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第二讲 向量的加法
【学习目标】
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
知识点一　向量加法的三角形法则与平行四边形法则
(1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)三角形法则
如图所示，已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，
则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．21世纪教育网版权所有
对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a.
(3)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，
则A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．21教育网
知识点二　向量求和的多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以 ( http: / / www.21cnjy.com )第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则．21cnjy.com
知识点三　向量加法的运算律
向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
类型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1　如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
　
　　　　 (1)　　　　　　　(2)
解　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
反思与感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”．
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
跟踪训练1　如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝________；(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
答案　(1)　(2)　(3)0
类型二　向量加法运算律的应用
例2　化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解　(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
反思与感悟　(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.21·cn·jy·com
跟踪训练2　已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
答案　2
解析　|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
类型三　向量加法的实际应用
例3　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．www.21-cn-jy.com
解　作出图形，如图所示．
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进的．
引申探究
1．若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？
解　由例3知v船＝20 m/min，
v实际＝20×sin 60°＝10(m/min)，
故该船1 h行驶的航程为10×60＝600(m)
＝(km)．
2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．
解　如图，作平行四边形ABDC，
则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，
则tan α＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
反思与感悟　向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．
跟踪训练3　如图，用两根 ( http: / / www.21cnjy.com )绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)2·1·c·n·j·y
解　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
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