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相交线与平行线压轴题精选
1．（2021秋 东营期末）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
2．（2021秋 丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．
3．（2021秋 平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
4．（2019春 江岸区校级月考）如图，AB∥CD．
（1）如图1，∠A、∠E、∠C的数量关系为　 　．
（2）如图2，若∠A＝50°，∠F＝115°，求∠C﹣∠E的度数；
（3）如图3，∠E＝90°，AG，FG分别平分∠BAE，∠CFE，若GD∥FC，试探究∠AGF与∠GDC的数量关系，并说明理由．
5．（2021秋 皇姑区期末）已知：直线AB∥CD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC＝110°．
（1）如图①，BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（2）如图②，∠ABC＝30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD＝∠PCB时，直接写出∠APC的度数．
6．（2021秋 渭城区期末）（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数；
（2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由．
7．（2021秋 南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
8．（2021春 金平区期末）已知AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度数；
（2）如图1，当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
（3）①如图2，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，则的值为 　 　；
②当点P在直线EF上运动时，∠CDP与∠ABP的n等分线交于Q，其中∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，设∠DPB＝α，求∠Q的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）.
9．（2021春 渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．
（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交于点H．
①填空：∠G＝　 　°．
②求出∠EHF的度数；
（2）如图2，∠AEF 和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．
10．（2021春 江北区期末）如图1，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF＝80°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN﹣∠FNM的值
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG＝m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH＝m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN﹣∠ENM＝80°，直接写出m的值．
11．（2021春 海淀区校级期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为　 　°
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
12．（2021春 奉化区校级期末）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
（1）若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
13．（2021春 于洪区期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
14．（2021春 大冶市期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
15．（2021春 怀化期末）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）．
（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN）
（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；
（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值
16．（2021春 饶平县校级期末）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　 　．
17．（2021春 桂平市期末）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
（1）若∠C＝40°，则∠BAM＝　 　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．
18．（2020秋 罗湖区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　 　；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
19．（2020春 硚口区期末）已知AB∥CD
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F
①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝　 　°．
20．（2020春 江岸区期末）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠EOF＝100°．
（1）求∠BEO+∠DFO的值；
（2）如图2，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M、N，求∠EMN﹣∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG＝n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK＝n∠OFK．直线MN交FK、EG分别于点M、N，若∠FMN﹣∠ENM＝50°，则n的值是　 　．
21．（2021春 高青县期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．
22．（2020春 九龙坡区期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 　；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 　；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
23．（2020春 岳池县期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
24．（2019秋 崇川区期末）如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．
（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．
（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：　 　．
参考答案与试题解析
1．（2021秋 东营期末）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP，
∵∠AEP＝40°，
∴∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，
