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2022年中考数学二次函数压轴题专项训练
1．已知抛物线y＝x2+(m﹣2)x﹣3，抛物线与坐标轴交于点A(3，0)、B两点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点P(2，a)在抛物线上时．
①如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；
②如图2，若直线l2：y＝2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P(2，a)作PQ∥y轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQ＝NQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．
(1)求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；
(3)如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(0，6)和B(﹣2，﹣2)．
(1)求c的值，并用含a的代数式表示b．
(2)当a＝时，
①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若线段GH的端点G、H的坐标分别为(﹣5，10)、(1，10)，此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．
4．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（﹣4，0），与y轴交于C（0，﹣3），连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
5．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接PA，PC，求的最大值；
(3)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与x轴的另一交点为点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，连接AC，交y轴于点E（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时，求出线段AM的长．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx－3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，n）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
(3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，B(﹣2，0)，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E．对称轴l与x轴交于点H．
(1)求抛物线的函数表达式及对称轴；
(2)求点D和点F的坐标；
(3)如图2，若点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，当∠EFP＝45°时，请求出此时点P的坐标．
10．如图，边长为3的正方形的边AB在x轴负半轴上，点C，D在第三象限内，点A的坐标为(﹣5，0)，经过点A，C的抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点N，其顶点为M．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若y轴左侧抛物线上一点P关于y轴的对称点P'恰好落在直线MC上，求点P的坐标；
(3)连接AC，AM，AN，请你探究在y轴左侧的抛物线上，是否存在点Q，使∠ANQ＝∠MAC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
11．抛物线y＝ax2+bx+c，顶点为P(h，k)．
(1)如图，若h＝1，k＝4，抛物线交x轴于A、B，交y轴正半轴于C，OC＝3．
①求抛物线的解析式；
②向下平移直线BC，交抛物线于MN，抛物线上是否存在一定点D，连DM，DN分别交x轴于E，F，使∠DEF＝∠DFE？若存在，求D的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)若c＝0，当点P在抛物线y＝x2﹣x上且﹣1＜h≤2时，求a的取值范围．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中A(1，0)、C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上运动（不与点A重合）．
①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；
②当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．
