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第四讲 向量的数乘运算
【基础训练】
一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）若点是所在平面内的一点，满足，则（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】
化简得，即得解.
【详解】
，
，得．
故选：C．
2．（2021·全国高一课时练习）已知向量，且，，，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】
计算某两个向量的和，与和向量共线的另一向量，即得结论.
【详解】
∵，，，
又，所以，即//，而有公共点B，
∴A，B，D三点共线，A选项正确；
，显然两两不共线，选项B，C，D都不正确.
故选：A
3．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，其中不共线，则与的关系是（ ）
A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据平面向量的加法和减法的运算法则，结合共线向量的性质进行判断即可.
【详解】
因为，，所以，
因此与的关系是共线，
故选：B
4．（2021·全国高一课时练习）设是任一向量，是单位向量，且，则下列表示形式中，正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
当时，知A错误；当时，知与同向或反向，由此得到结论.
【详解】
当时，无意义，A错误；
当时，BCD均正确；
当时，由知：与同向或反向，知BC不全面，D正确.
故选：D.
5．（2021·全国高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（ ）
①；
②；
③.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由平面向量的线性运算和数乘运算可判断①②③的正误.
【详解】
对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误.
故选：C.
6．（2021·全国高一课时练习）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用向量的数乘运算可得结果.
【详解】
.
故选：D.
7．（2021·江苏吴江中学高一月考）若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由，可得三点共线，结合图示可得答案.
【详解】
由，则三点共线，且
所以,即
故选：D
8．（2021·上海高一课时练习）已知是的边上的中线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用平面向量的线性运算可求得结果.
【详解】
因为是的边上的中线，所以为的中点，
所以
.
故选：B
9．（2021·全国高一课时练习）4(－)－3(＋)－等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的运算法则，计算化简，即可求得答案.
【详解】
原式4(－)－3(＋)－＝.
故选：D
10．（2021·全国高一课时练习）在平行四边形中， ，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的运算法则，得到，即可求得.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
故选：C.
11．（2020·全国）在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，，则＝（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得到利用，得到，利用及和平面向量的线性运算法则运算即得.
【详解】
由已知可得
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，是基础题，只要熟练掌握平面向量的加减数乘运算法则,并注意将有关向量转化为基底向量表示，即可得解.www-2-1-cnjy-com
12．（2020·全国高一课时练习）设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量数乘的意义可得正确选项.
【详解】
对于A，当λ＞0时，与的方向相同，故A不正确；
而，故与的方向相同，B正确；
对于C，，由于|λ|的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C错误；
对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的数乘，对于这类概念题，只需弄清数乘的意义即可.本题属于基础题.
13．（2020·全国高一课时练习）在平行四边形中，E为的中点，F为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的加法法则运算以及数乘运算可得结果.
【详解】
因为E为的中点，F为的中点，
所以
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面向量的加法法则以及数乘运算，属于基础题.
14．（2020·全国高一课时练习）设平行四边形的两条对角线与交于点，，，则向量（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知结合向量的线性运算即可求解.
【详解】
解：由题意可得，，
∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题．
15．（2016·重庆高一期中（理））如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算可得的表示形式.
【详解】
，
故选：A．
【点睛】
本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.【来源：21cnj*y.co*m】
16．（2021·呼图壁县第一中学高一开学考试）在中，是上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用平面向量的三角形法则和共线定理，即可得到结果．
【详解】
因为是上一点，且，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算和共线定理的应用，属于基础题．
17．（2020·全国高一课时练习）如图，梯形中，，，为中点，则 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设为的中点，连接，则四边形为平行四边形，则，再根据平面向量的线性运算即可得出答案．
【详解】
解：设为的中点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
18．（2020·全国高一课时练习）设是任一向量，是单位向量，且，则下列表达式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题中所给条件，逐一对四个选项分析即可.
【详解】
对于A，当时，没有意义，错误．对于B，C，D，当时，选项B，C，D都正确；当时，由可知，与同向或反向，且，故B，C不全面.21cnjy.com
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量的数乘及几何意义，考查对单位向量和共线向量的理解，属于基础题.
