资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台直线与圆的位置关系【学习目标】1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.知识点 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断位置关系 相交 相切 相离公共点个数 2个 1个 0个判定方法 几何法:设圆心到直线的距离为d= dr代数法:由消元得到一元二次方程,可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0类型一 直线与圆的位置关系的判断例1 求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.21教育网解 圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离为d=,圆的半径为r=2.①若相交,则d<r,即<2,所以m<-2或m>2;②若相切,则d=r,即=2,所以m=±2;③若相离,则d>r,即>2,所以-2<m<2.反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.21·cn·jy·com跟踪训练1 对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A.相离 B.相切C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心答案 C解析 直线y=kx+1恒 ( http: / / www.21cnjy.com )过定点(0,1),由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,则直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1的斜率存在,则该直线必不过圆心(0,0),故选C.www-2-1-cnjy-com类型二 切线问题例2 过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线方程.解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.设圆心为C,因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,所以=1,即|k+4|=,所以k2+8k+16=k2+1,解得k=-.所以切线方程为-x-y+-3=0,即15x+8y-36=0.②若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离为1,这时直线x=4与圆相切,所以另一条切线方程为x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.引申探究若本例的条件不变,求其切线长.解 因为圆心C的坐标为(3,1),设切点为B,则△ABC为直角三角形,|AC|==,又|BC|=r=1,则|AB|===4,所以切线长为4.反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系,以确定切线的数目.(1)求过圆上一点P(x0 ( http: / / www.21cnjy.com ),y0)的圆的切线方程:如果斜率存在且不为0,先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.2·1·c·n·j·y(2)求圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解:设切线方程为y-y0=k ( http: / / www.21cnjy.com )(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可由数形结合求出.2-1-c-n-j-y跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为________.答案 x+2y-5=0解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上,可得此圆的方程为x2+y2=5,所以该圆在点P处的切线方程为1×x+2×y=5,即x+2y-5=0.21*cnjy*com例3 过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为_______.答案 (x-3)2+y2=2解析 由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3. ①过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0, ②联立①②,解得所以圆心坐标为(3,0),半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.反思与感悟 此类题易错点 ( http: / / www.21cnjy.com )是求最值时,对参数无法破解而致错,避免此类错误的关键:一是会用公式,即会利用点到直线的距离公式求距离;二是会转化,把要求的半径最大问题,转化为求代数式的最值;三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 【来源:21·世纪·教育·网】跟踪训练3 已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案 B解析 设圆心为C(a,-a),则=,解得a=1,所以r==,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选B.类型三 弦长问题例4 (1)过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为________.www.21-cn-jy.com(2)圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为_________________.答案 (1) (2)(x-2)2+(y+1)2=4解析 (1)方法一 (交点法)由题意知,直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.由解得A(,),B(,).∴|AB|==.方法二 (弦长公式)由题意知,直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.由消去y,得2x2-2x-7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=1,x1x2=-.∴|AB|=·=·=.方法三 (几何法)由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0,圆心O(0,0)到直线l的距离为d==,则有|AB|=2=2 =.(2)设圆的半径为r,由条件,得圆心到直线y=x-1的距离为d==.又直线y=x-1被圆截得的弦长为2,即半弦长为,∴r2=2+2=4,得r=2,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.(3)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A、B两点,截得的弦长为4,求直线l的方程.解 方法一 若直线l的斜率不存在,则l:x=5与圆C相切,不合题意,∴直线l的斜率存在,设其方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.如图所示,|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半,在Rt△AHO中,|OA|=5,|AH|=|AB|=·4=2.∴|OH|==,∴=,解得k=或k=2.∴直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.方法二 若直线l的斜率不存在,则l:x=5与圆C相切,不合题意,∴直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),且与圆相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点.由消去y,得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0,∴Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.又∵x1+x2=-,x1x2=,由斜率公式, 得y1-y2=k(x1-x2).∴|AB|=====4,两边平方,整理得2k2-5k+2=0,解得k=或k=2,均符合题意.故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的距离公式 |AB|=求解.21世纪教育网版权所有(2)弦长公式:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设 ( http: / / www.21cnjy.com )直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==|x1-x2|= |y1-y2|(直线l的斜率k存在).21cnjy.com(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2.21·世纪*教育网通常采用几何法较为简便.跟踪训练4 已知直线l:kx-y+k+2=0与圆C:x2+y2=8.(1)证明:直线l与圆相交;(2)当直线l被圆截得的弦长最短时,求直线l的方程,并求出弦长.(1)证明 ∵l:kx-y+k+2=0,直线l可化为y-2=k(x+1),∴直线l经过定点(-1,2),∵(-1)2+22<8,∴(-1,2)在圆C内,∴直线l与圆相交.(2)解 由(1)知,直线l过定点P(-1,2),又圆C:x2+y2=8的圆心为原点O,则与OP垂直的直线截得的弦长最短.∵kOP=-2,∴kl=,∴直线l:y-2=(x+1),即x-2y+5=0.设直线l与圆交于A、B两点,|AB|=2=2=2.∴直线l的方程为x-2y+5=0,弦长为2.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览