13．如图，抛物线y＝ax2+k（a＞0，k＜0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），其顶点为C，点P为线段OC上一点，且PC＝OC．过点P作DE∥AB，分别交抛物线于D，E两点（点E在点D的右侧），连接OD，DC．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；（用含a，k的式子表示）
(2)猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若∠ODC＝90°，k＝﹣4，求a的值．
14．综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），且与y轴交于点C．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜n，m+n＝4．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E．判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H(2m，0)，抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(﹣5，0)，(﹣2，3)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点C在抛物线上，若∠ABC＝90°，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若∠PBC＝∠OAD，直接写出点P的坐标．
16．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A(﹣1，0)，B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．
(1)求二次函数及直线CD的解析式；
(2)点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．
(3)点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB时，请直接写出点F的坐标．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+(a﹣2)x+2a与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）若AB＝5，求抛物线的解析式；
（2）若经过点C和定点M的直线与该抛物线交于另一点D，且S△ACM＝S△ADM（“S”表示面积）．
①求定点M的坐标；
②连接BD交y轴于点E，连接AE，若∠AEO＝∠BDC，求a的值．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣3，0)、B，与y轴交于点C(0，﹣3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上求点P，使S△BCP＝2S△BCO，求点P的坐标；
(3)如图2，直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线y＝x2+bx+c上一点，且∠MAN＝∠OCB，求点N的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PF∥AD，交x轴于点F，PE∥x轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M．
(1)求直线AD的表达式及点C的坐标；
(2)当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，求m的值；
(3)试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
(1)
解：（1）将A（3，0）代入中，
解得：m＝0，
∴抛物线的解析式为：；
(2)
解：①设直线l1的解析式为y＝mx+n，
∴x2﹣2x﹣3＝mx+n，
即：x2﹣（2+m）x﹣（3+n）＝0，
∵过点P且不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，
∴△＝（2+m）2+4×1×（3+n）＝0，
整理得①
∵P（2，a）在抛物线上，
∴a＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
即：P（2，﹣3），
将P（2，﹣3）代入y＝mx+n得：2m+n＝﹣3②，
∴联立①②得：，
解得：，
∴直线l1的解析式为：y＝2x﹣7；
②点N在抛物线上，理由如下：
过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥l，过点N作NF⊥l，
在△MEQ和△NFQ中，
，
∴△MEQ≌△NFQ（AAS），
∴QE＝QF，FN＝ME，
设QE＝QF＝n，
∵PQ∥y轴，
∴xP＝xQ＝2，
∴xM＝xQ+QE＝2+n，
xN＝xQ﹣QF＝2﹣n，
联立：
，
得：x2﹣4x﹣3﹣b＝0，
设直线l2与抛物线的另一个交点的横坐标为x1，
则x1+xM＝4，
∴x1＝4﹣xM＝2﹣n＝xN，
