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第九讲 平面向量数乘运算的坐标表示
【学习目标】
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
3.掌握三点共线的判断方法．
【知识总结】
知识点　向量共线条件
向量共线的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．
(1)当a∥b时，有a1b2－a2b1＝0.
(2)当a∥b，且b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0时，
有＝.即两个向量平行的条件是相应坐标成比例．
【题型讲解】
类型一　向量共线的判定与证明
例1　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
答案　D
解析　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，
故选D.
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一　∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反．
方法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反．
反思与感悟　此类题目应充分利用 ( http: / / www.21cnjy.com )平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．21教育网
跟踪训练1　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，
求证：∥.
证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
∵＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，＝＝.
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，
∴∥.
类型二　利用向量共线求参数
例2　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
解　方法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
得解得k＝λ＝－.
方法二　由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
引申探究
1．若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
解　由例2知，当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－<0，
∴ka＋b与a－3b反向．
2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？
解　a＋kb＝(1,2)＋k(－3,2)＝(1－3k,2＋2k)，
3a－b＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)．
∵a＋kb与3a－b平行，
∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，
解得k＝－.
反思与感悟　根据向量共线条件求参数 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2　设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
答案　2
解析　λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵λa＋b与c共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
类型三　三点共线问题
例3　已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？
解　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)．
若A，B，C三点共线，则∥，
∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11.
又，有公共点A，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
反思与感悟　(1)三点共线问题的实质是向量共 ( http: / / www.21cnjy.com )线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．21cnjy.com
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
跟踪训练3　已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
证明　＝＝，
＝(9－1,1＋3)＝(8,4)．
∵7×4－×8＝0，∴∥.
又，有公共点A，∴A，B，C三点共线.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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