即∠EPF＝90°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由如下：
如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠EPF+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（∠EPF+∠AEP）﹣∠AEP＝∠EPF，
∵∠EPF＝60°，
∴∠EGF＝30°．
2．（2021秋 丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．
【分析】（1）过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，即可求得∠MPQ＝α+β，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件根据三角形内角和定理可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝∠PMA，可得∠NQE+2∠QNE＝180°，结合三角形的内角和定理可得∠QNE＝∠NEQ，再根据平行线的性质可得∠PNE＝∠QNE，进而可得结论．
【解答】解：（1）过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，
∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE
＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE
＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，
∵∠NEF＝∠AMP，
∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE＝∠AMP，
即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，
∴∠NQE+2∠QNE＝180°，
∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
3．（2021秋 平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明．
（2）根据三角形外角的性质可证明结论；
（3）有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，根据平行线的性质得：∠BCH＝∠AGB＝90°﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM的度数，可得结论；
②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或．
4．（2019春 江岸区校级月考）如图，AB∥CD．
（1）如图1，∠A、∠E、∠C的数量关系为　∠AEC＝∠C+∠A　．
（2）如图2，若∠A＝50°，∠F＝115°，求∠C﹣∠E的度数；
（3）如图3，∠E＝90°，AG，FG分别平分∠BAE，∠CFE，若GD∥FC，试探究∠AGF与∠GDC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，知AB∥CD∥EF，据此得∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，根据∠AEC＝∠AEF+∠CEF可得答案；
（2）分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，设∠NEF＝x＝∠EFM，知∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，据此得∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，进一步计算可得答案；
（3）分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MFC＝z，知∠GFC＝y+z，从而得2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，根据GD∥FC得∠D＝z，由GH∥AB，AB∥CD知∠AGF＝x+y，继而代入可得答案．
【解答】解：（1）∠AEC＝∠C+∠A，
如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
则∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，
故答案为：∠AEC＝∠C+∠A；
（2）如图2，分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，
设∠NEF＝x＝∠EFM，则∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，
∴∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，
∴∠C﹣∠E＝x+65°﹣（x+50°）＝15°；
（3）如图3，分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，
设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MFC＝z，
则∠GFC＝y+z，
∴2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，
∵GD∥FC，
∴∠D＝z，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴∠AGF＝x+y，
∴2∠AGF+∠GDC＝90°．
5．（2021秋 皇姑区期末）已知：直线AB∥CD，直线AD与直线BC交于点E，∠AEC＝110°．
（1）如图①，BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度数；
（2）如图②，∠ABC＝30°，在∠BAE的平分线上取一点P，连接PC，当∠PCD＝∠PCB时，直接写出∠APC的度数．
【分析】（1）过点E作MN∥AB．利用平行线的判定和性质并结合角平分线的概念分析求解；
（2）分情况讨论，结合角度的倍数关系和平行线的性质分析求解．
【解答】解：（1）过点E作MN∥AB，
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，∠ABE＝∠BEN，∠NED＝∠EDC，
∵∠AEC＝110°，
∴∠BED＝110°，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEM+∠CEM＝∠AEC＝110°，
∠ABE+∠CDE＝∠BEN+∠NED＝∠BED＝110°，
∵BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDG＝∠CDE，
∴∠AFB+∠CGD＝180°﹣（∠BAE+∠ABF）+180°﹣（∠DCE+∠CDG）
＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE+180°﹣∠DCE﹣∠CDE
＝360°﹣（∠BAE+∠DCE）﹣（∠ABE+∠CDE）
＝360°﹣110°﹣×110°
＝195°，
即∠AFB+∠CGD的度数为195°；
（2）①当点P位于BC左侧时，
此时∠PCD＝∠PCB不可能成立，故此情况不存在；
②当点P位于BC右侧且位于CD上方时，过点P作PM∥AB，
∵∠AEC＝110°，∠ABC＝30°，
∴∠BAE＝110°﹣30°＝80°，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥MP∥CD，
∴∠APM＝∠BAP＝∠BAE＝40°，
∠ABC＝∠BCD＝30°，
又∵∠PCD＝∠PCB，
∴∠PCD＝∠BCD＝10°，
∴∠MPC＝∠PCD＝10°，
∴∠APC＝∠MPC+∠APM＝50°，
③当点P位于BC右侧且位于CD下方时，过点P作PM∥AB，
∵∠AEC＝110°，∠ABC＝30°，
∴∠BAE＝110°﹣30°＝80°，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴AB∥MP∥CD，
∴∠APM＝∠BAP＝∠BAE＝40°，
∠ABC＝∠BCD＝30°，
又∵∠PCD＝∠PCB，
∴∠PCD＝∠BCD＝30°，
∴∠MPC＝∠PCD＝30°，
∴∠APC＝∠APM﹣＝∠MPC＝10°，
综上，∠APC的度数为50°或10°．