∴另外一个交点就是N点，即点N在抛物线上．
2．
(1)
解：由题意得：a＝1，b＝﹣2，c＝1+m，
∴对称轴为直线，，
∴顶点坐标为：（1，m）．
(2)
解：∵当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，如图，
∴当x＝﹣1时，y＝0，即：1+2+1+m＝0，
解得：m＝﹣4，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
(3)
解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3．
∴沿x轴向上翻折后的图象解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
当直线l经过点A（﹣1，0）时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，
把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得：1+k＝0，
解得：k＝﹣1，
当直线l经过点B（3，0）时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，
把点B（3，0）代入y＝﹣x+k，得：﹣3+k＝0，
解得：k＝3，
当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，
由，得：x2﹣3x+k﹣3＝0，
∴Δ＝9﹣4（k﹣3）＝0，
解得：k＝，
∴k的取值范围：﹣1＜k＜3或k=．
3．
(1)
解：把（0，6）代入y＝ax2+bx+c，
得c＝6．
把（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx+6，
得4a﹣2b+6＝﹣2，
∴b＝2a+4．
(2)
解：①当时，此函数表达式为，图象开口向上．
由顶点坐标公式可知顶点坐标为，
∵﹣4≤x≤2，
∴当时，y的最小值为．
观察图象结合增减性，当x＝2时，y有最大值，
把x＝2代入，
y的最大值为20．
②∵，
令y＝0，则x＝﹣6或，
∵点C在左侧，
∴C（﹣6，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A（0，6），C（﹣6，0）代入，
得k＝1，m＝6，
∴y＝x+6
设则F（x，x+6）
∴，
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，
∴∠COA＝90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM＝∠CAO＝45°，
，
设△FDM的周长为l，
则
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵且﹣6＜x＜0，
∴x＝﹣3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x＝﹣3代入，
得，
∴．
(3)
①当a＞0时，若抛物线与线段GH只有一个公共点（如图），
y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a+4）x+6，
当x＝1时，y＝3a+10，
则抛物线上的点（1，3a+10）在H点的上方，
∴25a﹣10a﹣20+6＜10．
解得．
0＜．
②当a＜0时，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
又图象经过点A（0，6），和B（﹣2，﹣2）则抛物线的顶点必在线段GH上，（如图）
∴．
即4a×6﹣（2a+4）2＝40a，
解得或，
∵a＜0，对称轴在y轴左侧，2a+4＜0，
∴a＜﹣2，故只能是
综上，a的取值范围是或，
4．
(1)
解：设y＝a（x﹣2）（x+4），
把C（0，﹣3）代入得：，
∴，
∴；
(2)
解：如图，延长PE交x轴于点F，
设点，△PDE的周长是l，
∵B（﹣4，0），C（0，﹣3），
∴OB=4，OC=3，
∵BC＝5，
∴△BOC的周长是12，
设直线BC的解析式为，
把B（﹣4，0），C（0，﹣3），代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式是：，
∴E（x，﹣x﹣3），
∴PE＝（﹣x﹣3）﹣（x2+x﹣3）＝﹣x2﹣x，
∵PD⊥BC，
∴∠PDE＝∠BOC＝90°，
∵PE∥y轴，
∴∠PED＝∠BEF=∠BCO，
∴△PDE∽△BOC，
∴，
∴＝，
∴l＝﹣（x+2）2+，
∴当x＝﹣2时，l最大＝，即△PDE周长的最大值为，
当x＝﹣2时，y＝×（﹣2+4）×（﹣2﹣2）＝﹣3，
∴P（﹣2，﹣3）；
(3)
解：如图2，设原抛物线的顶点为M，平移后的抛物线的顶点为N，连接MN，
∵y＝x2+x﹣3＝（x+1）2﹣，
∴M（﹣1，﹣），
设直线AC的解析式为，
把点A（2，0），C（0，﹣3），代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∵MN∥AC，
∴可设直线MN的解析式为，
把点M（﹣1，﹣），代入得：
，解得：，
∴直线MN的解析式为y＝x﹣，
设点，
∴新抛物线解析式是y＝（x﹣m）2+m﹣，
