资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
平面与平面平行的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理.
2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．
知识点　平面与平面平行的判定定理
思考1　三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案　不一定．
思考2　三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案　平行．
思考3　如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？
答案　无数条．不平行．
梳理　面面平行的判定定理
表示定理 图形 文字 符号
平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 β∥α
类型一　面面平行的判定定理
例1　下列四个命题：
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
(3)平行于同一直线的两个平面平行；
(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行．
其中正确的个数是______________．
答案　0
反思与感悟　在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　设直线l, m, 平面α，β，下列条件能得出α∥β的有(　　)
①l α，m α，且l∥β，m ( http: / / www.21cnjy.com )∥β；②l α，m α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④ l∩m＝P, l α，m α，且l∥β， m∥β.21·cn·jy·com
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
答案　A
解析　①错误，因为l, m不一 ( http: / / www.21cnjy.com )定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．www.21-cn-jy.com
类型二　平面与平面平行的证明
例2　如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.21·世纪*教育网
证明　如图，连接B1C.
由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.
又∵MN 平面A1BD，A1D 平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.
又∵MN 平面MNP，PN 平面MNP，且MN∩PN＝N，
∴平面MNP∥平面A1BD.
引申探究
若本例条件不变，求证：平面CB1D1∥平面A1BD.
证明　因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以DD1綊BB1，
所以BDD1B1为平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，
所以BD∥平面CB1D1，
同理A1D∥平面CB1D1.
又BD∩A1D＝D，
所以平面CB1D1∥平面A1BD.
反思与感悟　判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交 ( http: / / www.21cnjy.com )直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．www-2-1-cnjy-com
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：21*cnjy*com
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
类型三　线线平行与面面平行的综合应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：21教育网
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明　(1)如图，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD.
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
反思感悟　解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．21cnjy.com
(2)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，C1D1，A1A的中点．
求证：(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面HB1D1.
证明　(1)如图，取BB1的中点M，连接C1M，HM，
易知HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1，
又由已知可得MC1∥BF，∴BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连接OE，D1O，则OE綊DC.
又D1G綊DC，∴OE綊D1G，
∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.
又D1O 平面BB1D1D，EG 平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知HD1∥BF，又BD∥B1D1，
B1D1，HD1 平面HB1D1，BF，BD 平面BDF，
且B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面HB1D1.
例4　如图所示，在正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO 2·1·c·n·j·y
解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.
又∵AP 平面APO，QB 平面APO，
∴QB∥平面APO.
∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
反思感悟　对于探索性问题，一是可直接运用题中的条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确性．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练4　在底面是平行四边形的四棱锥 ( http: / / www.21cnjy.com )P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC？并证明你的结论．2-1-c-n-j-y
解　当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC.
∵M是PE的中点，∴FM∥CE.
∵FM 平面AEC，CE 平面AEC，
∴FM∥平面AEC.
由EM＝PE＝ED，
得E为MD的中点，连接BM，BD，如图所示，
设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．
连接OE，则BM∥OE.
∵BM 平面AEC，OE 平面AEC，
∴BM∥平面AEC.
又∵FM 平面BFM，BM 平面BFM，FM∩BM＝M，
∴平面BFM∥平面AEC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