b，第三个等腰三角形的边长为c，
如图，图④，图⑤，图⑥，
由图④可知，
∵最大正方形的边长为4，
∴a2+a2＝42，
∴第一个等腰三角形的面积为a a4，
由图⑤可知，
∵b2+b2＝a2，
即2b2＝8，
∴图⑤中三个等腰三角形的面积和为a2b2＝4+2+2＝8，
由图⑥可知，
∵c2+c2＝b2，
即2c2＝2，
图⑥中共计6个等腰三角形面积和为a2b24+2+2+1+1+1+1＝12，

由此推理，第n个图中所有等腰直角三角形的面积和为4n．
故选：A．
10．【解答】解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
11．【解答】解：∵一个含45°角的直角三角板，
∴∠CAB＝45°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠CAB+∠1＝45°+30°＝75°，
故选：D．
12．【解答】解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：
∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，
∴FG∥BC，EG∥AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，FG∥EG，
∴E、F、G三点共线，
∴FG是△BCD的中位线，
∴FGBC＝2.5，
∵AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EGAD＝1，
∴EF＝FG﹣EG＝1.5．
故选：B．
13．【解答】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
∵所围成的三角形是直角三角形，
∴斜边对应的正方形的面积＝两直角边对应的正方形的面积和，
又∵3+4≠5，2+2＝4，3+3＝6，2+4＝6，
∴选取的三块纸片的面积不可以是3，4，5，
故选：A．
14．【解答】解：AB，
∵S△ABC2×2＝2，
∴△ABC的边AB上的高为．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
15．【解答】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝4，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝4，
∵EC＞0
∴EC＝2．
另解：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，
即可得判定△CDE∽△BDA，
且相似比为1：2，
∴，
即CE＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：分两种情况：
（1）如图1所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA，交OA的延长线于E．
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD＝OE，
∵A（0，1），B（5，0），
∴OA＝1，OB＝5，
设CE＝x，
∴BD＝5﹣x，AE＝x﹣1，
∴5﹣x＝x﹣1，
∴x＝3，
则点C坐标为（3，3）；
（2）如图2所示，过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA，交AO的延长线于E．
∵∠BCA＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，CE＝CD＝OE，
设CE＝x，
∵AE＝1+x，BD＝5﹣x，
∴1+x＝5﹣x，
∴x＝2，
则点C坐标为（2，﹣2）．
综上可知点C坐标为：（3，3）或（2，﹣2）．
故答案为：（3，3）或（2，﹣2）．
17．【解答】解：如图，取AB的中点H，连接FH，GH，过点F作FM⊥HG于点M．
在△ABD中，G，H分别是AD，AB的中点．且BD＝6﹣2＝4，
∴GHBD＝2，GH∥BD，
同理HFAE＝1，
∴HF∥AE．
∵△ACB是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠AHG＝∠BHF＝60°，
∴∠FHG＝60°，
∴HM＝HF cos60°，MF＝HF sin60°，
∴MG，
∴FG．
故答案为．
18．【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于点M，
∵CD平分∠ACM，
∴∠ACD＝∠MCD，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠MDC＝90°，
在△ACD和△MCD中，
，
∴△ACD≌△MCD（ASA），
∴AC＝MC，AD＝MD，
∴点D是AM的中点，
∵AC＝3，
∴MC＝3，
∵BC＝5，
∴MB＝BC+MC＝5+3＝8，
又∵点E为AB中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DEMB8＝4．
故答案为：4．
19．【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，
∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，
∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，
∴EM∥AB，MF∥DC，EMAB＝2，MFDC＝3，
∵MF∥DC，
∴∠FGC＝∠EFM，
∵EM∥AB，
∴∠FEM＝∠FHB，
∵∠BHF与∠CGF互余，
∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，
∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，
∴△EMF是直角三角形，
∴EF，
故答案为：．
20．【解答】①当AB＝BD时，则BD＝5，
∴CD＝BC﹣BD
＝8﹣5
＝3，
∵CM＝MD
∴
②当AD＝BD时，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述CM的长为或，
故答案为：或．
21．【解答】解：过点D作DH⊥EC于H，
设AC＝x，则BC＝EC＝8﹣x，
∵△ACD，△BCE都是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴y＝S△DCE°x（0＜x＜4）．
故答案为：yx（0＜x＜4）．
22．【解答】解：连结PA，PB，PC，设△ABC的BC边上的高为h，则h＝AB sin60°a，
∴S△ABCaaa2，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，
∴a2，
解得a＝6；
当a＝2时，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP，
∴（2）2，
∴PH1+PH2+PH3＝3．
故答案为：6；3．
23．【解答】解：由三角板可得：∠C＝30°，∠EAD＝45°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠EAF＝30°．
∵∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAF＝15°．
故答案为：15°．
24．【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴AD＝BE＝3，
取AB的中点F，连接GF，HF，
∵点G，H分别是AE，BD的中点，
∴FG∥BE，FGBE，FH∥AD，FHAD，
∴FG＝FH，∠AFG＝∠ABC＝60°，∠BFH＝∠BAC＝60°
∴∠HFG＝180°﹣∠AFG﹣∠BFH＝60°，
∴△FGH是等边三角形，
∴GH＝FG，
方法二：连接DG并延长到AB交AB于M，
∵D是AC的中点，G是AE的中点，
∴DG∥BC，
∴DM∥BC，
∴AM＝BMAB＝3，
∴AM＝AD，
∴DG＝MG，
∵H是BD的中点，
∴HGBM，
故答案为：．
三．解答题（共10小题）
25．【解答】解：（1）如图1，由作图得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
∴∠PGO＝∠PHO＝90°，
∵OE﹣OC＝OF﹣OD，
∴CE＝DF，
∵CGCE，DHDF，
∴CG＝DH，
∴OC+CG＝OD+DH，
∴OG＝OH，
∵OP＝OP，
∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），
故答案为：⑤．
（2）射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：
如图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△DOE≌△COF（SAS），
∴∠PEC＝∠PFD，
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△CPE≌△DPF（AAS），
∴PE＝PF，
∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SAS），
∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，
∴射线OP是∠AOB的平分线．
（3）如图3，OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PME＝90°，
由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，
∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠POF∠AOB＝30°，
∵∠CPE＝30°，
∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，
∴∠OCP＝∠OPC（180°﹣∠POE）（180°﹣30°）＝75°，
∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，
∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，
∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，
∴MP＝ME，
设MP＝ME＝m，则OM＝MP tan60°m，
由OE1，得mm1，解得m＝1，
∴MP＝ME＝1，
∴OP＝2MP＝2，
∴OC＝OP＝2；
如图4，OC＞OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO＝∠PMC＝90°，
同理可得，∠POE＝∠POF∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，
∴OE＝OP1，
∵MC＝MPOPOE，
∴OM＝MP tan60°，
∴OC＝OM+MC2．
综上所述，OC的长为2或2．
26．【解答】解：（1）①当x＝7.0时，即AP＝7.0cm，
∴点P与点C重合，
∵D为BC的中点，
∴DP＝3.5cm，