19．（2021·全国高一课时练习）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接根据向量的线性运算法则计算可得.
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查向量的运算，属于基础题，解题时要认真审题，注意向量运算法则的合理运用．
20．（2021·全国高一课时练习）的三边BC，CA，AB的中点分别是，，，则（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
运用向量加法法则及数乘法的法则计算．
【详解】
如图，
的三边，，的中点分别是，，；
.
故选：C.
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21．（2021·全国高一课时练习）已知平行四边形中，，，其对角线交点为，则等于（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
做出平行四边形，利用向量加法求解即可.
【详解】
因为＋＝＋＝＝ ，所以.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C.
22．（2021·全国高一课时练习）如图，ABC中，，＝3，＝2，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用平面向量的加法、减法和平面向量基本定理求解.
【详解】
，
，
，
，
故选：D
23．（2021·全国高一课时练习）设m，n为实数，为向量，给出下列四个结论：
①m()＝m－m；
②(m－n) ＝m－n；
③若m＝m，则＝；
④若m＝n，则m＝n.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据向量数乘的运算法则判断①②，举反倒判断③④．
【详解】
①和②是平面向量数乘的分配律，正确；
当时，③错误，当时，④错误．
故选：B．
24．（2021·全国高一课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反 B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2 D．若＝±2，则||＝2||
【答案】D
【分析】
A.由判断；B. 由判断；C. 利用平面向量共线定理判断； D. 利用平面向量共线定理判断；
【详解】
A. 当时，结论不成立；
B. 当时，结论不成立；
C. 当||＝2||，与2不一定共线；
D. 因为＝±2，所以||＝2||，故正确；
故选：D
25．（2021·上海高一课时练习）已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】
表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.
【详解】
如图，设，，
已知均为单位向量，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故四边形为菱形，所以平分，
由
得，又与有公共点，
故三点共线，
所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.
故选：A.
26．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）点满足则点依次是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
【答案】C
【分析】
根据三角形四心的定义，判断即可.
【详解】
依题意，由得，O到的三个顶点的距离相等，
所以O为外心；
设的中点为D，则由得，所以N为重心；
由得，
所以，同理可得，所以P为垂心.
故选：C
27．（2021·全国高一课时练习）已知，下面式子正确的是（ ）
A．与同向 B．0·＝0
C． D．若，则
【答案】C
【分析】
根据向量数乘运算的定义依次判断各选项即可得答案.
【详解】
对于A选项，对，当时正确，当时错误，故A选项错误；
对于B选项，根据数乘运算的结果为向量，故0·是向量而非数0，故B选项错误；
对于C选项，根据数乘运算的分配率即可得，故C选项正确；
对于D选项，若，则，故D选项错误．
故选：C.
28．（2021·全国高一课时练习）设，不共线，＝＋k，＝m＋(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有（ ）21·世纪*教育网
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
【答案】B
【分析】
由A，B，C三点共线得与共线，然后由向量共线的定理求解可得．
【详解】
若A，B，C三点共线，则与共线，
所以存在唯一实数λ，使，即，即，
所以，所以km＝1，即km－1＝0.
故选：B．
29．（2021·全国高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】C
【分析】
根据、的含义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
、分别表示与、同方向的单位向量，
对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，若反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误；
对于C：当时，，故C正确；
对于D：当且时，若满足题意，此时，故D错误.
故选：C
30．（2021·四川南充市·高一期末）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用平面向量坐标公式求解即可．
【详解】
，
故选：A
31．（2021·江苏淮安市·高一月考）下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用平面向量的加减法法则可判断A、B、D选项；利用平面向量数乘可判断C选项.
【详解】
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
32．（2020·山东省济钢高级中学高一月考）设中边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的线性运算可求得结果.
【详解】
因为中边上的中线为，所以，
因为，所以，所以，
所以.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用平面向量的线性运算求解是解题关键.
33．（2020·全国高一单元测试）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝，＝，则向量＝（ ）21·cn·jy·com
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用平面几何知识得到，进而得到，然后运算可得.