∵平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，
∴m2m﹣＝﹣3，
∴m＝﹣3或m＝﹣1（舍去），
∴新抛物线对称轴是x＝﹣3，
∴设点F（﹣3，n），
当BF＝BC＝5时，
1+n2＝25，
∴n＝±2，
当CF＝BC＝5时，
9+（n+3）2＝25，
∴n＝1或n＝﹣7，
当FB＝FC时，
1+n2＝9+（n+3）2，
∴n＝﹣，
∴F（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）或（﹣3，1）或（﹣3，﹣7）或（﹣3，﹣）．
5．
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x＋4；
(2)
解：将x=0代入y=-x2-3x+4得，y=4，
∴点C（0，4），
设直线AC所在直线的表达式为y=k1x+b1，则
，解得：，
∴直线AC的表达式为y=x+4，
如图，设PD与线段AC交于点N，
设P（t，-t2-3t+4），
∵PD⊥x轴交AC于点N，
∴N（t，t+4），
∴PN=yP-yN=-t2-4t，
过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4，
∴S△APC=S△APN+S△PCN=PN AD+PN CH
=PN (AD+CH)
= ( t2 4t) ( t+t+4)
=-2t2-8t
=-2(t+2)2+8，
∵a=-2＜0，
∴当t=-2时，S△APC有最大值，△PAC面积的最大值为8．
(3)
解：设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB=∠OEB，
∵∠DPB=2∠BCO，
∴∠OEB=2∠BCO，
∴∠ECB=∠EBC，
∴BE=CE，
∵C（0，4），B（1，0），
∴OC=4，OB=1，
设OE=a，则CE=BE=4-a，
在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2，
∴（4-a）2=a2+12，
解得：a=，
∴E（0，），
设BP所在直线表达式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y=-x+．
6．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（-2，-4）和点C（2，0），
则，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2；
(2)
解：存在，理由是：
在x轴正半轴上取点E，使OB＝OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
在y＝-x2＋x＋2中，
令y＝0，解得：x＝2或-1，
∴点B坐标为（-1，0），
∴点E坐标为（1，0），
可知：点B和点E关于y轴对称，
∴∠BDO＝∠EDO，即∠BDE＝2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE＝＝＝BD，
在△BDE中，×BE×OD＝×BD×EF，
即2×2＝×EF，解得：EF＝，
∴DF＝=，
∴tan∠BDE＝，
若∠PBC＝2∠BDO，
则∠PBC＝∠BDE，
∵BD＝DE＝，BE＝2，
则BD2＋DE2＞BE2，
∴∠BDE为锐角，
当点P在第三象限时，
∠PBC为钝角，不符合；
当点P在x轴上方时，
∵∠PBC＝∠BDE，设点P坐标为（c，-c2＋c＋2），
过点P作x轴的垂线，垂足为G，
则BG＝c＋1，PG＝-c2＋c＋2，
∴tan∠PBC＝，
解得：c＝，
∴-c2＋c＋2＝，
∴点P的坐标为（，）；
当点P在第四象限时，
同理可得：PG＝c2-c-2，BG＝c＋1，
tan∠PBC＝，
解得：c＝，
∴，
∴点P的坐标为（，），
综上：点P的坐标为（，）或（，）；
(3)
解：设EF与AD交于点N，
∵A（－2，－4），D（0，2），设直线AD表达式为y＝mx＋n，
则，解得：，
∴直线AD表达式为y＝3x＋2，
设点M的坐标为（s，3s＋2），
∵A（－2，－4），C（2，0），设直线AC表达式为y＝m1x＋n1，
则，解得：，
∴直线AC表达式为y＝x-2，
令x＝0，则y＝-2，
∴点E坐标为（0，-2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，∴△CME≌△FME，即S△CME＝S△FME，
当点F在直线AC上方时，如图：
S△MNE＝S△AMC＝S△AME＝S△FME，
即S△MNE＝S△ANE＝S△MNF，
∴MN＝AN，FN＝NE，
∴四边形FMEA为平行四边形，
∴CM＝FM＝AE＝AC＝，
∵M（s，3s＋2），
∴，解得：s＝或0（舍），
∴M（，），
∴AM＝，
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM＝EF，
由于折叠可得：CE＝EF，
∴AM＝EF＝CE＝，
综上：AM的长度为或．
7．
解：将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
(2)
如下图，
过点P作PH⊥BC交于点H，
设P（0，t），CH＝x，
∵C（0，2），B（4，0），
∴BC＝2，
∴BH＝2﹣x，
∵∠OBP+∠OBC＝45°，
