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2022年河南省中考数学专题练10-圆
一．选择题（共13小题）
1．（2021 河南模拟）如图，⊙O中，点B为半径OD延长线上一点，且OD＝2，OB＝3，以OB为对角线作平行四边形OABC，使OA＝3，⊙O交OC于点E，当平行四边形OABC面积最大时，则阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π
2．（2021 淮滨县校级模拟）如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC＝8．若AB＝m（m为整数），则满足条件的整数m的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021 河南模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为弧AB上一个动点．若OA＝2，则阴影部分的最小面积为（　　）
A．π﹣22 B．π﹣2 C．π D．π2
4．（2021 安阳一模）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，连接OP交⊙O于点C，点B在⊙O上，且∠ABC＝24°，则∠APC等于（　　）
A．31° B．42° C．53° D．64°
5．（2021 梁园区二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C为OB上一点，且OC，以OC为边作正方形OCDE，交弧AB于F，G点，交OA于点E，则弧FG与点D构成的阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021 梁园区校级一模）如图1所示是一张圆形纸片，直径AB＝8，现将点A折叠至圆心O形成折痕CD，再把C、D折叠至圆心O处，最后将圆形打开铺平（如图2所示），则的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021 镇平县模拟）如图，半圆O的直径AB＝2，AP是半圆O的切线，C是射线AP上一动点（不与点A重合），连接BC，交半圆O于点M，若MN垂直且平分OA，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021 许昌二模）在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则△ODE的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．（2021 驻马店二模）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，连接OC、AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021 金水区校级模拟）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的⊙O上，连接AD，BD及顺次连接O，A，B，C得到四边形OABC，若OA＝BC，OC＝AB，则∠D的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
11．（2021 河南模拟）引理：在△ABC中，若D为BC的中点，则AB2+AC2＝2AD2+2CD2.（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在以BC为直径的半圆上运动，则PA2+PD2的最小值是（　　）
A． B．38 C．40 D．68
12．（2021 河南模拟）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（　　）
A．6π B．5π C．4π D．3π
13．（2021 淇滨区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC，则tan∠BOC的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
14．（2021 河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 　 　．
15．（2021 息县模拟）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到扇形OCA，连接BC，取OC的中点E，作射线BE，交OA于点D，则图中阴影部分的周长为 　 　．
16．（2021 河南模拟）如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的周长为 　 　．
17．（2021 牧野区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径的圆与AB相切于点D，交AC于另一点E，点F为优弧DCE上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 　 　．
18．（2021 武陟县模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB交于点C，点D，E分别是OC，OB上的动点，若OA＝2，当BD+DE最小时阴影部分的面积为 　 　．
19．（2021 栾川县三模）如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为 　 　cm2．
20．（2021 范县模拟）如图，将四边形ABCD绕顶点A逆时针旋转45°至AB′C′D′的位置，若AB＝8cm，则图中阴影部分的面积为 　 　．
21．（2021 宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在上，连接EF、BE．若的长是，则线段EF的最小值是 　 　，此时图中阴影部分的面积是 　 　．
22．（2021 宛城区二模）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，过点D作DE⊥OA于点E，连接BE交CD于点F，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 　 　．
