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倾斜角与斜率
【学习目标】
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
知识点一　直线的倾斜角
思考1　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？
答案　不能．
思考2　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？
答案　不同．
梳理　(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
知识点二　直线的斜率与倾斜角的关系
思考1　在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？
答案　不同，因为≠.
思考2　思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？
答案　存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β.
梳理　(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
知识点三　过两点的直线的斜率公式
直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)．
类型一　直线的倾斜角
例1　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)21世纪教育网版权所有
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°
答案　D
解析　根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
反思与感悟　(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．21教育网
跟踪训练1　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ．
答案　60°或120°
解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
类型二　直线的斜率
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
解　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
反思与感悟　(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
跟踪训练2　如图所示，直线l1，l2， ( http: / / www.21cnjy.com )l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．21cnjy.com
解　设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．
由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以
k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.21·cn·jy·com
类型三　直线的倾斜角、斜率的应用
例3　如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．
解　kAB＝＝，kAC＝＝，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
即＝，∴m＝－6.
反思与感悟　斜率是反映直线 ( http: / / www.21cnjy.com )相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．
跟踪训练3　已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由题意可得2m＝2，解得m＝1.
例4　直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．
解　如图所示．
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.
反思与感悟　(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．
跟踪训练4　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．www.21-cn-jy.com
解　如图所示．
当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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