∴∠CBP＝45°，
∴HP＝BH＝2﹣x，
在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，
在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，
∴＝，＝，
∴x＝，t＝﹣ ，
∴P（0，﹣ ），
P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，
∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；
(3)
如下图，
当M点在B点处时，N点在F（0，4）处，当M点在O点处时，N点在E（﹣2，0）
处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，
当NA经过圆心O'时，NA有最大值和最小值，
∵OE＝2，OA＝1，
∴NA⊥OE，
在Rt△OO'A中，OA＝1，OO'＝，
∴O'A＝2，
∴NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，
∴2﹣≤NA≤2+．
8．
(1)
解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax ＋bx－3
得到
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
(2)
解：将C点横坐标x＝2代入y＝x ﹣2x﹣3
解得y＝﹣3
∴C（2，﹣3）
将A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得
解得
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P，E；
∴PE＝
＝﹣m +m+2
＝﹣（m）
∵﹣1＜0
∴当m时，PE的最大值
∴
此时P（，）
∴线段PE最大时点P坐标为．
(3)
解：存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意得K（0，﹣3）
∵C（2，﹣3）
∴CK∥x轴，CK＝2
①当AC是平行四边形ACF1D1的边时，轴
得在点的左侧且
∴可得D1（﹣3，0）．
②当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，轴
得在点的右侧且
∴可得D2（1，0）．
③当点F在x轴的上方时，令y＝3，有3＝x2﹣2x﹣3
解得x＝1±
∴可知F3（1，3），F4（1，3）
由平移的性质可知D3的横坐标为，D4的横坐标为
∴可得D3（4，0），D4（4，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）．
9．
(1)
∵抛物线过点A（4，0），B（﹣2，0），
∴y（x﹣4）（x+2），
∴yx2+x+4，
即所求抛物线的表达式为：yx2+x+4，
∵yx2+x+4（x﹣1）2，
∴抛物线对称轴为：直线x＝1
(2)
连接BD、CD，作CG⊥l于G，如图1所示：
∵点D在直线x＝1上
∴设D（1，m），
∵EF垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵C（0，4），B（﹣2，0），
∴OC＝4，OB＝2，
∵CD2=（1+2）2+m2，BD2=12+（m﹣4）2
∴（1+2）2+m2＝12+（m﹣4）2，
解得：m＝1，
∴D（1，1），
∵∠DHF＝∠BOC＝90°，∠BFE+∠CBO＝∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠BFE＝∠BCO，
∴△DHF∽△BOC，
∴，即，
∴HF＝2，
∴OF＝OH+HF＝3，
∴F（3，0）
(3)
分别延长EC与FP，交于点M，过点E作EG⊥x轴，过点M作MN⊥EG于点N，如图2所示：
∵C（0，4），B（﹣2，0），E为BC的中点，
∴E（），即E（﹣1，2），
∵∠EFP＝45°，∠MEF＝90°，
∴EF＝EM，∠MEN+∠FEG＝90°，
∵∠FEG+∠EFG＝90°，
∴MEN＝∠EFG，
在△EGF和△MNE中，
，
∴△EGF≌△MNE（AAS），
∴MN＝EG＝2，NE＝GF＝4，
∴M（1，6），
又∵F（3，0），
∴设直线MF的表达式为：y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴y＝﹣3x+9，
∴，
∴x1＝4（舍去），x2＝4，
∴，
∴P（4，33）．
10．
解：由题意得：点、的坐标分别为、，
将点、的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为；
(2)
解：由（1）知，点，设直线的表达式为，
则，解得，
故直线的表达式为，
设点，则点，
将点的坐标代入的表达式得，，解得或，
故点的坐标为或；
(3)
解：存在，理由：
设点，过点作轴于点，过点作轴于点，
由题意得：，，，，，
①当点在点的右侧时，如上图，
，
，
，，
，
，
，
，
，解得或0（舍去，
故点；
②当点在点的左侧时，
同理可得：，
，
，解得或0（舍去，
故点，，
综上，点的坐标为或，．
11．
①y＝a（x﹣1）2+4，把C（0，3）代入，得3＝a（0﹣1）2+4，
