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4.1 因式分解 教案
课题 4.1 因式分解 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1 解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.2 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
重点 1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系。
难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题挑战自我游戏规则：1.大家说出一个大于1的正整数.2.写出它的立方减它本身的式子.3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整数整除.探究因式分解的定义1、想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．小明是这样做的：993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除. （1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？（2）993-99还能被哪些正整数整除．答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除．21教育网（2）还能被98，99，49，11等正整数整除．归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积．2、议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．鼓励学生类比数的分解将a3-a分解．2121cnjy.com学生分组讨论，解决问题：解：a3-a=a×a2-a×1 =a(a2-1) =a(a+1)(a-1) 3、做一做：观察下面拼图过程，写出相应的关系式． ( http: / / www.21cnjy.com ) 学生仔细观察拼图，自主完成：ma+mb+mc= m(a+b+c) ( http: / / www.21cnjy.com )x2+x+1 =(x+1)(x+1) 引导学生分析993-99= 99×100×98 、a3-a=a(a+1)(a-1) 、ma+mb+mc= m(a+b+c) 、21·cn·jy·comx2+x+1 =(x+1)(x+1) 的共同之处，归纳出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式.纪21世纪下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 为什么？ (1).a(x+y)=ax+ay (2).10x2-5x=5x(2x-1) (3).x2+4x+4=(x+2)2 (4).t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t 思考自议引导学生学会观察993-99能被100整除，找出解决问题的关键。 理解清楚推导过程，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式，是教学继续进行的关键。
讲授新课 提炼概念要求：１.是一种恒等变形；2.变形对象：是 ; 3.变形过程：由 变成 的形式；4.变形的结果：是几个 的积；5.分解结果中的每个因式不能再分。三、典例精讲例 做一做：第一组：计算下列各式：（1）（m+4）（m-4）=_______；（2）（y-3）2=_______；（3）3x（x-1）=_______；（4）m（a+b+c）=_______.第二组：根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（ ）（ ）（2）m2-16=（ ）（ ）（3）ma+mb+mc=（ ）（ ）（4）y2-6y+9=（ ）（ ）请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？答案：第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2．www.21-cn-jy.com第一组是把多项式乘以多项式展开整理之 ( http: / / www.21cnjy.com )后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系．21世 让学生发现这两组等式之间的联系和区别；左右两边的特点 。引出因式分解的定义。 总结两组等式之间的联系和区别。
课堂检测 四、巩固训练 1.下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　)A．(3－x)(3＋x)＝9－x2B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z　D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2 D 2.填空： (1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是_______________ ，从右到左的变是 _______________ ；（2）根据下图写出一个因式分解的算式为_______________.整式乘法，因式分解，mn+m2=m（m+n）3.下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？哪些两者都不是？(1)a(x＋y)＝ax＋ay；(2)10x2－5x＝5x(2x－1)；y2－4y＋4＝(y－2)2；(4)t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t.(2)1(4)t2－＝(t＋4)(t－4)＋3t.0x2－5(2)104.(1)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。4.(1)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。 (2)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值 (3)已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。（1）解：a2-b2=(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99)=400（2）解： a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；（3）解： a2b-ab2=ab(a-b)=145.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)，求m，n的值。 解:由题意得: x2+mx-n = (x-2)(x-5) ∵ x2+mx-n =x -7x+10∴对应项的系数相等,则m= -7, m= 10
课堂小结 一、因式分解与整式乘法是互逆过程 二、因式分解要注意以下几点：1.分解的对象必须是多项式 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式3.要分解到不能分解为止
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北师大版 八年级下
4.1 因式分解
情境引入
数学中的游戏
游戏规则：
1.大家说出一个大于1的正整数.
2.写出它的立方减它本身的式子.
如：
3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整数整除.
挑战自我
活动探究一：993-99能被100整除吗 你是怎样想的？ 993-99还能被哪些正整数整除？
聪明的小明是这样做的:
993-99=99×992-99×1
=99×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
解决问题的关键什么？
将数式993-99化成了99、100、98三个数的积的形式！
1、你能尝试把a3-a的化成几个整式的乘积的形式吗？
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
议一议
2、由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
解：a3-a=a×a2-a×1
=a(a2-1)
=a(a+1)(a-1)
活动探究二：阅读课本P92，观察做一做中的拼图，写出相应的式子。
观察下面拼图过程，写出相应的关系式
__________=_________
_________=___________
ma+mb+mc
(x+1)(x+1)
x2+2x+1
m(a+b+c)
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

提炼概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
要求：１.是一种恒等变形；
2.变形对象：是 ;
　　 　 3.变形过程：由 变成 的形式；
　　　 4.变形的结果：是几个 的积；
5.分解结果中的每个因式不能再分。
多项式
和
积
整式
下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 为什么？
(1).a(x+y)=ax+ay
(2).10x2-5x=5x(2x-1)
(3).x2+4x+4=(x+2)2
(4).t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t
因式分解
整式乘法
因式分解
恒等变形
a2-b2
=(a+b)2
=m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b+c)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm+cm
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm+cm
=(a+b)(a-b)
互逆变形
新旧相联：整式乘法与因式分解
整式乘法
典例精讲
例：计算下列各式:
(1)3x(x-1)= ;
(2)m(a+b+c)= __ ;
(3)(m+4)(m-4)= ;
(4)( y-3)2= .