23．（2021 洛阳二模）如图，扇形OAB的半径OA＝2厘米，圆心角∠AOB＝45°，点C是的中点，点D、E分别是半径OA、OB上的点，且OD＝OE，CD＝CE，CD⊥CE，则图中阴影的面积为 　 　平方厘米．
24．（2021 许昌二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点P是弧AB上一动点，连接OP，点C是OP的中点，连接AC并延长，交OB于点D，则图中阴影部分面积的最小值为 　 　．
三．解答题（共9小题）
25．（2021 河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在 O上，当点P在 O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与 O相切时，点B恰好落在 O上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若 O的半径为5，AP，求BP的长．
26．（2021 河南模拟）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，过AB延长线上一点M作⊙O的切线MN，切点为N，连接CN交AB于点E，连接NB．
（1）求证：MN＝ME；
（2）若NB∥OC，当OD＝3，CD＝2时，求MN的长．
27．（2021 息县模拟）在学完圆的相关知识后，小东设计了一个“过直线外一点作该直线的垂线”的方法．
下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和直线外一点P．
求作：直线PB，使得PB⊥l．
作法：如图2，
①在直线l上取一点A（点A在点P的左侧），连接AP；
②作线段AP的垂直平分线m，交AP于点O；
③以点O为圆心，AO长为半径作圆，交直线l于点B；
④作直线PB，则直线PB即为所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AP为⊙O的直径，
∴∠ABP＝　 　．（ 　 　）（填推理的依据）
∴PB⊥l．
∴直线PB即为所求作的直线．
（3）如图3，小红过点B作了一条直线MN，若∠PBM＝∠PAB，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．
28．（2021 河南模拟）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，过点B作⊙O的切线BC，连接AC，交⊙O于点D，点E是⊙O上一动点，连接OD，DE，EB，BD．
（1）求证：∠DBC＝∠BED．
（2）填空：
①若BC＝3，当四边形ADBE为矩形时，BE＝　 　；
②当OD∥BC时，BC＝　 　．
29．（2021 濮阳模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、BC，E是BC的中点，延长OE交⊙O于点F，交切线CD于点D．
（1）已知AB＝10，AC＝6，求CD的长；
（2）①当　 　时，四边形AOFC是菱形；
②当　 　时，四边形OBDC是正方形．
30．（2021 河南模拟）如图，⊙O中，AB为直径，过点B作⊙O的切线BC，连接AC交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，交BC于点F，连接CE．
（1）证明：BF＝CF；
（2）若BE＝4，BC＝6，求AB的长．
31．（2021 内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，　 　．
求证：　 　．
32．（2021 安阳一模）数学兴趣小组发现这样一个问题
如图1，点D在上，且∠B＝∠C＝30°，BC＝10cm，点A是线段BC上一动点，点E在上，且∠DAE＝30°，AE和CD相交于点F，当△AEC为等腰三角形时，求AB的长．
（1）点A在BC上的不同位置时，画出相应图形，测量线段AB，AE，EC的长度，得到下表的几组对应值：
AB/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
AC/cm 10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0
AE/cm 10.0 8.4 6.8 5.2 3.9 3.1 2.7 2.6 2.5 2.2 0
EC/cm 0 1.1 2.2 3.2 4.0 4.4 4.4 4.1 3.6 2.7 0
当DA＝AF时，AC的长为 　 　cm；
（2）将线段AB的长度作为自变量x，AE和EC的长度都是x的函数，分别记为yAE和yEC，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yAE的图象，如图2所示，请在同一坐标系中画出函数yEC的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需函数图象，并结合图象直接写出：当△AEC为等腰三角形时，线段AB的长度的近似值（结果保留一位小数）．
33．（2021 安阳一模）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是该三角形的外接圆．
（1）分别在图1，图2中作出△ABC的最小覆盖圆．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中的作图，钝角三角形的最小覆盖圆是 　 　；
（3）某地要修建一个5G基站，服务四个村庄E、F、G、H（其位置如图3所示），为使信号可以覆盖四个村庄，且基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请说明理由．
2022年河南省中考数学专题练10-圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．【解答】解：∵OB＝3，OA＝3，
∴当OB⊥OA时，△AOB面积最大为3×3，此时平行四边形OABC面积最大，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△BOC＝S△AOB，
∵∠COB＝∠BOA＝90°，