解得 a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．即y＝﹣x2+2x+3；
②设D（t，﹣t2+2t+3），作DP⊥x轴，作MP⊥DP于P，作NQ⊥DP于Q，
由直线BC：y＝﹣x+3，设直线MN为：y＝﹣x+b，
联立，
∴x2﹣3x+b﹣3＝0，
∵MP⊥DP，NQ⊥DP，BE⊥DQ
∴MP//BE//NQ
∴∠DMP＝∠DEF，∠DNQ＝∠DFE，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴∠DMP＝∠DNQ，
又∵∠DPM＝∠DQN=90°，
∴△DPM∽△DQN
∴，
∴，
∴，
∴﹣（xM+t﹣2）＝xN+t﹣2，
∴xM+xN＝﹣2t+4，
∵xM+xN＝3，
∴﹣2t+4＝3，
∴t，
∴D（，）；
(2)
∵点P在抛物线y＝x2﹣x上，
∴P（h，h2﹣h），
∴y＝a（x﹣h）2+h2﹣h，
∵c＝0，
∴抛物线过（0，0），
∴ah2+h2﹣h＝0，h（ah+h﹣1）＝0，
当h＝0时，a为不等于0的任意实数，
当h≠0时，ah+h﹣1＝0，
∴h，
∵﹣1＜h≤2，
∴﹣12，
∴a或a＜﹣2．
12．
解：由题意，得，解得，
抛物线的解析式为．
(2)
解：①如图1，作点，使，连结交于点．
点与点关于抛物线的对称轴直线对称，
，
，
．
过点、点分别作的平行线交抛物线于点、、，
，，
，
，且，
△、△、△的面积都等于的面积．
设直线的解析式为，则，
解得，
；
设直线的解析式为，则，
解得，
；
设直线的解析式为，则，
解得，
．
由，
得，，
；
由，
得，，
，，，．
综上所述，点的坐标为）或，或，．
②由①，得，作直线交抛物线于点．
，，，
△，
．
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为．
13．
(1)
对于y＝ax2+k，令y＝ax2+k＝0，解得x＝±，令x＝0，则y＝k，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣，0）、（，0）、（0，k）；
(2)
，理由：
∵，
则，故点P的坐标为，
当yP＝k时，则yP＝k＝ax2+k，
解得，则，
由点A、B的坐标得：；
(3)
当k＝﹣4时，
由（1）（2）知，OP＝3，PC＝4﹣3＝1，，
∵∠ODP+∠CDP＝90°，∠CDP+∠DCP＝90°，
∴∠ODP＝∠DCP，
又∠OPD=∠DPC=90°
∴△ODP∽△DCP，
∴
∴PD2＝OP PC，
即（）2＝3×1，解得a＝．
14．
令y＝0，则．
解这个方程得：．
∵点B在点A的右侧，
∴A（﹣，0），B（4，0）．
令x＝0，则y＝﹣3．
∴C（0，﹣3）．
(2)
四边形MDEN为平行四边形．理由：
∵若M（m，y1），N（n，y2）是第四象限内抛物线上的两个动点，
∴，．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，由题意：
．
解得：．
∴直线BC的解析式为．
∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，
∴D（m，），E（n，n﹣3）．
∴MD＝﹣（m2﹣﹣3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+4m，
EN＝﹣（n2﹣n﹣3）﹣（3﹣n）＝﹣n2+4n．
∵m+n＝4，
∴n＝4﹣m．
∴EN＝﹣（4﹣m）2+4（4﹣m）＝﹣m2+4m．
∴MD＝EN．
∵过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E，
∴MD∥EN．
∴四边形MDEN为平行四边形．
过D作DF⊥NE于F，则DF＝n﹣m，如图，
∵B（4，0），C（0，﹣3）．
∴OB＝4，OC＝3．
∴BC＝．
∵DF∥OB．
∴∠EDF＝∠OBC．
∵∠COB＝∠DFE＝90°，
∴△DFE∽△BOC．
∴．
∴．
∴DE＝（n﹣m）＝（4﹣m﹣m）＝（2﹣m）．
∴平行四边形MDEN的周长＝2MD+2DE＝2（﹣m2+4m）+2×（2﹣m）＝﹣2m2+3m+10．
∵﹣2m2+3m+10＝﹣2，
又﹣2＜0，
∴当m＝时，四边形MDEN的周长有最大值．
(3)
在抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH．
由（2）可知H的坐标为（，0）．
∴OH＝．
∵抛物线的解析式为y＝，
∴抛物线的对称轴为直线x＝．
∴OF＝．
∴BF＝OB﹣OF＝4﹣＝．
分两种情况解答：
①当P在x轴的下方时，∠APB＝2∠OCH．如图，
∵由抛物线的对称性可知∠APB＝2∠BPF，
∴∠OCH＝∠BPF．
∴tan∠OCH＝tan∠BPF．
∵tan∠OCH＝，tan∠BPF＝，
∴．
∴PF＝2BF＝2×＝．
∴点P的坐标为（）．
②当点P在x轴的上方时，由对称性可知，点P的坐标为（）．
综上所述，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH，此时点P的坐标为（）或（）．
15．
解：把A（-5，0）、B（-2，3）代入y=ax2+bx+3，
得，解得，
∴二次函数的表达式为y= x2 x+3；
(2)
解：如图1，作BE⊥x轴于点E，设BC交x轴于点G，交y轴于点D，
