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第十讲 平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.
2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
【知识总结】
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点二　向量模的坐标表示及两点间距离公式
(1)向量的长度公式：设a＝(a1，a2)，
则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
知识点三　两个向量夹角余弦的坐标表达式
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝.
(2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＝0.
【题型讲解】
类型一　平面向量数量积的坐标运算
例1　已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
反思与感悟　(1)解答有关向量数量积的坐标运 ( http: / / www.21cnjy.com )算问题时，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量．(2)一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.
类型二　向量的模、夹角问题
例2　在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
解　(1)由＝(16,12)，
＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，
得||＝＝20，
||＝＝15.
(2)cos∠OAB＝cos〈，〉＝.
其中·＝－·
＝－(16,12)·(－21,3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
反思与感悟　利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝求两向量的模．
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．
跟踪训练2　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
类型三　向量垂直的坐标形式
例3　(1)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　由向量λa＋b与a－2b垂直，得
(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
(2)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
反思与感悟　利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．21教育网
跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝____.21cnjy.com
答案　－1
解析　∵＝(－3，－1)，
∴－t＝(－3－2t，－1＋t)．
又∵＝(2，－1)，(－t)⊥，
∴(－3－2t)·2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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