根据上面的算式填空:
3x2-3x=( )( )
ma+mb+mc=( )( )
m2-16 =( )( )
y2-6y+9 =( )2
3x2-3x
m2-16
y2-6y+9
ma+mb+mc
m
a+b+c
3x
x-1
y-3
m+4
m-4
分解因式
整式乘法
归纳概念
例：(m+3)(m-3)=m2 - 9
例：m2 - 9=(m+3)(m-3)
总结：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
整式乘法特点：由整式积的形式转化成单项式和的形式.
因式分解特点: 把单项式和的形式转化为几个整式的积的形式.
课堂练习
1.下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　)
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2
B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z　
D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
D
2.填空：
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为_______________.
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右
的变形是 ，从右到左的变是 ；
n
m
m
整式乘法
因式分解
mn+m2=m（m+n）
3.下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？哪些两者都不是？
解：是整式乘法；
(2)10x2－5x＝5x(2x－1)；
解：是因式分解；
(3)y2－4y＋4＝(y－2)2；
解：是因式分解；
(4)t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t.
解：既不是因式分解也不是整式乘法．
(1)a(x＋y)＝ax＋ay；
4.(1)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。
(2)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值
(3)已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。
解： a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；
解： a2b-ab2=ab(a-b)=14
解：a2-b2=(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99)=400
课堂练习
目标检测1：
5.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)，求m，n的值。
解:由题意得: x2+mx-n = (x-2)(x-5)
∵ x2+mx-n =x -7x+10
∴对应项的系数相等,则m=-7, m=10
课堂总结
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________.
其中，每个整式叫做这个多项式的_______.
与多项式乘法运算的关系
的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_________.
积
分解因式
因式
相反
多项式
乘积
乘积
作业布置
教材课后配套作业题。
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4.1 因式分解 学案
课题 4.1 因式分解 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1 解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.2 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
重点 1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系。
难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
教学过程
导入新课 【引入思考】 挑战自我游戏规则：1.大家说出一个大于1的正整数.2.写出它的立方减它本身的式子.3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整数整除.探究因式分解的定义1、想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．小明是这样做的：993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除. （1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？（2）993-99还能被哪些正整数整除．2、议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．鼓励学生类比数的分解将a3-a分解．2121cnjy.com学生分组讨论，解决问题：解：a3-a=a×a2-a×1 =a(a2-1) =a(a+1)(a-1) 3、做一做：观察下面拼图过程，写出相应的关系式． ( http: / / www.21cnjy.com ) 学生仔细观察拼图，自主完成：ma+mb+mc= m(a+b+c) ( http: / / www.21cnjy.com )x2+x+1 =(x+1)(x+1) 归纳出因式分解的定义 ： 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 为什么？ (1).a(x+y)=ax+ay (2).10x2-5x=5x(2x-1) (3).x2+4x+4=(x+2)2 (4).t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t
新知讲解 提炼概念要求：１.是一种恒等变形；2.变形对象：是 ; 3.变形过程：由 变成 的形式；4.变形的结果：是几个 的积；5.分解结果中的每个因式不能再分。典例精讲 　例 做一做：第一组：计算下列各式：（1）（m+4）（m-4）=_______；（2）（y-3）2=_______；（3）3x（x-1）=_______；（4）m（a+b+c）=_______.第二组：根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（ ）（ ）（2）m2-16=（ ）（ ）（3）ma+mb+mc=（ ）（ ）（4）y2-6y+9=（ ）（ ）请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？
课堂练习 巩固训练 1.下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　)A．(3－x)(3＋x)＝9－x2B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z　D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2 2.填空： (1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是 ，从右到左的变是 ；（2）根据下图写出一个因式分解的算式为_______________.3.下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？哪些两者都不是？(1)a(x＋y)＝ax＋ay；(2)10x2－5x＝5x(2x－1)；y2－4y＋4＝(y－2)2；(4)t2－16＋3t＝(t＋4)(t－4)＋3t.(2)1(4)t2－＝(t＋4)(t－4)＋3t.0x2－5(2)104.(1)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。4.(1)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。 (2)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值 (3)已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。5.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5)，求m，n的值。
答案引入思考答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除．21教育网（2）还能被98，99，49，11等正整数整除．归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积． 归纳出因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．因式分解也可称为分解因式.提炼概念典例精讲 例 答案：第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2．www.21-cn-jy.com第一组是把多项式乘以多项式展开整理之 ( http: / / www.21cnjy.com )后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系．21世巩固训练D2.整式乘法，因式分解，mn+m2=m（m+n）3.4.（1）解：a2-b2=(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99)=400（2）解： a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；（3）解： a2b-ab2=ab(a-b)=145. 解:由题意得: x2+mx-n = (x-2)(x-5) ∵ x2+mx-n =x -7x+10∴对应项的系数相等,则m= -7, m= 10
课堂小结 一、因式分解与整式乘法是互逆过程 二、因式分解要注意以下几点：1.分解的对象必须是多项式 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式3.要分解到不能分解为止
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