∴△BOC是直角三角形，
∴tan∠BOC，
∴∠BOC＝60°，
∴扇形EOD面积为π，
∴阴影部分的面积为π，
故选：A．
2．【解答】解：设AC＝x，则BC＝8﹣x，
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴m2＝x2+（8﹣x）2，
∴m2＝2[（x﹣4）2+16]，
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴0＜x＜8，
∴0≤（x﹣4）2＜16，
∴32≤2[（x﹣4）2+16]＜64，
又∵m为整数，
∴当2[（x﹣4）2+16]＝36或2[（x﹣4）2+16]＝49时，m为整数6或7共2个，
故选：B．
3．【解答】解：点C在弧AB上运动，当点C′处于弧AB的中点时，S△ABC最大，
∵S阴影部分＝S扇形AOB﹣S△AOB﹣S△ABC，
∴点C在弧AB上运动，当点C处于弧AB的中点时阴影部分的面积最小，
∵AO⊥BO，OA＝OB＝2，
∴ABOA＝2，
∴OD＝AD＝BDAB，
∴C′D＝OC′﹣OD＝2，
∴阴影部分的最小面积为：S扇形AOB﹣S△AOB﹣S△ABC′
2×22（2）
＝π﹣2﹣22
＝π﹣2，
故选：B．
4．【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝24°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝48°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠APC＝90°﹣∠AOP＝42°，
故选：B．
5．【解答】解：如图，连接OF，OG．
∵四边形OCDE是正方形，
∴∠COE＝∠OCD＝∠OEG＝90°，
∴CF1，
∴OF＝2CF，
∴∠COF＝30°，
同法可得∠EOG＝30°，
∴∠FOG＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴S阴＝S正方形OCDE﹣2S△OCF﹣S扇形OFG＝（）2﹣213，
故选：D．
6．【解答】解：如图2，连接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF，
由折叠及圆的半径相等可知，AC＝CO＝OA，AD＝OD＝OA，CE＝OE＝OC，DF＝OF＝OD，
∴△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等边三角形，
∴∠EOF＝360°﹣60°×4＝120°，
∵直径AB＝8，
∴半径为4，
∴的长是π．
故选：A．
7．【解答】解：连接OM，过点O作OH⊥BM于H，
∵MN垂直且平分OA，
∴ONOAOM，
∴∠OMN＝30°，
∴∠MON＝60°，
∴∠MOB＝120°，
∵OM＝OB，OH⊥BM，
∴∠MOH＝60°，∠OBH＝30°，
∴OHOM，MHOM，
∴BM，
∵AP是半圆O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∴AC＝AB tan∠ABC＝2，
∴S阴影部分2（），
故选：A．
8．【解答】解：∵AB＝10，
∴OA＝5，
∵OC：OA＝4：5，
∴OC＝4，
在Rt△OCD中，DC3，
∵DE⊥AB，
∴DE＝2DC＝6，
∴△ODE的周长＝OD+OE+DE＝5+5+6＝16，
故选：D．
9．【解答】解：连接OD，
∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴∠COD＝60°，
∵的长为，
∴，
∴R＝2，
∴OD＝2，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴OEOD＝1，DEOD，
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△ODEπ，
故选：D．
10．【解答】解：连接OC．
∵OB＝OC＝OA，OA＝BC，
∴OB＝OA＝AB，
∴△OBA是等边三角形，
∴∠BOA＝60°，
∴∠BDA∠BOA＝30°，
故选：C．
11．【解答】解：设点N为AD的中点，点O为BC的中点，连接ON交半圆于点P，此时PN取最小值.
∵BC是直径，O是BC的中点，BC＝8，
∴OP＝OCBC＝4，
∵四边形ABCD四边形为矩形，
∴四边形DEFG为矩形，
∴ON＝AB＝6，AN＝ND＝4，PN＝ON﹣OP＝6﹣4＝2，
∴PA2+PD2＝2PN2+2ND2，
∵DN＝4不变，
∴当PN取最小值时，
PA2+PD2＝2PN2+2ND2取得最小值，
此时PA2+PD2＝2×22+2×42＝40．
故选：C．
12．【解答】解：由图可得，5个扇形的圆心角之和为：（5﹣2）×180°＝540°，
则五个阴影部分的面积之和6π．
故选：A．
13．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB2x，
∴OBABx，
∴tan∠BOC，
故选：C．
二．填空题（共11小题）
14．【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，
∴的长．
故答案为：．
15．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，∠OBC＝60°，
∵OE＝EC，
∴BE平分∠OBC，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB tan30°，
∴BD＝2OD，AD＝OA＝OD＝2，
∵的长，
∴阴影部分的周长＝AD+BD+BC的长＝224．
故答案为：4．
16．【解答】解：连接OE，OF，根点O作OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点NM，则四边形OMAN是正方形．
在Rt△OEM中，OM＝1，OE＝2，
∴EM，
∵∠OME＝∠ONF＝90°，OM＝ON，OE＝OF，
∴Rt△OME≌Rt△ONF（HL），
∴ME＝FN，∠EOM＝∠FON，
∴∠EOF＝∠MON＝90°，
∴的长π，
∵DE＝EM﹣DM1，AF＝FN﹣AN1，
∴DF，
∴阴影部分的周长＝π1．
故答案为：π1．
17．【解答】解：如图，连接OD，DE，