6．（2021秋 渭城区期末）（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数；
（2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图1，过点P作GH∥AB，得BAP+∠APH＝180°，故∠APH＝180°﹣∠BAP＝50°．由AB∥CD，GH∥AB，得CD∥GH，故∠PCD+∠HPC＝180°．那么，∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°．
（2）如图2，过点P作EF∥AD，故∠ADP＝∠DPF．由EF∥AD，AD∥BC，得EF∥BC，故∠FPC＝∠PCB．那么，∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β．
（3）当P在A的左侧，如图3．由AD∥BC，得∠DKC＝∠BCP＝∠β．又因∠DKC＝∠CPD+∠ADP，故∠CPD＝∠β﹣∠α．当P在B的右侧，如图4．由AD∥BC，得∠ADP＝∠DQC＝∠α．又因∠DQC＝∠CPD+∠BCP，故∠CPD＝∠α﹣∠β．
【解答】解：（1）如图1，过点P作GH∥AB．
∴∠BAP+∠APH＝180°．
∴∠APH＝180°﹣∠BAP＝180°﹣130°＝50°
∵AB∥CD，GH∥AB．
∴CD∥GH．
∴∠PCD+∠HPC＝180°．
∴∠HPC＝180°﹣∠PCD＝180°﹣120°＝60°．
∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°．
（2）如图2，过点P作EF∥AD．
∴∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF．
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC．
∴∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β．
∴∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β．
∴∠CPD＝∠α+∠β．
（3）当P在A的左侧，如图3．
∵AD∥BC，
∴∠DKC＝∠BCP＝∠β．
又∵∠DKC＝∠CPD+∠ADP，
∴∠β＝∠CPD+∠α，即∠CPD＝∠β﹣∠α．
当P在B的右侧，如图4．
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DQC＝∠α．
又∵∠DQC＝∠CPD+∠BCP，
∴∠α＝∠CPD+∠β．
∴∠CPD＝∠α﹣∠β．
7．（2021秋 南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠ABC＝∠BCM，再由平行线的性质得∠CDE＝∠DCM，则可求得∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，可得∠FGQ＝（∠ABC﹣∠CFD），结合（2）即可求解．
【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，
∴∠FGQ＝∠ABC﹣∠CFD＝（∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ＝×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
8．（2021春 金平区期末）已知AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
（1）若∠EFB＝50°，∠EDP＝35°，求∠MPD的度数；
（2）如图1，当点P在线段EF上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
（3）①如图2，当点P在线段FE的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，则的值为 　　；
②当点P在直线EF上运动时，∠CDP与∠ABP的n等分线交于Q，其中∠CDQ＝∠CDP，∠ABQ＝∠ABP，设∠DPB＝α，求∠Q的度数（直接用含n，α的代数式表示，不需说明理由）.
【分析】（1）过点P作PG∥AB，利用平行线的性质进行角得相关计算可求∠MPD的度数；
（2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题；
（3）分三种情况分别画图，结合（1），（2）的结论探索∠Q的度数的规律．
【解答】解：（1）如图，当点P在线段AB，CD之间时，过点P作PG∥AB．
∵AB∥CD，
∴PG∥CD．
∵∠EFB＝50°，∠EDP＝35°
∴∠EPG＝∠EFB＝50°，
∠DPG＝∠EPD＝35°．
∴∠MPD＝∠EPG﹣∠DPG＝50°﹣35°＝15°．
当点P在CD的上方时，可得∠MPD＝85°，
综上所述，∠MPD为15°或85°；
（2）．
由（1）可知PG∥CD．
∴∠DPG＝∠CDP，
∠BPG＝∠ABP．
∴∠DPB＝∠DPG+∠BPG＝∠CDP+∠ABP．
同理可得∠Q＝∠CDQ+∠ABQ．
又∵DQ，BQ分别平分∠CDP与∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，
∠ABQ＝∠ABP．
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ＝（∠CDP+∠ABP）＝∠DPB．
∴．
（3）①．
如图，过点P作PG∥AB．过点Q作QH∥AB．
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，QH∥CD．
∴∠DPG＝∠CDP，
∠BPG＝∠ABP．
∴∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG＝∠ABP﹣∠CDP．
同理可得∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．
又∵DQ，BQ分别平分∠CDP与∠ABP，
∴∠CDQ＝∠CDP，
∠ABQ＝∠ABP．
∴∠BDQ＝∠ABQ﹣∠CDQ＝（∠ABP﹣∠CDP）＝∠DPB．
∴．
②∠BQD＝．
分三种情况讨论：
（Ⅰ）当点P在线段FE的延长线上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ﹣∠CDQ．
∵，
．
∴．
∴．
（Ⅱ）当点P在线段EF上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．
∵，
．
∴．
∴．
（Ⅲ）当点P在线段EF的延长线上运动时，如图，
可得∠DPB＝∠ABP+∠CDP，
∠BQD＝∠ABQ+∠CDQ．
∵，
．
∴．
∴
综上所述，．
9．（2021春 渝北区期末）已知，AB∥CD．直线MN分别与AB，CD交于点E．F．
（1）如图1．∠AEF和∠EFC的角平分线交于点G，∠AEG的角平分线EH与∠CFG的角平分线FH交于点H．
①填空：∠G＝　90　°．
②求出∠EHF的度数；
（2）如图2，∠AEF 和∠EFC的角平分线交于点G．点H、K在直线AB、CD之间，且满足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n为常数且m＞1，n＞1），请用m，n的代数式直接表示∠EKF与∠EHF的数量关系．
【分析】（1）①如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．由AB∥OP，得∠AEG＝∠EGP．由AB∥CD，得OP∥CD，故∠PGF＝∠CFG．由EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，得∠AEG＝，∠CFG＝，进而可推断出∠EGF＝，从而解决此题．
②与（1）同理．
（2）由题得∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°，得m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°，进而推断出m∠EHF+n∠EKF＝360°．
【解答】解：（1）如图1，分别过点H、G作MN∥AB、OP∥AB．
①∵AB∥OP，
∴∠AEG＝∠EGP．
又∵AB∥CD，
∴OP∥CD．
∴∠PGF＝∠CFG．
∴∠EGF＝∠EGP+∠FGP＝∠AEG+∠CFG．
∵EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，
∴∠AEG＝，∠CFG＝．
∴∠AEG+∠CFG＝．
∴∠EGF＝．
又∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°．
