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棱柱、棱锥、棱台的结构特征
【学习目标】
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．
知识点一　空间几何体的定义、分类及相关概念
思考　观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？
答案　(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成．
(2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成．
梳理　(1)空间几何体的定义及分类
①定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．21教育网
②分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
(2)多面体与旋转体
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个平面多边形围成的几何体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体
图形
相关概念 面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
知识点二　棱柱的结构特征
思考　观察下列多面体，有什么共同特点？
答案　(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
梳理　棱柱的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF —A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、……
知识点三　棱锥的结构特征
思考　观察下列多面体，有什么共同特点？
答案　(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
梳理　棱锥的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……
知识点四　棱台的结构特征
思考　观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？
答案　(1)区别：有两个面相互平行．
(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．
梳理　棱台的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
知识点五　棱柱、棱锥、棱台之间的关系
类型一　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1　下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
答案　③④
解析　①错误，底面可以不是多边形；②错误，底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义可知；④正确，被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱．21cnjy.com
反思与感悟　关于棱柱的辨析
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．
①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
特别提醒：求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
跟踪训练1　关于棱柱，下列说法正确的是________．
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
答案　②
解析　①不正确，反例如图所示．
②正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．
③不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．
例2　(1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？
解　该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥．21·cn·jy·com
(2)如图所示的多面体是不是棱台？
解　根据棱台的定义，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行．即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图(1)中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不是棱台；图(2)中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图(3)中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．21·世纪*教育网
反思与感悟　棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
跟踪训练2　有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案　A
解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A.2·1·c·n·j·y
类型二　多面体的识别和判断
例3　如图，已知长方体AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD－A1B1C1D1.用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．www-2-1-cnjy-com
解　截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．
引申探究
用一个平面去截本例中的四棱柱，能截出三棱锥吗？
解　如图．
几何体B－A1B1C1就是三棱锥．
反思与感悟　解答此类题目的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是正确掌握棱柱的几何特征，在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3　如图所示，关于该几何体的正确说法有________．
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
答案　①③④⑤
解析　①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴 ( http: / / www.21cnjy.com )；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示．21世纪教育网版权所有
类型三　多面体的表面展开图
例4　(1)请画出如图所示的几何体的表面展开图；
(2)如图是两个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
解　(1)展开图如图所示．(答案不唯一)
(2)根据表面展开图，可知①为五棱柱，②为三棱台．
反思与感悟　(1)绘制展开图：绘制多 ( http: / / www.21cnjy.com )面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．www.21-cn-jy.com
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体 ( http: / / www.21cnjy.com )的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
跟踪训练4　如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　)
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
答案　C
解析　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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