∴m＝3.5；
故答案为：3.5；
②∵x＝0，y1＝4.0，
∴AB＝4cm，
∵x＝3.5，
∴AP＝PC＝3.5cm，
又∵D为BC的中点，
∴由三角形中位线定理可得DPAB＝2.0，
故答案为：2.0，三角形中位线定理；
（2）如图所示：
BP长为y1（cm），DP长为y2（cm）．
（3）∵△PBD为等腰三角形，
∴BD＝PD或BD＝PB或PB＝PD，
∵D为BC的中点，
∴DB＝3.5cm，
如上图作出直线y＝3.5，
当BD＝PD时，则y＝3.5的图象与y1的图象交点横坐标为x＝1.2或x＝7.0（不合题意舍去），
当BD＝BP时，则y＝3.5的图象与y1的图象没有交点，即BD≠BP，
当BP＝PD时，则y2的图象与y1的图象交点横坐标为x＝0.7，
综上所述：线段AP长度的近似值为0.7cm或1.2cm．
27．【解答】解：（1）当AF＝4时，点F与D重合，点E与C重合，此时m＝EF＝CD3.0．
根据对称性AF＝7.0时，与AF＝1时，EF的值相等，此时n＝5.6，
故答案为：3.0，5.6；
（2）函数yAE的图象如图所示：
（3）观察图象可知，当△AEF为等腰三角形时，线段AF的长度约为：3.2cm或4.3cm或5.2cm．
28．【解答】解：（1）①如图1中，
∵AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠EBA＝∠DBC，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴AE＝CD，
∴1，
故答案为：1；
②∵CD平分∠ACF，∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠DCF∠ACF＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵△EBA≌△DBC，
∴∠EAB＝∠DCB＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝180°，
∴E，A，C共线，
∴直线AE与直线CD相交所成的较小角的度数是60°．
故答案为：60°；
（2）结论：，直线AE与直线CD相交所成的较小角的度数是90°．
理由：如图2中，延长EA交CD于点T，设BD交ET于点J．
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠EDB＝60°，
∴BEBD，ABBC，∠EBA＝∠DBC，
∴，
∴△EAB∽△DBC，
∴，∠BEJ＝∠TDJ，
∵∠EJB＝∠DJT，
∴∠DTJ＝∠EBJ＝90°，
∴直线AE与直线CD相交所成的较小角的度数是90°．
（3）如图3﹣1中，当∠ADC＝90°时，E，A，D共线，此时AE＝AB＝AC sin60°．
如图3﹣2中，当∠DAC＝90°时，CD＝2AC＝4，AECD＝4，
综上所述，满足条件的AE的值为或4．
29．【解答】解：（1）如图①中，
∵BA＝BC，DA＝DE．且∠ABC＝∠ADE＝60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE＝90°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，
∵EA＝DE，BD＝EC，
∴EA2＝BE2+EC2．
故答案为BD＝EC，EA2＝EB2+EC2．
（2）结论：EA2＝EC2+2BE2．
理由：如图②中，
∵BA＝BC，DA＝DE．且∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵，，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴，∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE＝90°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，
∵EADE，BDEC，
∴EA2EC2+BE2，
∴EA2＝EC2+2BE2．
（3）如图③中，
∵∠AED＝45°，D，E，C共线，
∴∠AEC＝135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB＝∠AEC＝135°，
∵∠ADE＝∠DBE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，
∴BD＝BE，
∴DEBD，
∵ECBD，
∴AD＝DE＝EC，设AD＝DE＝EC＝x，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2＝AC2，
∴x2+4x2＝40，
∴x＝2（负根已经舍弃），
∴AD＝DE＝2，
∴BD＝BE＝2，
∴S△BDE2×2＝2．
30．【解答】解：（1）∵以CP为斜边在CP左侧作等腰直角三角形MCP，∠CMP＝90°．
∴∠MCP＝∠MPC＝45°，MC＝PM，
∵∠A＝45°，∠AMP＝90°，
∴∠APM＝∠A＝45°，
∴AM＝PM；
故答案为PM＝AM；
（2）成立．
理由：如图1，取AB的中点D，连接MD，CD，
∵∠BCA＝90°，AC＝BC，AD＝BD，
∴CD＝AD＝BD，∠B＝45°，
∴△CMP和△CDB是等腰直角三角形，∠MCP＝∠BCD＝45°，
∴∠MCP+∠DCP＝∠BCD+∠DCP，
∴∠MCD＝∠BCP，
∴∠MCD＝∠BCP，
又∵，
∴△MCD∽△PCB，
∴∠MDC＝∠B＝45°，
∵∠CDA＝90°，
∴∠MDC＝∠NDA＝45°，
又∵MD＝MD，CD＝AD，
∴△AMD≌△CMD（SAS），
∴MA＝CM，
∵CM＝MP，
∴MA＝MP．