∴∠EGF＝×180°＝90°．
故答案为：90．
②：与①同理可证：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．
由①得：∠AEG＝，∠CFG＝，∠AEF+∠CFE＝180°．
∵EH平分∠AEG，FH平分∠CFG，
∴∠AEH＝，∠AFH＝．
∴∠AEH+∠AFH
＝
＝
＝
＝
＝
＝45°．
∴∠EHF＝45°．
（2）由（1）得：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．
与①同理可证：∠EKF＝∠BEK+∠DFK．
∵∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK，∠DFG＝n∠DFK，
∴∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，
∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°．
∴m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°．
∴m（∠AEH+∠CFH）+n（∠BEK+∠DFK）＝360°．
∴m∠EHF+n∠EKF＝360°．
10．（2021春 江北区期末）如图1，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF＝80°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN﹣∠FNM的值
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG＝m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH＝m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN﹣∠ENM＝80°，直接写出m的值．
【分析】（1）过点O作OG∥AB，易得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，由∠BEO+∠DFO＝280°可求x﹣y＝40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及∠FMN﹣∠ENM＝50°，可得∠KFD﹣∠AEG＝50°，结合∠AEG＝n∠OEG，DFK＝n∠OFK，∠BEO+∠DFO＝260°，可得∠AEG+∠AEG+180°﹣∠KFD﹣∠KFD＝100°，即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【解答】（1）证明：过点O作OG∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝80°，
∴∠BEO+∠DFO＝280°；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图所示：
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
∵∠BEO+∠DFO＝280°
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝280°，
∴x﹣y＝50°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y
＝x﹣y
＝50°，
故∠EMN﹣∠FNM的值为50°；
（3）如图，设直线FH与EG交于点K，FH与AB交于点H，
∵AB∥CD，
∴∠AHF＝∠HFD，
∵∠AHF＝∠EKH+∠HEK＝∠EKH+∠AEG，
∴∠HFD＝∠EKH+∠AEG，
∵∠EKH＝∠NMF﹣∠ENM＝80°，
∴∠KFD＝80°+∠AEG，
即∠KFD﹣∠AEG＝80°，
∵∠AEG＝m∠OEG，FH在∠DFO内，∠DFH＝m∠OFH．
∴∠CFO＝180°﹣∠DFH﹣∠OFH＝180°﹣∠HFD﹣∠HFD，
∠AEO＝∠AEG+∠OEG＝∠AEG+∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO＝280°，
∴∠AEO+∠CFO＝80°，
∴∠AEG+∠AEG+180°﹣∠HFD﹣∠KFD＝80°，
即（）（∠KFD﹣∠AEG）＝100°
∴，
解得m＝4．
11．（2021春 海淀区校级期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为　60°　°
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D＝∠BED，再由已知∠D＝60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE求解k与n的关系即可求解．
【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，
解得，x＝60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为60；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠D＝∠DEF＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．
12．（2021春 奉化区校级期末）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
（1）若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．
（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG＝∠GCF＝20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ＝∠ECP＝60°；
（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，
∴∠ECQ＝80°，
∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴＝∠ECQ＝40°；
②∵AB∥CD
∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，
∴∠EGC+∠ECG＝80°
又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，
∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°
∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；
（2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，
①当点G、F在点E的右侧时，
则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，
∵∠ECD＝80°，
∴4x＝80°，
解得x＝20°，
∴∠CPQ＝3x＝60°；
②当点G、F在点E的左侧时，
则∠ECG＝∠GCF＝x，
∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，
∴180°﹣3x＝80°+x，
解得x＝25°，
∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，
∴，
∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．
13．（2021春 于洪区期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
【分析】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠PGE＝90°，再根据外角的性质可计算得到结果；
（2）①当∠MEP＝15°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP＝15°，计算出EM的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知∠FPE＝120°可计算出∠EPN的度数；
②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，
Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知∠AEM＝15t°，∠FPN＝30t°，再平行线的性质可得∠AEM＝∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；
Ⅱ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，ME∥PN，∠GHP＝15t°，可计算射线PN的转动度数180°+90°﹣15t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；
Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM＝15t°，∠GPN＝40（t﹣6）°，根据（1）中结论，∠PEG＝30°，∠PGE＝60，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．
【解答】解：（1）延长FP与AB相交于点G，
如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠AEP＝∠EPF﹣∠PGE＝120°﹣90°＝30°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝15°，
∴射线ME运动的时间t＝＝1秒，
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝1×30°＝30°，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN＝120°﹣30°＝90°；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝15°，
∴∠AEM＝45°，
∴射线EM运动的时间t＝＝3秒，
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝3×30°＝90°
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠FPN＝120°﹣90°＝30；
∴∠EPN的度数为 90°或30°；
②Ⅰ当PN由PF运动如图4时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠FPN＝30t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝15t°，
又∵∠FPN＝∠EGP+∠AHP，
∴30t°＝90°+15t°，
解得t＝6（秒）；
Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时EM∥PN，
PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，
∵EM∥PN，
∴∠GHP＝15t°，∠GPH＝90°﹣15t°，
∴PN运动的度数可得，180°﹣∠GPH＝30t°，
解得t＝6（秒）；
Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠GPN＝30（t﹣6）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝15t°﹣30°，∠EPN＝30（t﹣6）°﹣60°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴15t°﹣30°+30（t﹣6 ）°﹣60°＝180°，
解得t＝10（秒），
当t的值为6秒或10秒时，EM∥PN．
14．（2021春 大冶市期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．
【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，即可得到∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，再根据2∠MEN+∠G＝105°，即可得到2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，求得x＝25°，即可得出∠AME＝2x＝50°．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝30°，
∴∠MGK＝∠BMG＝30°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝30°，
∴∠BMP＝60°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝105°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，
∴x＝25°，
∴∠AME＝2x＝50°．
15．（2021春 怀化期末）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）．
（1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN）
（2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；
（3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值
【分析】（1）过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE，EF∥OP，依据平行线的性质可得到∠PBD＝∠BDE，则∠NAD+∠PBD＝∠ADB，最后，依据垂线的定义求解即可；（2）由（1）得∠NAD＝90°﹣∠PBD，然后结合∠OBD+∠PBD＝180°，进行证明即可；
（3）先求得∠OBD的度数（用含α的式子表示），然后再利用（2）中的结论列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE．
∵MN∥OP，EF∥MN，
∴EF∥OP．
∴∠PBD＝∠BDE，
∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠NAD+∠PBD＝90°．
（2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，则∠NAD＝90°﹣∠PBD．
∵∠OBD+∠PBD＝180°，
∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，
∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°．
（3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA．
∵OP∥MN，
∴∠OBA＝∠NAB＝2α，
∴∠OBD＝4α．
由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，则4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．
16．（2021春 饶平县校级期末）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝　　．
【分析】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；
（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；
（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F＝∠E．
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，
∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝∠E，
即．
故答案为：．
17．（2021春 桂平市期末）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
（1）若∠C＝40°，则∠BAM＝　130°　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．
【分析】（1）过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，再由平行线的性质即可得出结论；
