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平面与平面垂直的判定
【学习目标】
1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．
知识点一　二面角
思考1　观察教室内门与墙面 ( http: / / www.21cnjy.com )，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？2·1·c·n·j·y
答案　二面角．
思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案　二面角的平面角．
梳理　二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
(3)画法：
　　　　　
(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.
(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
知识点二　平面与平面垂直
思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成 ( http: / / www.21cnjy.com )“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？21·世纪*教育网
答案　都是垂直．
梳理　两面垂直的定义及判定
(1)平面与平面垂直
①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记作：α⊥β.
(2)判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l β α⊥β
类型一　证明面面垂直
例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，PA⊥平面ABCD，M是PD的中点．21世纪教育网版权所有
(1)求证：OM∥平面PAB；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC.
证明　(1)在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，
所以OM∥PB，
因为OM 平面PAB，PB 平面PAB，
所以OM∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.又因为AC 平面PAC，PA 平面PAC，AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC.又因为BD 平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC.
引申探究
如图，本例中若底面ABCD改为正方形，另增加条件：PA＝AD，其他条件不变．试证明：
(1)AM⊥平面PCD；
(2)平面ACM⊥平面PCD.
证明　(1)∵PA＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，又由于AD⊥DC，PA∩AD＝A，
∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AM.
又PD∩DC＝D，∴AM⊥平面PCD.
(2)由(1)知AM⊥平面PCD，
∵AM 平面ACM，
∴平面ACM⊥平面PCD.
反思与感悟　应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤
跟踪训练1　如图，三棱柱ABC－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.21教育网
证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1，
所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC ( http: / / www.21cnjy.com )＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1 平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.21·cn·jy·com
类型二　求二面角的大小
例2　如图，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的余弦值．
解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角．
设点H是△BCD的中心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，
即二面角的余弦值为.
反思与感悟　(1)求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
①(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图(1)所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．21cnjy.com
②(垂线法)：过二面角的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图(2)所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
③(垂面法)：过棱上一点作 ( http: / / www.21cnjy.com )棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图(3)所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．www.21-cn-jy.com
　　
(1)　　　　　　　(2)　　　　　　　(3)
跟踪训练2　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．【来源：21·世纪·教育·网】
解　由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
而PC 平面PAC，
∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
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