【详解】
如图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为点E为CD的中点，CD∥AB，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属基础题，关键在于将平面几何知识与向量的加减数乘运算相结合.
34．（2020·全国高一单元测试）如图所示，向量等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
把，代入中化简即可.
【详解】
解：．
故选：C
35．（2020·全国高一单元测试）已知M，P，Q三点不共线，且点O满足，则下列结论正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的差的运算，相反向量，化简条件即可求解.
【详解】
由，
得，
则，
即,
故选：D
36．（2020·全国高一课时练习）在中，D是BC的中点，如果，那么（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】
根据向量的三角形法则可知，再将用的形式表示出来，则的值可求.
【详解】
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查平面图形中向量的线性运算，涉及向量三角形法则的运用，难度较易.
37．（2016·四川遂宁市·）已知、为任意两个非零向量，且，，，则
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】C
【分析】
根据题设条件可得，从而三点共线.
【详解】
由已知得，所以，即三点共线.故选C.
【点睛】
本题考查向量共线定理，考查学生的运算能力，本题属于基础题.
38．（2020·全国高一课时练习）设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝（ ）
A．－ B．＋
C．－ D．＋
【答案】B
【分析】
设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，化简即可.
【详解】
设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则 ，解得，21教育名师原创作品
即=＋，
故选B.
【点晴】
此题考平面向量的线性运算，要注意使用三角形法则时首位顺次连接，向量的方向.
39．（2020·长春市第二实验中学高一期中）以下各说法中：
①任意一个非零实数与向量的积都是一个非零向量；
②零与任意一个向量的积都是零；
③对于任意一个非零向量，向量可以表示所有与共线的向量；
④若，则一定存在实数，使得.
正确说法的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．③
【答案】D
【分析】
根据向量的数乘运算可判断①②；根据向量共线定理可判断③④.
【详解】
对于①，若，则任意一个非零实数与向量的积都是一个零向量，故①不正确；
对于②，零与任意一个向量的积都是零向量，故②不正确；
对于③，根据向量共线定理：任意一个非零向量，有向量与其共线，
故③正确；
对于④，根据向量共线定理，若，且，则一定存在实数，
使得，故④不正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了向量的数乘运算、向量共线定理，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
二、多选题
40．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一月考）已知m，n是实数， 是向量，则下列命题中正确的为（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则m＝n
【答案】AB
【分析】
根据数乘向量的运算法则，化简整理，即可得答案.
【详解】
对于A：根据数乘向量的原则可得：，故A正确；
对于B：根据数乘向量的原则可得：，故B正确；
对于C：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故C错误；
对于D：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故D错误；
故选：AB
41．（2020·全国高一单元测试）若是直线上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C．的坐标为0 D．
【答案】BD
【分析】
根据，，确定与，又由于，方向相反，确定与的关系.
【详解】
因为，，所以，，，，，，的坐标为.
故选：BD.
42．（2021·江苏省昆山中学高一月考）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O H G分别是外心 垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
根据欧拉线定理、外心 垂心和重心的性质以及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】
如图：根据欧拉线定理可知，点O H G共线，且
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对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，取的中点为，则，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，显然不正确.
故选：ABC
三、填空题
43．（2021·全国高一课时练习）________.
【答案】
【分析】
根据向量的线性运算法则，即可求解.
【详解】
由向量的线性运算法则，可得.
故答案为：
44．（2021·浙江高一期末）＝_______．
【答案】
【分析】
根据向量的运算法则及性质，准确运算，即可求解.
【详解】
根据向量的运算法则，可得：
.
故答案为：.
45．（2021·全国高一课时练习）下列说法中正确的是__．
①单位向量都共线；
②若，则∥；
③若||＞||＞||，则||＞||；
④||≤||且||≤||．
【答案】②
【分析】
根据单位向量、相等向量的定义判断①②，由判断③，由判断④.
【详解】
单位向量方向不一定相同或相反，故单位向量不一定共线，故①错误；
若，则方向相同，所以是共线向量，故②正确；
当时，，故③错误；
当时，故④错误．
故答案为：②．
46．（2021·全国高一课时练习）已知在中，点满足，若存在实数使得成立，则________.21教育网
【答案】
【分析】
由已知等式可知为的重心，由重心的性质知，由向量的线性运算可构造等式求得结果.