（2）过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°，再由BD⊥AM，AB⊥BC可得出∠ABD＝∠CBF，再由平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠DEB＝x°，由（2）可得∠ABD＝∠C，由∠C＝∠DEB可得出∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°，过点B作BF∥DM，根据平行线的性质可得出∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x°．再由BE平分∠DBC可知∠DBC＝2∠CBE＝4x°，据此可得出x的值．
【解答】（1）解：过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，
∵BE∥NC，∠C＝40°，
∴∠CBE＝∠C＝40°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．
∵AM∥BE，
∴∠BAM+∠ABE＝18°，
∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°；
（2）证明：如图2，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°．
∵BD⊥AM，
∴∠ADB＝90°．
∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．
又∵AB⊥BC，
∴∠CBF+∠ABF＝90°．
∴∠ABD＝∠CBF．
∵AM∥CN，
∴BF∥CN，
∴∠C＝∠CBF．
∴∠ABD＝∠C．
（3）解：设∠DEB＝x°，由（2）可得∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠DEB，
∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x°．
过点B作BF∥DM，如图3，
∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．
∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x°．
∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x°．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC＝2∠CBE＝4x°，即4x＝90+x，解得x＝30．
∴∠DEB的度数为30°．
18．（2020秋 罗湖区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　∠PFD+∠AEM＝90°　；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，即可得出结果；
（2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1＝180°，再由角的互余关系即可得出结果；
（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：
则PG∥CD，
∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，
∵∠1+∠2＝∠P＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠BHF+∠2＝90°，
∵∠2＝∠AEM，
∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，
∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）如图③所示：
∵∠P＝90°，
∴∠PHE＝90°﹣∠FEB＝90°﹣15°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC＝∠PHE＝75°，
∵∠PFC＝∠N+∠DON，
∴∠N＝75°﹣30°＝45°．
19．（2020春 硚口区期末）已知AB∥CD
（1）如图1，求证：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F
①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．
②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，则∠BEC＝　32　°．
【分析】（1）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，进而可证明结论；
（2）①易求∠ABE＝52°，根据（1）的结论可求解∠DCE＝154°，根据角平分线的定义可得∠DCG＝77°，过点F作FN∥AB，结合平行线的性质利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解；
②根据平行线的性质即角平分线的定义可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°﹣∠BEC）＝90°+∠BEC，设∠ABE＝∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG＝∠DCE＝y，结合已知条件∠BFC﹣∠BEC＝74°可求解∠BEC的度数．
【解答】（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴DC∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°，
即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；
（2）解：①∵FB∥CE，
∴∠FBE＝∠BEC＝26°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，
由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，
∵CG平分∠ECD，
∴∠DCG＝77°，
过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，
∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°，
②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE，
设∠ABE＝∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG＝∠DCE＝y，
由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°，
∴2x+2y﹣∠BEC＝180°，
由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG，
∴∠BFC＝x+y，
∵∠BFC﹣∠BEC＝74°，
∴x+y＝74°+∠BEC，
∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180°
解得∠BEC＝32°．
故答案为32°．
20．（2020春 江岸区期末）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠EOF＝100°．
（1）求∠BEO+∠DFO的值；
（2）如图2，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M、N，求∠EMN﹣∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG＝n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK＝n∠OFK．直线MN交FK、EG分别于点M、N，若∠FMN﹣∠ENM＝50°，则n的值是　　．
【分析】（1）过点O作OG∥AB，易得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，由∠BEO+∠DFO＝260°可求x﹣y＝40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及∠FMN﹣∠ENM＝50°，可得∠KFD﹣∠AEG＝50°，结合∠AEG＝n∠OEG，DFK＝n∠OFK，∠BEO+∠DFO＝260°，可得∠AEG+∠AEG+180°﹣∠KFD﹣∠KFD＝100°，即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【解答】（1）证明：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝100°，