则∠AEB=90°，E（-2，0），
∴AE=-2-（-5）=3=BE，
∴∠EBA=∠EAB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBC=∠ODG=∠EGB=45°，
∴GE=BE=3，OG=OD=1，
∴G（1，0），D（0，1）．
设直线BC的解析式为y=kx+1，则k+1=0，解得k=-1，
∴y=-x+1．
由，得，，
∴C（5，-4）；
(3)
解：如图2，以AD为直径作⊙K，连接KB、KO，作射线BO交抛物线于点P．
∵∠ABD=∠AOD=90°，KA=KD，
∴KB=KO=AD，
∴点B、点O都在⊙K上，
∴∠PBC=∠OAD．
设直线PB的解析式为y=mx，则-2m=3，解得m= ，
∴y= x．
由，得，，
∴P（， ）；
如图3，作GH⊥x轴，使GH=GO=1，作射线BH交抛物线于点P，则∠AGH=90°，H（1，1）．
∵∠BGH=∠BGO=45°，GH=GO，GB=GB，
∴△GBH≌△GBO（SAS），
∴∠PBC=∠GBO=∠OAD．
设直线BP的解析式为y=px+q，则，解得，
∴y= x+，
由，解得，．
综上所述，点P的坐标为（， ）或（， ）．
16．
(1)
解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝3，
令x＝0，则y＝3，
∴点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
由题意把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
抛物线配方为顶点式
顶点D（1，4）
设DC解析式为，代入坐标得
解得：
DC解析式为，
(2)
解： 过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点P的坐标为（m，m+3），则点H（m，﹣m+3），
则PH＝（m+3）-（-m+3）=2m，
则△BCP的面积＝PH（xB﹣xC）＝×2m（3﹣0）＝，
解得m＝，
∴m+3=
故点P的坐标为（，）；
(3)
（3）∵抛物线y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3与与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，3），顶点（1，4），E（1，0），B（3,0），
∴BE=3-1=2，DE=4，
∴tan∠BDE＝．
①当点M在对称轴的右侧时．
（I）当点G在射线CD上时，如图2，过点G作y轴的垂线，垂足为R，过点F作GR的垂线，垂足为H，过D作DN⊥y轴于N，则点N（0，4），
∵NC=4-3=1，DN=1，
∴NC=DN，∠CND=90°，
∴△CND为等腰直角三角形，
∴∠NCD=45°，
∴∠RCG=∠NCD=45°，
∵GR⊥y轴，
∴∠CRG=90°，
∴∠CGR=180°-∠RCG-∠CRG=45°=∠RCG，
∴CR=GR，
则△CGR为等腰直角三角形．
∵GF⊥CD，
∴∠CGR+∠HGF=90°
∴∠HGF=90°-∠CGR=45°，
∵FH⊥RG，
∴∠H=90°，
∴∠HFG=180°-∠HGF-∠H=180°-45°-90°=45°=∠HGF，
△FGH为等腰直角三角形．
∵∠CFG＝∠BDE，
∴tan∠CFG＝tan∠BDE＝．
∵△CGR，△FGH为等腰直角三角形，
∴△CGR∽△FGH，
∴△CGR，△FGH相似比为1：2
设CR＝a，则RG＝a，FH＝GH＝2a，
∴F（3a，3+a﹣2a），即F（3a，3﹣a），
将点F的坐标代入抛物线的解析式得：﹣（3a）2+2×3a+3＝3﹣a，
整理得-9 a2+7 a=0，
解得：a＝0（舍去）或a＝；
此时F（，）．
（II）若点G在射线DC上，如图3，过点G作x轴的垂线l，分别过点F、C作RG的垂线，垂足为H、R，则△CGR，△FGH均为等腰直角三角形，
∵∠CFG＝∠BDE，
∴tan∠CFG＝tan∠BDE＝，
∵△CGR，△FGH为等腰直角三角形，
∴△CGR∽△FGH，
∴△CGR与△FGH相似比为1：2
设CR＝a，则GR＝a，GH＝2a，
∴F（a，3﹣a﹣2a），即F（a，3﹣3a），
将点F的坐标代入抛物线的解析式得：﹣a2+2a+3＝3﹣3a，
整理得a2-5 a=0
解得：a＝0（舍去）或a＝5，
此时F（5，﹣12）
②当点F在对称轴左侧时．
∵∠CFG＝∠BDE＜45°，
∴∠FCG＞45°，
∵抛物线左侧任意一点K，都有∠KCG＜45°，
∴点F不存在．
综上可知，F（，）或（5，﹣12）．
17．
解：（1）令y＝﹣x2+（a﹣2）x+2a＝0，解得x＝a或﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2,0）、（a，0），
则AB＝a﹣（﹣2）＝5，
解得：a＝3，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）①∵S△ACM＝S△ADM，
而上述两个三角形的高相等，
则CM＝DM，即点M是CD的中点，
由抛物线的表达式知，点C的坐标为（0,2a），
设点D的坐标为（t，﹣t2+（a﹣2）t+2a），
∴点M的坐标为（t，），
设y＝＝﹣t2﹣t+a（t+2），
当t＝﹣4时，y为定值﹣4，
