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第十三讲 余弦定理
【学习目标】
1.掌握余弦定理的内容与推论及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
3.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.
4.能应用余弦定理判断三角形形状.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．
【知识总结】
知识点一　余弦定理及其证明
1．余弦定理的表示及其推论
文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos__A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C
推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝
2.余弦定理的证明
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(1)课本上采用的证明方法：
如图，设a＝，b＝，c＝，则c＝b－a，
∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a2－2a·b＋b2＝a2－2abcos__C＋b2，
∴c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)利用坐标法证明
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如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(ccos__A，csin__A)，C(b，0)(写出三点的坐标)．
∴a＝BC＝
＝，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A.
知识点二　用余弦定理解三角形的问题
利用余弦定理可以解决以下两类问题：
(1)已知两边及其夹角解三角形；
(2)已知三边解三角形．
方法一　由正弦定理＝可求得sin B，进而得B，C，最后得边c.
方法二　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得边c，而后由余弦或正弦定理求得B，C.
知识点三　余弦定理及其推论
1．a2＝b2＋c2－2bccos__A，b2＝c2＋a2－2cacos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C．21·cn·jy·com
2．cos A＝，cos B＝，cos C＝．
3．在△ABC中，c2＝a2＋b2 C为直角，c2>a2＋b2 C为钝角；c2知识点四　正弦、余弦定理解决的问题
(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；
(2)已知两角和一边，解三角形；
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形；
(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．
【题型讲解】
题型一　已知两边及其夹角解三角形
例1　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A，B和边c的值(cos 15°＝，sin 15°＝)．
解　由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C
＝4＋8－2×2×2×＝8－4，
∴c＝＝＝－.
由正弦定理得sin A＝＝＝＝，
∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°，
∴c＝－，A＝30°，B＝135°.
反思与感悟　已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．2·1·c·n·j·y
(2)用正弦定理求解时， ( http: / / www.21cnjy.com )需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(因为在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好．21·世纪*教育网
跟踪训练1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于(　　)
A．4 B. C．3 D.
答案　D
解析　由三角形内角和定理可知cos C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×(－)＝17，所以c＝.www-2-1-cnjy-com
题型二　已知三边(或三边的关系)解三角形
例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
解　根据余弦定理，cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝.
反思与感悟　已知三边(或三边的关系)解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0，角为直角；值为负，角为钝角．
(2)方法一：两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值，确定两个角，并确定第三个角．
方法二：由余弦定理的推论求一个内角的余弦 ( http: / / www.21cnjy.com )值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．
(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
跟踪训练2　将例2中的条件改为“a∶b∶c＝2∶(6＋2)∶4”，求A，B，C.
解　∵a∶b∶c＝2∶(6＋2)∶4，
即＝＝，
不妨设＝k，则a＝2k，b＝(6＋2)k，c＝4k，
下同例题解法．
题型三　已知两边及其中一边的对角解三角形
例3　在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，A＝45°，求边c.
解　方法一　在△ABC中，根据余弦定理可得
a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－2c－6＝0，
所以c＝±3.
又c>0，所以c＝＋3.
方法二　在△ABC中，由正弦定理得
sin B＝＝＝，
因为b又B∈(0°，180°)，所以B＝30°，
所以C＝180°－A－B＝105°，
所以sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝，www.21-cn-jy.com
故c＝＝＝＋3.
反思与感悟　已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法
可根据余弦定理列一元二次方程求 ( http: / / www.21cnjy.com )出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3　已知在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，解此三角形．
解　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得
()2＝a2＋32－2×a×3×cos 30°，
∴a2－3a＋6＝0，∴a＝或a＝2.
当a＝时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°；
当a＝2时，由正弦定理得
sin A＝＝＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝90°，C＝60°.
∴C＝60°，A＝90°，a＝2或C＝120°，A＝30°，a＝.
方法二　由bcsin 30°知本题有两解．
由正弦定理，得sin C＝＝＝，
∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝＝2；
当C＝120°时，A＝30°＝B，∴a＝.
∴C＝60°，A＝90°，a＝2或C＝120°，A＝30°，a＝.
题型四　利用余弦定理判断三角形的形状
例1　在△ABC中，cos2＝，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
答案　A
解析　方法一　在△ABC中，由已知得
＝＋，
∴cos B＝＝，
化简得c2＝a2＋b2.
故△ABC为直角三角形．
方法二　原式化为cos B＝＝，
∴cos Bsin C＝sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C＝0，
∵B∈(0，π)，sin B≠0，∴cos C＝0，
又∵C∈(0，π)，∴C＝，
即△ABC为直角三角形．
反思与感悟　一般地，如果遇到的式子含角 ( http: / / www.21cnjy.com )的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1　在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
答案　B
解析　由余弦定理cos B＝，
代入得＝，
∴a2＋c2－2ac＝0，
即(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
题型五　正弦、余弦定理的综合应用
例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1)证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得：
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2)解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，
根据余弦定理，有cos A＝＝.所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
反思与感悟　(1)余弦定理和正弦 ( http: / / www.21cnjy.com )定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．21世纪教育网版权所有
(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．
跟踪训练2　在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理，
得sin B＝cos B，
即tan B＝，因为B是三角形的内角，所以B＝.
(2)由sin C＝2 sin A及正弦定理得，c＝2a.
由余弦定理及b＝3，得9＝a2＋c2－2accos，
即9＝a2＋4a2－2a2，所以a＝，c＝2.
题型六　利用正弦、余弦定理证明边角恒等式
例3　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：＝.
证明　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
∴2(a2－b2)＝2accos B－2bccos A，
即a2－b2＝accos B－bccos A，
∴＝.
由正弦定理得＝，＝，
∴＝＝，
故等式成立．
反思与感悟　(1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左 右；右 左或左 中 右三种．21教育网
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．21cnjy.com
跟踪训练3　在△ABC中，若acos2＋ccos2 ＝，求证：a＋c＝2b.
解　由题a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b，
即a＋a·＋c＋c·＝3b，
∴2ab＋a2＋b2－c2＋2bc＋b2＋c2－a2＝6b2，
整理得ab＋bc＝2b2，同除b得a＋c＝2b，
故等式成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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