【详解】
，为的重心，
设中点为，则，
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，则.
故答案为：.
四、解答题
47．（2021·全国高一课时练习）计算：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由平面向量运算法则直接计算可得结果；
（2）由平面向量运算法则直接计算可得结果.
【详解】
（1）原式；
（2）原式.
48．（2020·全国高一课时练习）已知直线上向量的坐标为的坐标为5，求下列向量的坐标：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）3 （2）1 （3）-11
【分析】
利用向量的加法运算可求（1）；利用向量的数乘运算可求（2）；利用向量的数乘和加减运算可求（3）
【详解】
解：（1）的坐标为.
（2）的坐标为.
（3）的坐标为.
【点睛】
本题考查了向量的加、减以及数乘运算，属于基础题.
49．（2021·全国高一课时练习）化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
根据向量的数乘运算和加减法运算法则进行计算即可.
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
50．（2021·全国高一课时练习）已知，，，
（1）求的坐标；
（2）若、、、四点构成平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用平面向量加减法和数乘的坐标运算求解即可；
（2）由已知可得，利用坐标列出方程组求解即可．
【详解】
（1），
，
（2）四边形为平行四边形，
，
又，
，
，，
即．
51．（2021·全国高一课时练习）如图所示，在中，、、分别为、、边的中点，求证.
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【答案】证明见解析.
【分析】
由向量线性运算，结合中线向量的结论进行证明，即把题中向量用三角形三边线段对应的向量表示后可得．
【详解】
、、分别为、、边的中点，
，，.
.
52．（2021·全国高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，，，求：
（1）的坐标；
（2）的坐标．
【答案】（1），；（2），.
【分析】
（1）利用平面向量减法的坐标运算求解即可；
（2）利用平面向量线性运算的坐标表示求解即可．
【详解】
（1），，，．
（2），
，，，．
53．（2021·全国高一课时练习）已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，.
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
(1)利用平面向量线性运算直接求解可得结果；
(2)由可知且，由此证得结论.
【详解】
(1)；
(2)由(1)知：，又，，
且，
即在四边形中，且，四边形为梯形.
54．（2021·浙江高一期末）如图，在中，延长到，使，在上取点，使，设，，用、表示向量、.21世纪教育网版权所有
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【答案】，.
【分析】
利用平面向量的加法和减法法则可得出、关于、的表达式.
【详解】
，
.
55．（2021·全国高一课时练习）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
（2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
【详解】
（1）
=.
（2）
=
56．（2020·全国高一课时练习）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】；；
【分析】
利用向量的线性运算，结合图形，即可得到结论．
【详解】
解：，，，
．
．
，，
．
．
【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
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第四讲 向量的数乘运算
【基础训练】
一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）若点是所在平面内的一点，满足，则（ ）
A． B．4 C． D．3
2．（2021·全国高一课时练习）已知向量，且，，，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
3．（2021·全国高一课时练习）已知向量，，其中不共线，则与的关系是（ ）
A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定
4．（2021·全国高一课时练习）设是任一向量，是单位向量，且，则下列表示形式中，正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
5．（2021·全国高一课时练习）下列算式中，正确的个数为（ ）
①；
②；
③.