∴∠BEO+∠DFO＝260°；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
∵∠BEO+∠DFO＝260°
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，
∴x﹣y＝40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN+∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y
＝x﹣y
＝40°，
故∠EMN﹣∠FNM的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴∠AKF＝∠KFD，
∵∠AKF＝∠∠EHK+∠HEK＝∠EHK+∠AEG，
∴∠KFD＝∠EHK+∠AEG，
∵∠EHK＝∠NMF﹣∠ENM＝50°，
∴∠KFD＝50°+∠AEG，
即∠KFD﹣∠AEG＝50°，
∵∠AEG＝n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK＝n∠OFK．
∴∠CFO＝180°﹣∠DFK﹣∠OFK＝180°﹣∠KFD﹣∠KFD，
∠AEO＝∠AEG+∠OEG＝∠AEG+∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO＝260°，
∴∠AEO+∠CFO＝100°，
∴∠AEG+∠AEG+180°﹣∠KFD﹣∠KFD＝100°，
即，
∴，
解得n＝．
故答案为．
21．（2021春 高青县期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．
【分析】（1）如图①，延长AB交DE于点F，根据平行线的性质即可得结论∠BED+∠D＝120°；
（2）设∠BEF＝α，∠CDF＝β，可得∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，结合（1）可知∠BED+∠CDE＝120°，进而可得结论；
（3）根据已知条件和三角形的外角可得∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），进而可得结论．
【解答】解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°，
证明：如图①，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠D，
∵∠ABE＝120°，
∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，
∴∠D+∠BED＝120°；
（2）如图②，
∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，
即∠CDE＝3∠CDF，
设∠BEF＝α，∠CDF＝β，
∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴3α+3β＝120°，
∴α+β＝40°，
∴2α+2β＝80°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，
答：∠EFD的度数为100°；
（3）如图③，
∵BG⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∵∠ABE＝120°．
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，
∵∠CDE＝4∠GDE，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，
∴∠G+30°＝∠E+∠CDE，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴∠CDE＝120°﹣∠E，
∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），
∴∠G＝∠E，
∴＝．
22．（2020春 九龙坡区期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　∠BME＝∠MEN﹣∠END　；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　∠BMF＝∠MFN+∠FND　；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，进而可求解；
（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ＝∠BME，进而可求解．
【解答】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，
∵2∠MEN+∠MFN＝180°，
∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
23．（2020春 岳池县期末）已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数；
（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，即可得到结论；
（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝40°，
∴∠MGK＝∠BMG＝40°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝40°，
∴∠BMP＝80°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝80°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝102°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝102°，
∴x＝26°，
∴∠AME＝2x＝52°．
24．（2019秋 崇川区期末）如图1，MN∥EF，C为两直线之间一点．
（1）如图1，若∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数．
（2）如图2，若∠CAM与∠CBE的平分线相交于点D，∠ACB与∠ADB有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请直接写出∠ACB与∠ADB之间的数量关系：　∠ADB＝90°﹣ACB　．
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1＝ACG，∠2＝，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠1＝ACG，∠2＝，根据平角的定义即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，根据平行线的定义得到∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝ACG，∠2＝，
∴∠ADB＝（∠ACG+∠BCG）＝∠ACB；
∵∠ACB＝100°，
∴∠ADB＝50°；
（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝MAC，∠2＝EBC，
∴∠ADB＝∠1+∠2＝（∠MAC+∠EBC）＝（180°﹣∠NAC+180°﹣∠FBC）＝（360°﹣∠ACB），
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB；
（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，
∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，
∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，
∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D，
∴∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，
∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）＝90°﹣∠ACB．
∴∠ADB＝90°﹣ACB．
故答案为：∠ADB＝90°﹣ACB．

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