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第十四讲 正弦定理
【学习目标】
1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．
3.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
4.能根据条件，判断三角形解的个数.3.理解推广的三角形面积公式，并能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．www.21-cn-jy.com
【知识总结】
知识点一　正弦定理
1．正弦定理的表示
文字
语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径
符号语言 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则＝＝＝2R
2.正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中R为△ABC外接圆的半径．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
3．正弦定理的证明
(1)在Rt△ABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：
sin A＝，sin B＝，∴c＝＝＝＝，
∴＝＝.
(2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，
CD＝asin_B＝bsin_A，
∴＝，
同理，作AC边上的高BE，可得＝，∴＝＝.
(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，
过B作BD⊥AC于D，则
BD＝asin(π－C)＝asin_C，
BD＝csin_A，故有asin C＝csin_A，
∴＝，
同理，＝，∴＝＝.
知识点二　正弦定理及其变形
1．定理内容：＝＝＝2R.
2．正弦定理的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
知识点三　对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和 ( http: / / www.21cnjy.com )另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a、b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：www-2-1-cnjy-com
(1)代数角度
由正弦定理得sin B＝，
①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
(2)几何角度
( http: / / www.21cnjy.com / )
知识点四　三角形面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
(4)S△ABC＝(其中p＝)．
【题型讲解】
题型一　对正弦定理的理解
例1　在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是(　　)21·世纪*教育网
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．a＝b sin 2A＝sin 2B
C.＝
D．正弦值较大的角所对的边也较大
答案　B
解析　在△ABC中，由正弦定 ( http: / / www.21cnjy.com )理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．【出处：21教育名师】
当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a ≠b，故B错误．
根据比例式的性质易得C正确．
大边对大角，故D正确．
反思与感悟　如果＝，那么
＝(b，d≠0)(合比定理)；
＝(b，d≠0)(分比定理)；
＝(a>b，c>d)(合分比定理)；
可以推广为：如果＝＝…＝，那么＝＝…＝＝.
跟踪训练1　在△ABC中，下列关系一定成立的是(　　)
A．a>bsin A B．a＝bsin A
C．a答案　D
解析　在△ABC中，B∈(0，π)，∴sin B∈(0,1]，
∴ ≥1，
由正弦定理＝得a＝≥bsin A.
题型二　用正弦定理解三角形
例2　(1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
(2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
解　(1)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
由＝得a＝＝＝10.
∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，21教育网
∴b＝＝＝＝20×
＝5＋5.
∴B＝105°，a＝10，b＝5＋5.
(2)∵＝，
∴sin C＝＝＝，
∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，
C＝120°.
反思与感悟　(1)已知两角与任意一边解三角形的方法．
如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边．2-1-c-n-j-y
(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．
首先用正弦定理求出另一边所对的角 ( http: / / www.21cnjy.com )的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．【版权所有：21教育】
跟踪训练2　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
(2)在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝______．
答案　(1)　(2)105°或15°
解析　(1)在△ABC中由cos ( http: / / www.21cnjy.com )A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)由正弦定理＝，
得sin B＝＝＝.
∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，
∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.
题型三　判断三角形的形状
例3　在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状．
解　由已知得＝，
由正弦定理得＝.
∵sin A、sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B.
即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＋2B＝π或2A＝2B.
∴A＋B＝或A＝B.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
反思与感悟　(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．21世纪教育网版权所有
(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如＝等.
跟踪训练3　在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
解　由bsin B＝csin C，得b2＝c2，
∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，
由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC为等腰直角三角形．
题型四　三角形解的个数的判断
例1　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
解　(1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，
∴a(2)a＝2，b＝6，a∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
∴bsin A由正弦定理得sin B＝＝＝，
又∵B∈(0，π)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.
跟踪训练1　(1)满足a＝4，b＝3，A＝45°的三角形ABC的个数为________．
(2)△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________．
答案　(1)1　(2)2解析　(1)因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为一个．
(2)由asin B题型五　三角形的面积
例2　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.
解　∵cos ＝，∴cos B＝2cos2－1＝.
∴B∈(0，)，∴sin B＝.
∵C＝，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝.
∵＝，∴c＝＝×＝.
∴S＝acsin B＝×2××＝.
反思与感悟　求三角形的面积关键在于 ( http: / / www.21cnjy.com )选择适当的公式，因此，要认真分析题中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用．21·cn·jy·com
跟踪训练2　(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.2·1·c·n·j·y
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．
答案　(1)2　(2)或
解析　(1)∵cos C＝，∴C∈(0，)，
∴sin C＝ ＝，
又S△ABC＝absin C＝·3·b·＝4，
∴b＝2.
(2)由正弦定理得sin C＝＝＝，
又∵C∈(0，π)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，
∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或.
题型六　正弦定理与三角变换的综合应用
例3　在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，若c＝＋，C＝30°，求a＋b的取值范围．
解　由正弦定理得＝＝＝，
∵c＝＋，C＝30°，∴＝，
A＋B＝180°－30°＝150°.
sin(150°－A)＝sin cos ＋cos sin ，①
sin A＝sin cos －cos sin ，②
由①②得sin A＋sin(150°－A)＝2sin 75°cos(75°－A)，
∴a＋b＝2(＋)[sin A＋sin(150°－A)]
＝2(＋)×2sin 75°cos(75°－A)
＝2(＋)×2×cos(75°－A)
＝(＋)2cos (75°－A)．
当A＝75°时，(a＋b)max＝8＋4.
∵A＋B＝150°，
∴0°∴－75°<75°－A<75°，
∴cos(75°－A)∈(，1]，
∴a＋b>(＋)2×＝＋，
∴＋综上所述，a＋b∈(＋，8＋4 ]．
反思与感悟　(1)求某个式子的取值范围，可以将其转化为一个角的三角函数，再求范围．注意不要因为忽略相应自变量的取值范围而导致错误．21cnjy.com
(2)三角形的内角和等于180°， ( http: / / www.21cnjy.com )这一特殊性质为三角变换在三角形中的应用提供了一些特殊的式子，如sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos (B＋C)等，解题中应注意应用．21*cnjy*com
跟踪训练3　在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)cos的值．
解　(1)由cos B＝，则sin B＝＝，
又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，得＝，
即＝ AB＝5.
(2)由(1)得：sin B＝，cos B＝，sin C＝cos C＝，
则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，
cos A＝－cos(B＋C)＝－( ( http: / / www.21cnjy.com )cos Bcos C－sin Bsin C)＝－，则cos＝cos Acos＋sin Asin＝.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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