A． B． C． D．
6．（2021·全国高一课时练习）等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏吴江中学高一月考）若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海高一课时练习）已知是的边上的中线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国高一课时练习）4(－)－3(＋)－等于（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·全国高一课时练习）在平行四边形中， ，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·全国）在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，，则＝（ ）21教育网
A． B．
C． D．
12．（2020·全国高一课时练习）设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
13．（2020·全国高一课时练习）在平行四边形中，E为的中点，F为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·全国高一课时练习）设平行四边形的两条对角线与交于点，，，则向量（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
15．（2016·重庆高一期中（理））如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则
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A． B． C． D．
16．（2021·呼图壁县第一中学高一开学考试）在中，是上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020·全国高一课时练习）如图，梯形中，，，为中点，则 （ ）
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A． B． C． D．
18．（2020·全国高一课时练习）设是任一向量，是单位向量，且，则下列表达式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·全国高一课时练习）
A． B． C． D．
20．（2021·全国高一课时练习）的三边BC，CA，AB的中点分别是，，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·全国高一课时练习）已知平行四边形中，，，其对角线交点为，则等于（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
22．（2021·全国高一课时练习）如图，ABC中，，＝3，＝2，则等于（ ）
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A． B． C． D．
23．（2021·全国高一课时练习）设m，n为实数，为向量，给出下列四个结论：
①m()＝m－m；
②(m－n) ＝m－n；
③若m＝m，则＝；
④若m＝n，则m＝n.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2021·全国高一课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反 B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2 D．若＝±2，则||＝2||
25．（2021·上海高一课时练习）已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
26．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）点满足则点依次是的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
27．（2021·全国高一课时练习）已知，下面式子正确的是（ ）
A．与同向 B．0·＝0
C． D．若，则
28．（2021·全国高一课时练习）设，不共线，＝＋k，＝m＋(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
29．（2021·全国高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（ ）
A． B．
C． D．且
30．（2021·四川南充市·高一期末）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·江苏淮安市·高一月考）下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2020·山东省济钢高级中学高一月考）设中边上的中线为，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
33．（2020·全国高一单元测试）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝，＝，则向量＝（ ）21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
34．（2020·全国高一单元测试）如图所示，向量等于（ ）
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A． B．
C． D．
35．（2020·全国高一单元测试）已知M，P，Q三点不共线，且点O满足，则下列结论正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
36．（2020·全国高一课时练习）在中，D是BC的中点，如果，那么（ ）
A．， B．， C．， D．，
37．（2016·四川遂宁市·）已知、为任意两个非零向量，且，，，则
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
38．（2020·全国高一课时练习）设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝（ ）
A．－ B．＋
C．－ D．＋
39．（2020·长春市第二实验中学高一期中）以下各说法中：
①任意一个非零实数与向量的积都是一个非零向量；
②零与任意一个向量的积都是零；
③对于任意一个非零向量，向量可以表示所有与共线的向量；
④若，则一定存在实数，使得.
正确说法的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．③
二、多选题
40．（2021·江苏苏州市·苏州中学高一月考）已知m，n是实数， 是向量，则下列命题中正确的为（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则m＝n
41．（2020·全国高一单元测试）若是直线上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C．的坐标为0 D．
42．（2021·江苏省昆山中学高一月考）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O H G分别是外心 垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．
B．
C．
D．
三、填空题
43．（2021·全国高一课时练习）________.
44．（2021·浙江高一期末）＝_______．
45．（2021·全国高一课时练习）下列说法中正确的是__．
①单位向量都共线；
②若，则∥；
③若||＞||＞||，则||＞||；
④||≤||且||≤||．
46．（2021·全国高一课时练习）已知在中，点满足，若存在实数使得成立，则________.www-2-1-cnjy-com
四、解答题
47．（2021·全国高一课时练习）计算：（1）；
（2）.
48．（2020·全国高一课时练习）已知直线上向量的坐标为的坐标为5，求下列向量的坐标：
（1）；
（2）；
（3）.
49．（2021·全国高一课时练习）化简：
（1）；
（2）；
（3）．
50．（2021·全国高一课时练习）已知，，，
（1）求的坐标；
（2）若、、、四点构成平行四边形，求点的坐标．
51．（2021·全国高一课时练习）如图所示，在中，、、分别为、、边的中点，求证.
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52．（2021·全国高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，，，求：
（1）的坐标；
（2）的坐标．
53．（2021·全国高一课时练习）已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，.
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
54．（2021·浙江高一期末）如图，在中，延长到，使，在上取点，使，设，，用、表示向量、.2·1·c·n·j·y
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55．（2021·全国高一课时练习）计算：
（1）；
（2）.
56．（2020·全国高一课时练习）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.21·cn·jy·com
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