（3）以OB为对称轴折叠△OAB，点A落在点M处，则△ABM为等腰直角三角形，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴AB＝BM，△ABD为等边三角形，
由（2）得，CD＝AD＝BD＝AB＝4，
分两种情况：
①若点D在BC的左侧，如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，连接OD，交AB于点N，
由（2）得，△AOD≌△BOD，∠DOE＝45°，
则△DOE为等腰直角三角形，
∴ON＝2，DN＝2，
∴OD＝22，
在等腰直角三角形DEO中，OE，
∵OA＝2，
∴AE＝OE﹣OA，
∵AE＝CE，则OC＝OE+CE＝OE+AE＝2，
则点C的坐标为（﹣2，0）；
②若点D在BC的右侧，如图3，过点D作DE⊥x轴于点E，连接DO，延长DO交AB于点N，
由（2）得，△AOD≌△BOD，∠DOE＝45°，则△DEO为等腰直角三角形，
∴ON＝2，DN＝2，
∴OD＝22，
在等腰直角三角形DEO中，OE，
∵OA＝2，
∴AE＝OE+AO，
∵AE＝CE，则OC+CE＝OE+AE＝2，
则点C的坐标为（2，0）；
综合以上可得C的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
31．【解答】解：（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x＝5时，y＝1.35（答案不唯一）；
故答案为：1.35，
注：y＝1.35是估计的数值，故答案不唯一；
（2）绘制后y1、y2图象如下：
（3）①当AP＝2BD时，即y2＝2x，
在图象上画出直线y＝2x，该图象与y2的交点即为所求，即图中空心点所示，
空心点的纵坐标为3.88，
故答案为3.88（答案不唯一）；
②从表格数据看，当x＝3时，y1＝y2＝3.25，
即点D在AB中点时，y1＝y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ABC为等腰三角形，
故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，
∴BDAB＝3．
32．【解答】解：【观察猜想】：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，N是AB的中点，
则CN＝BN，即FN＝BN，
∵M、N分别是AC、AB的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM＝∠ABC＝45°，
∴∠DNB＝∠ANM＝45°，
∵BD⊥MN，
∴，
∴，
故答案为：；
【问题探究】：∵∠ABC＝45°，∠EBF＝45°，
∴∠ABC＝∠EBF，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠EBF﹣∠ABE，即∠FBN＝∠EDB，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，
∴，
同理：，
∴，
∴△FBN∽△EBD，
∴，∠BNF＝∠BDE＝90°，
∴∠FNE＝∠FNB+∠BND＝90°+45°＝135°；
【问题解决】：由【问题探究】可知，△FBN∽△EBD，
∴∠FNB＝∠EDB＝90°，
∵AN＝NB，
∴FA＝FBEFBE，
∴2．
33．【解答】解：（1）如图1，连接CD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD＝AD，∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CDE+∠ADE＝90°，∠A＝∠BCD，
∵DF⊥DE，
∴∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ADE，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝4，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝6﹣4＝2，
∴EF2，
故答案为：2；
（2）如图2，连接CD，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC+∠CDE＝∠EDF+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝m，
∴AC＝BC＝CF﹣BF＝m﹣n，
∴CE＝m﹣（m﹣n）＝n，
∴EF；
（3）EF2＝AE2+BF2，
理由如下：如图3，过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，
，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
34．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝4，
∵设AD＝x，
∴DE＝4﹣x，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△CAD，
∴，
∴，
整理y2，
∵点D在AB上，
∴0＜x＜4，
故答案为：4﹣x，y2，0＜x＜4；
（2）当x＝1.5时，y，
当x＝3时，y；
故答案为：，；
（3）如图所示：
（4）由函数图象可知：当x＞0时，y随x增大而减小，
∵点D在某个位置可使BE的长比AD的长多1，
∴y﹣x＝1，
即2﹣x＝1，
解得x＝2，
∴AD＝2，
故答案为：当x＞0时，y随x增大而减小，2．

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