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直线的交点坐标与两点间距离
【学习目标】
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
3.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一　直线的交点与直线的方程组解的关系
思考1　直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
答案　直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．21教育网
思考2　已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案　只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
思考3　由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案　(1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．
梳理　(1)两直线的交点
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l1 l1：A1x＋B1y＋C1＝0
点A在直线l1上 A1a＋B1b＋C1＝0
直线l1与l2的交点是A
(2)两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
知识点二　两点间的距离
已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
思考1　当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？
答案　|P1P2|＝|x2－x1|.
思考2　当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？
答案　|P1P2|＝|y2－y1|.
思考3　当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由．
答案　如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝.
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝.
类型一　两直线的交点问题
例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
解　(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
反思与感悟　两条直线相交的判定方法
方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二 两直线斜率都存在且斜率不相等
方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在
跟踪训练1　直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是________．
答案　(1,2)
解析　联立两方程得解得
所以两直线的交点坐标为(1,2)．
例2　已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
答案　(－，2)
解析　由得
由得∴－引申探究
若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？
解　由例2得交点坐标为(，)，
则由得a<－.
反思与感悟　解决此类问题的关键是先利用 ( http: / / www.21cnjy.com )方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．21cnjy.com
跟踪训练2　若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>－ B．k<2
C．－2
答案　C
解析　由得
由得
∴－故选C.
类型二　求过两条直线交点的直线方程
例3　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
解　方法一　解方程组
得
所以两直线的交点坐标为(－，－)．
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二　设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有
得λ＝.
代入(*)式，得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
引申探究
本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．
解　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
反思与感悟　求过两条直线交点的直线方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
跟踪训练3　直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
答案　B
解析　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，
因为l过原点，所以λ＝8.
则所求直线方程为2x－y＝0.
类型三　两点间的距离公式及其应用
例4　如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解　(1)方法一　∵|AB|＝
＝，
|AC|＝＝，
又|BC|＝＝，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二　∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝，
|AB|＝＝，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)S△ABC＝|AC|·|AB|＝()2＝26，
∴△ABC的面积为26.
反思与感悟　(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考 ( http: / / www.21cnjy.com )虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．21世纪教育网版权所有
跟踪训练4　已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解　设P(x,0)，|PA|＝，
|PB|＝，
∵|PA|＝|PB|，
∴＝，
得x＝1，∴P(1,0)，
∴|PA|＝＝2.
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