∵AB切圆于点D，
∴∠ODA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AO＝2OD，
∴AC＝AO+OC＝2OD+OD＝3OD，
∵BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝6，
∴3OD＝6，
∴OD＝2，
因为弓形DE的面积是定值，
所以当△DEF的面积最大时，阴影部分的面积最大，
过点O作OG⊥DE，垂足为点G，交圆O于点H，连接DH，EH，
当点F和点H重合时，△DEF的面积最大，最大值为，△DEH的面积．
∵∠DOE＝90°﹣∠A＝60°，
∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴OD＝OE＝DE＝2，∠OEG＝60°，
∴GEOE＝1，
∴OG，
∴GH＝OG+OH2，
∴S△DEHDE GH2×（2）2，
∵S弓形DE＝S扇形ODE﹣S△ODE2，
∴图中阴影部分面积的最大值为S弓形DE+S△DEH22．
故答案为：2．
18．【解答】解：如图，过点B作BH⊥OA于H，交OC于点D′．
∵OC平分∠AOB，
∴点E关于OC的对称点E′在OA上，连接DE′，
∵DE+DB＝BD+DE′≥BH，
∴当B，D，E′共线且与BH重合时，BD+DE的值最小，
此时S阴＝S扇形OBC﹣S△OBD′
1
＝π，
故答案为：．
19．【解答】解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵，
∴OG⊥AB，
∵S△DEF EF OD2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴DE＝OC＝2cm，
∴x2+y2＝22，
∴x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2cm2．
20．【解答】解：由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积8π；
故答案为：8π．
21．【解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．
∵的长是，OA＝2，
∴，
∴n＝30，
∴∠AOF＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOF＝60°，
∵CE＝DE，
∴OECD1，
∵OF＝2，
∴EF≥OF﹣OE＝1，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝1，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BTOB，
∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOTπ．
故答案为：1，π．
22．【解答】解：连接OD、BD，
∵点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∴CDOD，
由题意可知四边形EOCD是矩形，
∴ED＝OC＝1，OE＝CD，
∵ED∥OB，
∴1，
∴DF＝CFCD，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△EOD+S△EDF，
故答案为：．
23．【解答】解：如图，连接OC，DE交于点T，在OT上取一点J，使得OJ＝EJ．
∵，
∴∠BOC＝∠COA∠AOB＝22.5°，
∵OE＝OD，CE＝CF，
∴OC垂直平分线段DE，
∴ET＝DT，
∵∠ECD＝90°，
∴CT＝ET＝DT，
设CT＝ET＝TD＝xcm，
∵EJ＝JO，
∴∠EOJ＝∠OEJ＝22.5°，
∴∠EJT＝∠EOJ+∠OEJ＝45°，
∴ET＝TJ＝DT＝CT＝x（cm），OJ＝EJx（cm），
∴2xx＝2，
∴x＝2，
∴DE＝（4﹣2）cm，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形EODC2×（4﹣2）＝（4+2）cm2．
故答案为：（4+2）．
24．【解答】解：如图，∵S阴＝S扇形AOB﹣S△OAD OA OD＝π﹣OD，
∴当OD的值最大时，阴影部分的面积最小，
∵OCOP＝1，
∴当OC⊥AD时，OD的值最大，
此时∵OA＝2OC，∠OCA＝90°，
∴∠OAD＝30°，
∴ODOA，
∴阴影部分的面积的最小值为：π．
故答案为：π．
三．解答题（共9小题）
25．【解答】（1）证明：如图①，
连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，
∵AP与 O相切于点P，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO+∠AOP＝90°，
∵MO⊥CN，
∴∠AOP+∠POC＝90°，
∴∠PAO＝∠POC，
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠PBO，
∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，
∴∠PAO＝2∠PBO；
（2）解：如图②所示，
连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，
则有：AO，
由（1）可知∠POC＝∠PAO，
∴Rt△POD∽Rt△OAP，
∴，即，解得PD＝3，OD＝4，
∴CD＝OC﹣OD＝1，
在Rt△PDC中，PC，
∵CB为圆的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴BP3，
故BP长为3．
26．【解答】解：（1）如图，连接ON，
∵MN为圆的切线，
∴ON⊥MN，
∴∠ONC+∠CNM＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CDE＝90°，
∴∠C+∠CED＝90°，
∵∠CED＝∠MEN，
∴∠C+∠MEN＝90°，
∵OC＝ON，
∴∠C＝∠ONC，
∴∠MEN＝∠MNE，
∴MN＝ME；
（2）如图，连接AN，
∵NB∥OC，OC⊥弦AB于点D，
∴NB⊥AB，
∴∠NBA＝90°，
∴AN是圆O的直径，