即点M的坐标为（﹣2，﹣4）；
②∵点M（﹣2，﹣4）、C（0,2a），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣8﹣2a），
由B、D的坐标得，直线BD的表达式为y＝2（x﹣a），
当x＝0时，y＝2（x﹣a）＝﹣2a，即点E的坐标为（0，﹣2a），
则OE＝2a，则tan∠AEO＝；
由点B、E的坐标得，BE＝，
过点E作EH∥CD交x轴于点H，则∠HEB＝∠CDB，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝（a+2）（x+2），
则直线EH的表达式为y＝（a+2）x﹣2a，
令y＝（a+2）x﹣2a＝0，解得x＝，则点H（,0），
则BH＝a﹣＝，
在△BEH中，过点H作HN⊥BD于点N，
由直线BD的表达式知，tan∠HBN＝2，则sin∠HBN＝，cos∠HBN＝，
则BN＝BHcos∠HBN＝BH，HN＝BHsin∠HBN＝BH，
则EN＝BE﹣NB＝a﹣BH，
tan∠HEN＝＝tan∠AEO＝，BH＝，
解得a＝1±（舍去负值），
故a＝1+．
18．
解：将代入到抛物线解析式中，
得，
将代入到抛物线解析式中，
得，
，
抛物线解析式为：；
(2)
解：令，则，
解得，，
，
，
，
，
如图1，过作交轴于，连接，
则，
，
，
，
设直线为，
代入点得，，
直线为：，
则直线设为：，
代入点得，，
直线为：，
联立，
解得，，
或；
(3)
（3）直线交抛物线于第一象限的点，
联立，
解得，，
，，
在中，，
，
①如图2，当在下方时，过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点
过作交于，过作轴平行线交于，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，，
，，
，
，
设直线为：，
代入点，得，
直线为，
联立，
化简得，，
解得或，
当时，，
，
②当在上方时，
同理可得，，
或．
19．
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
(2)
根据题意为对称轴上的点，为的垂直平分线上的点，
B（3，0）
则
当时，y＝﹣2+3+3=；
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
则有，
解得．
∴直线PB的解析式为y＝x+．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴xQ＝1，yQ＝×1+＝5，
∴点Q的坐标为（1，5）
根据对称性点Q坐标还可以为（1，﹣5）．
(3)
①如图，由（2）可得△QAB△POB，△QAB与△POB位似，则，
又交于点,则位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．
②如图，若当Q点坐标（1，﹣5）时,设与轴的交点为，则位似中心为，
由（2）可得△QAB△POB，则，
又
，，
解得
则当Q点坐标（1，﹣5）时，位似中心坐标为（，0）；
综上所述，位似中心坐标为（3，0）或（，0）
20．
(1)
由，
当y＝0时，＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4．
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，0）．
∵y＝＝﹣（x﹣1）x2+4．
∴D（1，4），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+b．
∵直线AD过点A（﹣2，0），D（1，4），则，
解得，
∴，
当x＝0时，y＝，故C（0，）；
(2)
如图，分别过点D、P作DG⊥x轴于点G，PH⊥x轴于点H，
∵D（1，4），P（m，），
∴DG＝4，PH＝||．
∵PF∥AD，PE∥x轴，
∴四边形AFPE是平行四边形，
∴S四边形AFPE＝AF PH，S△ADF＝AF DG．
当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，AF PH＝AF DG．
∴PH＝DG，即＝2．
当＝2时，m1＝1+，m2＝1﹣＜0（不合题意，舍去）．
当＝﹣2时，m1＝1+，m2＝1﹣＜0（不合题意，舍去）．
综上所述，当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，m的值为1+或1+；
(3)
存在，理由：
当点P在x轴上方时，
设点P（m，），则点E的坐标为（x，），
把点A的坐标代入AD的表达式得：＝，
解得x＝﹣m2+m+，
故点E的坐标为（﹣m2+m+，），
则EP＝m﹣（﹣m2+m+），
，则
tan∠EAO＝， cos∠EAO＝＝，
则AE＝（xE﹣xA）＝（﹣m2+m++2），
∵四边形AFPE是菱形，则AE＝EP，
即m﹣（﹣m2+m+）＝（﹣m2+m++2），
解得m1＝﹣2（舍去），m2＝，
故点P的坐标为（，）；
当点P在x轴下方时，
同理可得，点P的坐标为（，﹣21）．
综上所述，点P的坐标为（，）或（，﹣21）．
答案第1页，共2页

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