∵OD＝3，CD＝2，
∴OC＝OD+CD＝5，
∴AD4，
∴BD＝AD＝4，
∴AB＝8，
∵AN＝2OA＝10，
∴BN6，
∵NB⊥AB，
∴△DEC∽△BNE，
∴，
∵BD＝DE+BE＝4，
∴DE＝1，BE＝3，
设MN＝ME＝x，则AM＝ME+AD+DE＝x+5，
在Rt△AMN中，根据勾股定理得：AM2＝AN2+MN2，
∴（x+5）2＝102+x2，
解得：x＝7.5．
∴MN＝7.5．
27．【解答】解：（1）补全图形如图：
（2）∵AP为⊙O的直径，
∴∠ABP＝90°，（直径所对的圆周角为直角），
故答案为：90°；直径所对的圆周角为直角；
（3）直线MN与⊙O相切，理由如下：
连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠PAB＝∠OBA，
由题意可知，AB⊥BP，
∴∠ABO+∠PBO＝∠ABP＝90°，
∴∠PAB+∠PBO＝90°，
∵∠PBM＝∠PAB，
∴∠PBM+∠PBO＝90°，
即∠OBM＝90°，
∴OB⊥MN，
又∵OB为⊙O的半径，
∴直线MN与⊙O相切．
28．【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BAC＝∠DBC，
∵∠BAC＝∠BED，
∴∠DBC＝∠BED；
（2）解：①如图1，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
根据勾股定理得，AC5，
由（1）知，∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AD，
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD，
故答案为：；
②如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，
∵OD∥BC，
∴AD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC＝2OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴ODAB＝2，
∴BC＝2OD＝4，
故答案为4．
29．【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OCD，
∵E是BC的中点，
∴OE⊥CB，
∴AC∥OD，
∴∠COD＝∠ACO＝∠CAB，
∴△ACB∽△OCD，
∴，
∵AB＝10，AC＝6，
∴OC＝5，
BC，
∴，
∴DC；
（2）①当时，四边形AOFC是菱形，理由如下：
如图，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
当时，∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AO＝AC，
由（1）知，AC∥OD，
∵AC＝OA＝OF，
四边形AOFC是菱形；
故答案为：；
②如图，连接BD，
当时，四边形OBDC是正方形，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
当时，∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠DOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴四边形OBDC是正方形．
故答案为：．
30．【解答】（1）证明：连接OD、BD
∵FB、FD分别为⊙O的切线，
∴FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠FBD+∠BCD＝90°，∠FDB+∠FDC＝90°，
∴∠BCD＝∠FDC，
∴FC＝FD，
∴BF＝FC；
（2）解：∵BC＝6，
∴DF＝BF＝CF＝3，
由勾股定理得：EF5，
∴ED＝EF﹣DF＝5﹣3＝2，
∵EF为⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴OE2＝OD2+DE2，即（4﹣OD）2＝OD2+22，
解得：OD，
∴AB＝2OD＝3．
31．【解答】解：在△AED和△BEC中，∵AB⊥CD，EF⊥CB，
∴∠BEF+∠CEF＝90°，∠BCE+∠CEF＝90°．
∴∠BEF＝∠BCE．
∵∠BCE＝∠DAE，∠BEF＝∠AEG．
∴∠AEG＝∠DAE，
∴GA＝GE，
同理：GD＝GE，
∴GA＝GD．
∴G为AD的中点．
32．【解答】解：（1）如图1，
作DG⊥BC于G，
∵∠B＝∠DCB＝30°，
∴BD＝CD，
∴CGBC＝5，
∴CD，
∵DA＝AF，∠DAE＝30°，
∴∠ADF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADF﹣∠DCB＝75°＝∠ADF，
∴AC＝CD，
故答案为：；
（2）在同一坐标系中画出函数yEC的图象如下：
（3）继续在同一坐标系中画出函数yAC的图象如下：
根据图象可得：当AE＝EC时，AB≈3.9cm或9.2cm，
当AC＝EC时，AB≈5.7cm，
当AE＝AC时，AB≈7.2cm，
∴当△AEC为等腰三角形时，线段AB的长度的近似值是3.9cm或9.2cm或5.7cm或7.2cm．
33．【解答】解：（1）如图1所示，作△ABC的外接圆，如图2，以BC为直径作圆，
（2）由（1）可知：钝角三角形的最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆，
故答案为：以三角形的最长边为直径的圆；
（3）此5G基站应建在△EFH的外接圆圆心O处，
理由如下：如图3，作△EFH的外接圆⊙O，与直线EG交于点D，
∵四边形EFDH是圆内接四边形，
∴∠HEF+∠HDF＝180°，
∴∠HDF＝180°﹣40°﹣38°＝102°，
∵∠HGF＝50°+60°＝110°＞102°，
∴点G在⊙O内部，
同理，∵∠HEF＝78°＞180°﹣∠HGF＝70°，
∴点E在△HGF的外接圆的外部，
同理可得：以HF为直径的外接圆也不能覆盖E、F、G、H四点，
∴基站应建在△EFH的外接圆圆心O处．

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